七节无穷小的比较-精品

lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时 有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解 在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为 点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必 的要 的条 充件 分 为o().
证 必要性 设~，
lim


lim
1

0，


因 此 o ( ) ， 即 o ( ) ．
充分性 设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
例4 求limsin23x . x0 1co2sx
解 当 x 0 时 ,s3 ix ~ n 3 x ,1 c2 o x ~ 1 s ( 2 x ) 2 .
2 原式lim(3x)2 9
x0 1(2x)2 2 2
例5 求 lim 1sixncoxs. x 01si2nxco2xs
2 常用等价无穷小: 当 x0时 ,
x ~ si x ~ n ta x ~ n arx c ~ a sr ix n c ~ ltn 1 a x () n x ~ e x 1 , 1 cx o ~ 1 sx 2 , (1 x )a 1 ~ a(a x 0 )
2
例3
求limex
1 .
当 自 变x量在x0有 增 量 x时 ，y y对 应 的 增 量 记 y， 为则 y f (x0 x) f (x0).
0
yf(x)
y x
x 0 x0 x x
定义 1 设函y数 f(x)在x0的某一邻域内如 有果 定 lxi m 0ylxi m 0[f(x0 x)f(x0)]0
可去间断点 如果 f(x)在点 x0处的极限 , 存
但lx ixm 0 f(x)Af(x0),或f(x)在点 x0处无定 义则称 x0为 点函f数 (x)的可去间 . 断点
例4 讨论函数
f
(
x)

2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
例如,有理函(数 , 在 ) 内 区 是 间 连 . 续
例2 证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
(3)如l果 im C0,就 说 与 是同阶;的
(4)如l果 im kC0,k0,就 说 是 的 k阶的
无穷 . 小
(5)如果 lim1,就说 与是等价的无 ; 穷
记作 ~;
例如，

x2 lim
0，
x0 3x
即 x2o (3 x )(x 0 ).
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
例3
讨论f函 (x)数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的 x0,
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ ,且 li m 存 ,则 l在 i m li m .


证 lim lim()


lim lim lim lim .
注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等 价无穷小代换．
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
一、函数的连续性
假 设 函y数 f(x)在x0的 某 一U邻 (x0,域 )内 有 定 义 , xU(x0,),称xx0为 自 变 量 x0 在 的 增 量 ， x. 记 作
x0 x
解 令ex1u, 即 xln 1 (u ),
则 x 当 0 时 ,有 u 0 ,
lim ex1limu lim x 0 x u 0ln1(u) u0
1
1
ln(1 u)u
1
1

1
ln e
1.
limln(1 u)u
u0
即 x 0 时 ， x ~ l1 n ， x 当 )x ( , ~ e x 1 .
右极限至少有 在,一 则个 称x不 0点 为存 函数 f(x)的第二类.间断点
例6 讨论函 f(x) 数 1 x, x0,在 x0处的连 . 续
x, x0,
y
解 f(00)0, f(00),
x1为函数的第二类间. 断点 o x
这种情况称为无穷断间点.
例7 讨论f(函 x)s数 i1 n在 x0处的连 . 续 x
跳跃间. 断点
x,x0
例5 讨 论 函f(数 x)12,x0 ,在x0处 的 连.续 性
1x,x0
解 f(0)0, f(0)1,
y
f(0)f(0),
x0为函数的跳跃间.断点 o
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、
由定义2知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
如 x l x i果 0m f(x )f(x 0)则 , f(x 称 )在 x 0 处 点左 . 连 如x l i果 x m f(x)f(x0)则 , f(称 x)在x0处 点右 . 连
0
定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
y y1x
2 y2 x
1
o1
x
解 lif ( m x ) li2 m x 2 ,lif ( m x ) li( x m 1 ) 2 ,
x 1
x 1
x 1
x 1
f(1)1,
lim f(x)2 f(1), x 1
x 0为函数的可去间.断点
1 x
limsin1 x0 x
不存在. 不可比.
由上面结果可看出，同时无穷小, 但是趋 向于零的“快慢”程度却有不同.
定义:设,是同一过程中穷 的小 ,且 两 个 0. 无
(1)如果 lim 0，就说 是比 高阶的无 , 穷
记作 o()； (２ )如l果 im ，就 是 说 比 低阶的无
第七节 无穷小的比较
一、无穷小的比较 二、等价无穷小代换
一、无穷小的比较
例如, 当 x 0时 ,x,x2,six n,x2si1 n都是无 .
x
lim x 2 0, x0 3 x
x2比3x要快得;多
lim sin x 1,
sinx与x大致相;同
x0 x
lim
x0
x 2 sin x2
解
2sinxcoxs2sin2 x
2sinx(coxs2sinx)
原式 lim 2 2
2lim 2 2
2
x0 2sinxcoxs2sin2x x0 2sinx(coxssinx)
xx
x
x
x
lim2(co2s2sin2)1limco2s2sin21101
x0 x(coxssinx) 2x0 coxssinx 2 10 2
当 x 0时x， 2是3 比 x高阶的 ; 无穷
limsinx 1， x0 x
即 six~ n x (x 0 ).
当 x 0时 si， x n与 x是等价 ． 无穷
例1 证:当 明 x 0 时 ,tax n six 为 nx 的三阶 .
解 lx im 0tanxx3sinx lx i0(m c1o xs sx ixn 1x c2o x)s lx i0c m 1o xlx s i0s m x ixn lx i01 m x c2o x s 12 ,
(1)f(x)在x点 0处有;定义 (2)limf(x)存在 ;
xx0
(3)x l ix0m f(x)f(x0). 上 述 三 个 条 件 一中 个只 不,要 就 满有 称 足 函 f(x)在 点 x0处 不 连 (或续 间),断 并 称x0点 为 f(x)的 不 连(或 续间 点断 ). 点
处既左连续 . 又右连续
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
那么就称y函 f(数 x)在点 x0连续。
设 xx0 x,
yf(x )f(x), 0
x 0 就 x 是 x 0 , y 0 就 f ( x ) 是 f ( x ).
0
定义2 设函数 y f (x)在点x0的某一邻域内 有定义，如果
limf (x)
xx0
连续 . 性
解 lifm (x ) li(x m 2 )2f(0),
x 0
x 0
lifm (x ) li(x m 2 )2 f(0),
x 0
x 0
右连续但不左连续 ,
故函 f(x)在 数x点 0处不 . 连续
二、函数的间断点
函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的三