福建省龙岩市一级达标校高二数学下学期期末考试试题

福建省龙岩市一级达标校2015-2016学年高二数学下学期期末考试试
题理（扫描版）
龙岩市一级达标校2015～2016学年第二学期期末高二教学质量检查
数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A D C B C B A C B
13．4 14．3>a 15．12 16． 2
(0,)e
三、解答题：本大题共6小题，第17小题10分，其它每小题12分，共70分. 解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）
解：（Ⅰ）设z a bi =+),(R b a ∈，所以i b a i z )3(3-+=-为实数，可得3=b ，……3分 又因为
222(4)25
a i a a i i -++-=-为纯虚数，所以1-=a ，即i z 31+-=．…6分 （Ⅱ）i i i i z +-=-+-=-21311，所以模为5． …………………………10分 18．（12分）
解：（Ⅰ）由题意知，r r =-12或r r -=-1412，解得5=r 或1=r (舍去)．
故r 的值为5． …………………………5分 （Ⅱ）115114)(2
----⋅⋅=r r r r x C T , 当r=5时, 4104145)(2x C T -⋅⋅=, …………………………7分
倒数第5项,即104101411)(2x C T -⋅⋅=, …………………………9分 由题意410414)(2x C -⋅⋅1041014)(2x C -⋅⋅=,
解得2±=x ． …………………………12分
19．（12分）
解：（Ⅰ）从评分等级为(]4,3的15人中随机选取2人共有105215=C 种结果，恰有一人为女性
的有5011015=⋅C C 种结果，故所求概率21
1010550==P . ………………5分 不满意 满意 合计
男 16 9 25
女 8 17 25
合计 24
26 50 8分 假设0H ：满意该商品与买家的性别无关，
则()2
250981617200 5.128 5.0242525242639
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ …………………11分 因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为满意该商品与性别有关．
………………………12分
20．（12分）
解：（Ⅰ）因为)(x f 与)(x g 的图象关于y 轴对称，∴1)1ln()()(+-+=-=x x x x g x f ， ∴1=a ； …………………………2分 1
)1ln()(+-+=x x x x f ，2)1()(+='x x x f ， 当01<<-x 时， 0)(<'x f ，当0>x 时，0)(>'x f ，
∴0=x 时)(x f 有最小值0)(=x f ． …………………………5分 （Ⅱ）假设存在这样的切线，设其中一个切点)1
)1ln(,(0000+-+x x x x T ，故切线方程为 )()
1(]1)1[ln(0200000x x x x x x x y -+=+-+-，将点M 坐标代入得， )0()1(]1)1[ln(10200000x x x x x x -+=+-+--，…………………………8分
即0113)1(1)1ln(0200=-+++-
+x x x ① …………………………9分 设113)1(1)1ln()(2-+++-+=x x x x h ，则3)
1()1()(+-='x x x x h ． )(x h 在区间)0,1(-，),1(+∞上是增函数，在区间)1,0(上是减函数，
又01)0(>=h ，0412ln )1(>+=h ，054
1ln )43(<-=-h ．……………11分 注意到)(x h 在其定义域上的单调性，知0)(=x h 仅在)0,43(-内有且仅有一根， 从而方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． ……………12分
21．（12分）
解：（Ⅰ）设A 表示事件“从甲袋中有放回的抽取3次（每次抽取1个小球），至少有两次抽到红球”，依题意知，每次抽到红球的概率为
5
4，…………………………2分 ∴125
1121256412548)54(51)54()(333223=+=+⨯=C C A P ．…………………………5分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3． ()223422550C C P C C ξ==⋅18910050==， ()1P ξ==21342255C C C C ⋅11232422
55C C C C C ⋅+⋅1225=， ()2P ξ==1113242255C C C C C ⋅⋅22422255C C C C +⋅310
=，()3P ξ==12422255C C C C ⋅125=．……9分 ξ的分布列为
ξ 0 1
2 3
P 509 2512 310 251 数学期望为12125E ξ=⨯+3123 1.21025
⨯+⨯=．…………………………12分 22．（12分）
解：（Ⅰ）由1)(-+=ax e x f x ，则a e x f x +=')(．
当0≥a 时，对R x ∈∀，有0)(>'x f ，所以函数)(x f 在区间(,)-∞+∞上单调递增；…………………………2分
当0<a 时，由()0f x '>，得)ln(a x ->；由0)(<'x f ，得)ln(a x -<，
此时函数)(x f 的单调增区间为(ln(),)a -+∞，单调减区间为(,ln())a -∞-．
综上所述，当0≥a 时，函数)(x f 的单调增区间为(,)-∞+∞； 当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间为(ln(),)a -+∞，单调减区间为(,ln())a -∞-．………………………………5分
（Ⅱ）x e a x x g --=22)()(，则x e a x x x g -+-='22)2()(．
根据题意，方程220x x a -++= 有两个不同的实根1212()x x x x <，，
∴044>+=∆a ，即1a >-，且,221=+x x 又,21x x <11<∴x ． ………6分
由0)(])2[(1222111≥----x g x a e x x x λ，
可得1122112211))(2(])2[(x x e a x x a e x x ----≥--λ
因21120x x a -++=，
∴上式化为112222111111[(2)(2)](2)(2)x x x x e x x x x e λ---+-≥-，
即不等式0)]1(2[11221≤+---x x e e x λ 对任意的11()x ∈-∞，
恒成立，………8分 （i ）当10x = 时，不等式0)]1(2[11221≤+---x x e e x λ 恒成立，R λ∈； ……9分
（ii ）当1)1(0x ∈， 时，0)]1(2[1122≤+---x x e e λ 恒成立，即1
21122+≥--x x e e λ， 令函数1
2212)(111222+-=+=---x x x e e e x k ，显然，()k x 是R 上的减函数， ∴当)1(0x ∈， 时，12)0()(22+=<e e k x k ，∴1
222
+≥e e λ， ………………10分 （i ii ）当10()x ∈-∞， 时，0)]1(2[1122≥+---x x e e λ 恒成立，即1
21122+≤--x x e e λ， 由（ii ），当)0(x ∈-∞， 时，12)0()(22+=>e e k x k ，∴1
222
+≤e e λ，……11分 综上，1
222
+=e e λ． …………………………12分。