2018届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测(二模)理科数学试题_及答案

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题
数 学（理科）
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}log 42x B x ==，则A B ⋃= （A ）{}2,1,2- （B ）{}1,2 （C ）{}2,2- （D ）{}2
（2）
1
1i
-的共轭复数为 （A ）1i +（B ）1i -（C ）1122i +（D ）1122i -
（3）已知tan 2α=，则2sin 2cos α
α
的值为
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D 6
（4）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出
的是某几何体的三视图，则几何体的表面积为 （A ）324π+ （B ）244π+ （C ）4123
π+ （D ）4243
π+
（5）执行如图所示的程序框图，输出的T =
（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）62
（6）下列说法不正确的是
（A ）命题”若00x y >>且，则0x y +>” 的否命题是假命题
（B ）命题“0x R ∃∈，20010x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”
（C ）“2
πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充要条件
（D ）0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减
（7）已知某线性规划问题的约束条件是34
y x
y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪
+≤⎩，
则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值是
（A ）2z x y =- （B ）2z x y =+ （C ）12
z x y =-- （D ）2z x y =-+
（8）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2312a a a =，且4a 与72a 的等差中项为54
，则5S =
（A ）29 （B ）31 （C ）33 （D ）36 （9）函数cos622x x
x y -=
-的图像大致为
（10）已知函数()x f x x a =，若
11
162
a <<，则()f x 零点所在区间为
（A ）1(0,)4
（B ）11(,)164
（C ）11(,)42
（D ）1(,1)2
（11）如图，已知椭圆C 的中心为原点O ,(25,0)F -为C 的左焦
点，P 为C 上一点，满足||||||4OP OF PF ==且，则椭圆的方程为
（A ）221255x y += （B ）22
13616x y +=
（C ）2213010x y += （D ）22
14525
x y +=
（12）设函数
22
3
()cos 4sin 3(),| t |1,2
x f x x t t t x R =++-∈≤其中将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 的单调递增区间为
（A ）1(,]3
-∞-和[1,)+∞ （B ）1[1,]3
-- （C ）1[,)3
+∞ （D ）1[,1]3
-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分） （13）10(2)x e x dx +=⎰_______． （14
设两个非零向量a r 与b r ，满足||||2||a b a b a +=-=r r r r r
，，则向量a b
+r r 与a b -r r
的夹角等于_______．
（15）函数log (2)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，则22m n +的最小值为_______． （16）若实数,x y 满足方程112x y x y x e e +--+=+（e 是自然对数的底），则xy e =_______．
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足777S =，且1a ，3a ，11a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n
a n
b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
（18）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，
226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．
（1）求角C 的值；
（2）设函数()sin()cos (0)6
f x x x πωωω=-->，且()f x 图象上相邻两最
高点间的距离为π，求()f A 的取值范围． （19）如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 底面为矩形，
AC BC
= ，O 为
AB
的中点，
OF EC ⊥．
（1）求证：OE FC ⊥； （2）若2,3AB AC ==
F CE B --的余弦值
（20）抛物线2
:2(0)M y px p =>准线过椭圆:N 2
2415
x y +=的左焦点，以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与抛物线M 在第一象限的图像以及y 轴的正半轴相交于点A B 和，直线AB 与x 轴相交于点C
(1)求抛物线M 的方程
(2)设点A 的横坐标为a ，点C 的横坐标为c ，抛物线M 上点D 的横坐标为2a +，求直线CD 的斜率 （21）已知函数2()ln(1),f x x ax x a R =++-∈． （1）当14
a = 时，求函数()y f x =
的极值
（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值
为()f b ，求a 的取值范围
请考生在第（22）～（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC ∆为圆的内接三角形，AB AC =，BD 为
圆的弦，且//BD AC ，过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，
AD 与BC 交于点F ．
（1）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （2）若6AE =，5BD =，求线段CF 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α
为参数）和定点3)A ，1F 、2F 是
此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线2AF 的直角坐标方程；
（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-，()|3|g x x m =-++．
（1）若关于x 的不等式()0g x ≥的解集为[5,1]--，求实数m 的值； （2）若()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．
大庆市高三年级第二次教学质量检测理科数学参考答案 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
13．e 14．120︒ 15．2 16．1
三．解答题（本题共6大题，共70分） 17（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由等差数列{}n a 满足777S =知，4777a =，所以1311a d +=. ①
因为1311,,a a a 成等比数列，所以23111a a a =，整理得2123d a d =，
又因为数列{}n a 公差不为0，所以123d a =. ② ……………………2分
联立①②解得12,3a d ==. ……………………4分
所以31n a n =-. ……………………6分 （Ⅱ）因为2n
a n
b =，所以
311
282
n n n b -==⋅， ………………
……8分
所以数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列， ……………………10分
由等比数列前n 项和公式得，
324(18)24187
n n n T +--==-. (12)
分
18.（本小题满分12分） 解：（I ）因为C ab b a cos 622=+，由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+,
所以ab
c C 4cos 2
=， (1)
分
又因为B A C sin sin 2sin 2=，则由正弦定理得ab c 22=， ……………………2分
所以
2
1424cos 2=
==ab ab ab c C ，
……………………4分 因
为
(0,)
C π∈，
……………………5分 所
以
3
π=
C . ……………………6分 （Ⅱ
）
3
()sin()cos cos )
623
f x x x x x x ππ
ωωωωω=--=-=-， ……
………………8分
由
已
知
2
,2==ωπω
π
，
……………………9分 则
()),3
f A A π=-
因为2sin 2sin sin C A B =，3
π=C ，
所以232sin sin()34
A A π⋅-=，整理得1sin(2)6
4
A π-=. 因为
203
A π
<<
，所以
726
6
6
A π
π
π-
<-
<
，所以
cos(2)6A π-=. ……………………10分
()))
366
f A A A π
π
π
=-=--
1
)cos(2)]662
A A ππ=---⋅
① 113
())42428f A -=⋅-=，
② 113
())42428
f A +=⋅+=， 故
()
f A 的取
值
范
围
是
33{
}88
-+. ……………………12分
19（本小题满分12分）
（I ）证明：连接OC ，因为AC BC =，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABC ，面ABEF ⋂面ABC AB =，OC ⊂面ABC ，
故OC ⊥平面ABEF . 因为OF ⊂面ABEF
，于是OC OF ⊥. ……………………2分
又OF EC ⊥，OC EC C ⋂=，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥. ……………………4分
又因为OC OE ⊥，OF OC O ⋂=，故OE ⊥平面OFC ， ……………………5分 所以
OE FC
⊥. ……………………6分
（Ⅱ）由（I ）得，2AB AF =，不妨设1,2AF AB ==，取EF 的中点
D ，以O 为原点，,,OC OB OD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建
立空间直角坐标系。

因为
AC AB
=
，所以，OC =，于是
有
(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -，从而
(CE =u u u r
，
(0,2,0)EF =-u u u r ，设平面FCE 的法向量(,,)n x y z =r ，由00
n CE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r
r u u u r
得0
20
y z y ⎧++=⎪⎨
-=⎪⎩
得n =r
， ……………………
……9分
同理，可求得平面BCE
的一个法向量m =u r
，设,m n u r r
的夹
角为θ，
则
1
cos 3
m n m n θ⋅==
u r r u r r ，
…………………………11分
由于二面角F CE B --为钝二面角，所以所求余弦值为1
3
-. …………………………12分
20（本小题满分12分）
解：（I ）因为椭圆2
24:15x N y +=的左焦点为1(,0)2-，所以122
p -=-，
可得1p =， 故
抛
物
线
方
程
为
22y x =. …
………………………4分 （II ）
由题意知，(A a ，因为OA t =，所以222a a t +=，
由
于
t >，故
有
t =① …………………………6分
由点(0,),(,0)B t C c 的坐标知，直线BC 的方程为1x y c
t
+=，
又因为点
A
在直线
BC
上，故有
1a c +=， …………………………8分
将①代入上式，得1a c
=， 解
得
2c a =+，
…………………………10分 又因为
(D a +或(2,D a +，
所以直线CD 的斜率
1CD k =
===- 或
1CD k =
===. ……
…………12分 21（本小题满分12分）
（I ）当14
a =时，()()21ln 1,4
f x x x x =++-，则11
'()112
f x x x =
+-+， 整
理得
(1)
'()(1)2(1)
x x f x x x -=
>-+， …………………………1分 令'()0f x =得0x =，1x =，
当x 变化时，'(),()f x f x 变化如下表：
x (1,0)- 0 (0,1)
1
(1,)+∞
'()f x + 0
-
0 +
()f x
Z
极大值
]
极小值
Z
…………
………………3分
计算得(0)0f =，3(1)ln 24
f =-，
所以函数()y f x =
在0x =处取到极大值0，在1x =处取到极小值
3
ln 24
-
. ………………………4分
（II ）由题意(2(12))'()1
x ax a f x x --=+，
（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调
递减，此时，不存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数
()
f x 的最大值
为
()f b . (6)
分
（2）当0a >时，令'()0f x =，有10x =，21
12x a
=
-， （i ）当12
a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意. ………………………7分 （ii ）当
1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1
(1,)2a
-+∞上
单调递增，在1
(0,1)2a
-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值且(0)0f =，只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又1
1ln 22
-<，所
以
此
时实数a 的取值范围是1
1ln 22
a -≤<. ……………………
…9分
（iii ）当1102a
-<即12
a >时，函数()f x 在1
(1,
1)2a
--和(0,)+∞上单调递增，
在1(1,0)2a
-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]
x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a
-≤，
代入化简得1
ln 2ln 210,(*)4a a
+
+-≥ 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11'()(1)04g a a a
=->恒成立，
故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12
a >时，(*)恒成立，
综
上，实数a 的取值范围是
[1ln 2,)-+∞. ………………………12分
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为AE 与圆相切于点A ，所以BAE ACB ＝
行．
因为AB AC ＝，所以ABC ACB ＝行，所以ABC BAE ＝行，
所
以
AE BC ∥． …
…………………… 3分
因为
BD AC
∥，所以四边形
ACBE
为平行四边
形． ……………………… 5分 （Ⅱ）因为AE 与圆相切于点A ，所以2()AE EB EB
BD =
?，
即
26(5)
EB EB
=?，解得4BE =， (7)
分
根据（Ⅰ）有4,6AC BE BC AE ====，
设CF x =，由BD AC ∥，得AC CF BD BF
=
，即456x
x
=
-，解得83x =，
即83
CF =.…10分
（23）（本小题满分10分） 解
：（
Ⅰ
）
曲
线
2cos :x C y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22
143
x y +=， ………………………2分 其轨迹为椭圆，焦点
为
12(1,0),(1,0)F F -. ……………………
…3分 经
过
A 和
2(1,0)
F 的直线方程
为11x +=,
即
0y +=. (5)
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线2AF
的斜率为，因为2l AF ⊥，所
以l
的斜率为
3
，倾斜角为30︒，
所以
l
的参数方程
为1212
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ （
t
为参
数）， ………………………7分
代
入
椭
圆
C
的方程中，得
213123360t t --=. ………………………8分
因为
,M N
在点
1
F 的两侧，所以
1112123
MF NF t t -=+=
. ………………………10分
（24）（本小题满分10分） （Ⅰ）因为
()30
g x x m =-++≥，所以
3x m
+≤，所以
33m x m --≤≤-，……………3分
由题意知35
31
m m --=-⎧⎨
-=-⎩ ，所以
2m =. ………………………5分
（Ⅱ）因为()f x 图象总在()g x 图象上方，所以()()f x g x >恒成立，
即
23x x m
-++>恒成
立， ………………………7分
因为
23(2)(3)5
x x x x -++≥--+=，当且仅当
(2)(3)0x x -+≤时等式成立，…9分 所以
m
的
取
值
范
围
是
(,5)-∞. …………………
……10分。