数形结合[1]

n 我们常用的有结合函数的图象或者代数 式的几何意义，探求解题途径，优化解 题过程。避免繁杂冗长的计算与推理。
1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．
例1、有48名学生，每人至少参加一个 活动小组，参加数理化小组的人数分别 为28，25，15，同时参加数理小组的8 人，同时参加数化小组的6人，同时参加 理化小组的7人，问同时参加数理化小组 的有多少人？
，这时集合A应该覆盖集合 B，且B非空
－1 a
3a 3
例3. 若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在 x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
原方程变形为
即：
设曲线y＝(x－2)2 , x∈(0,3)和直线y＝1－m，如图 ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0, ∴ m＝1或－3<m≤0
利用函数图象性质解题
C
解析：如图作出下列三个
y=x2
y=2x
函数图象：
x=0.3
由比较三个函数图象与直线x=0.3
的交点的位置关系可得结论
.1
.1
y=log2x
利用函数图象性质解题
例5方程2-x+x2= 2的实数解的个数为（ C ）
解析：求原方程的解的个数等价 于求两线交点的个数。
y=2-x y= -x2+ 2
n 分析：我们可用圆A、B、C分别表 示参加数理化小组的人数（如右图） ，则三圆的公共部分正好表示同时 参加数理化小组的人数
AB
C
用card表示集合的元素，则有：
AB C
∴，即同时参加数理化小组的有1人
2、利用数轴解决集合的有关运算问题
例2、 已知集合 ⑴若
，求a的范围.⑵若
，求a的范围
⑵ ：要使
n 业余数学大师费马，在30岁之后开始从事数学 研究，他是解析几何的创立者，更因为提出了 困扰人类300多年的费马大定理而闻名于世。
n 他们两个人用不同的方法，独立的创立了解析 几何，费马从方程出发研究轨迹，笛卡尔从轨 迹出发研究方程。
数形结合思想在高考中的作用
n 数与形是初等数学中被研究的最多的对 象，数形结合是高考要求的基本思想之一。
代数法
n 例 判断三角形是钝角三角形还是锐角三 角形
n a=7 b=10 c=6 n 分析：用余弦定理判断最大角
n 代数法的核心就是几何对象的位置关系 和数量关系转化为数式，并对其进行逻 辑推理，从而得到问题的解决。例如立 体几何的线面关系等。
解析法
n 建立恰当的直角坐标系，将对象的数量 关系和位置关系用数式表示出来，然后 进行逻辑推理，解决问题。
引切线，则切线长最小值为) ---2--6---。
P
PY 3
P
-2
O
X
A
-2
例8: 直线l 过点M(-1 , 2)且与以P(-2 , -3)、Q(4,0)为端
点的线段相交，则l 斜率的取值范围是------------。
Y
M
[5,+∞) ∪(- ∞ ,
2 5]
2
Y
Oπ
2
πX
-2 -1
O
P
-3
Q
4X
n 双向性原则：既进行几何直观的分析，又进行代数抽 象的探索，两方面相辅相成，“数形结合”是发挥数与 形的双重优越性，而不是单纯的用几何取代代数。
n 简单性原则：找到解题思路后，用几何方法还是代数 方法，取决与那种方法更优美、更简单。
n 希尔伯特说过：算术是写下来的图形，几何图形是画 出来的公式
如何进行数形结合
n 通过坐标系，高中基本就是直角坐标系
n 转化：比如 点间距离沟通….
与勾股定理或者 两
n 构造:可以构造几何模型,构造函数或者构造 一个图等
以数辅形，数形沟通
n 数学中，常用代数式推理的逻辑性和严 密性来研究几何图形中对象的位置关系 和数量关系，揭示几何对象的结构的本 质关系，常用的方法有代数推理法、解 析法、向量法。
如图所示：两线交于两点Aபைடு நூலகம்B 所以原方程解的个数为2个。
y=2-x
A
.2 .1 B
y=-x2+
y+5
例6、已知x=
9- y2
Y
,求 x+2
最大值和最小值
3
-3 -2
O
3X
-3 -5
表示右半圆上的点 与点(-2,-5)连线斜 率的最值
例7、从点P(m , 3)向圆 (x+2)2 + (y+2 2 =1
n 例如直线方程，圆的方程等
向量法
n 向量是数形统一的重要载体，它是非常 有用的工具，将几何关系用向量表示出 来，通过逻辑推理研究几何对象的数量 关系和位置关系。
n 例如 几何中的平行 垂直 就可以用向 量的数量值来表示，变“证明”为“计算”
以形助数，揭示规律
n 当我们面临的是一道内容抽象、不易捉 摸的题目时，要设法将它转化为形象鲜 明、直观具体的问题，以便凭借事物的 形象把握题中涉及的各对象之间的联系， 找到解题的思路。
n 数形结合是一种极富数学特征的信息转 换，用数的抽象性质来说明形象的事实， 用图形的性质说明数的事实。
n 数形结合是一个重要的数学思想和一柄 双刃的解题利剑。
使用数形结合的原则
n 等价性原则：代数性质与几何性质的转换应该是等价 的。会不会进行数式信息与形象信息的转换，反映了 数学能力：能不能保持信息转换的等价，反映了数学 素质。
练习1：直线 x+ 3 y-m=0 与圆 x2+ y2 =1 在第
一象限内有两个不同的交点,则m的取值范 围是----3--<--m---<--2-----。
Y
1
-1 O
1
X
-1
应该注意的问题
n 数转形时图失真 n 形换数时不等价 n 数形互换不简捷 n 数形互换逻辑循环
课堂小结
数形结合思想：数（式）“几何意义” 形
观察形的变 化得出结论 小结1：在确定超越方程的根的个数或含参数的不等式 问题时，应由数思形，观察该方程或不等式对应的在同 一坐标系中两个函数图象的交点个数或交点的情况即可
小结2：数形结合方法在解决与函数性质有关的问题时， 常常画出该函数的草图或示意图，即以形助数。
数学史选讲
数与形的完美结合
华罗庚对数形结合的描述
n 数形本是相倚依，焉能分作两边飞。 n 数缺形时少直觉，形少数时难入微。 n 数形结合百般好，隔离分家万事休。 n 几何代数统一体，永远联系莫分离。
两大巨星—笛卡尔和费马
n 勇于探索的笛卡尔敢于向传统和权威挑战，开 辟了一条崭新的道路—建立了解析几何，把“数 ”与“形”统一起来。