高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2节两条直线的位置关教学案理(解析版)

[考纲传真] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直
①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨
⎪
⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
的解．
3．三种距离公式
(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|x 1－2
＋y 1－(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d C |
.
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d |C －|
[常用结论]
1．与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2
＋B 2
≠0)垂直或平行的直线系方程可分别设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．与对称问题相关的两个结论
(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．
(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y
2＝k ·x ′＋x 0
2
＋b ，可求出x ′，y ′.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
( )
(3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |
1＋k
2
. ( )
(4)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0
A [设l 的方程为3x ＋2y ＋m ＝0， 又直线l 过点(－1,2)，则 －3＋4＋m ＝0，∴m ＝－1.
∴l 的方程为3x ＋2y －1＝0，故选A.]
3．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1
D ．2＋1
C [由题意得|a －2＋3|
2＝1，即|a ＋1|＝2，
又a >0，∴a ＝2－1.]
4．(教材改编)过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．
3x ＋19y ＝0 [由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝－19
7
，
y ＝3
7
.
故过点(0,0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－197，37的直线方程为3x ＋19y ＝0.] 5．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 2 [由两直线平行可知36＝4
m
，即m ＝8.
∴两直线方程分别为3x ＋4y －3＝0和3x ＋4y ＋7＝0， 则它们之间的距离d ＝|7＋3|9＋16
＝2.]
两条直线的位置关系
1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
A [当a ＝1时，显然l 1∥l 2， 若l 1∥l 2，则a (a ＋1)－2×1＝0， 所以a ＝1或a ＝－2.
所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．]
2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12 B ．32 C.14
D ．34
D [由已知得3(a －1)＋a ＝0，解得a ＝3
4
.]
3．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数
m 的取值集合为( )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－43，23，43 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－43
，－23，23
D [∵三条直线不能围成一个三角形， ∴①当l 1∥l 3时，m ＝2
3；
②当l 2∥l 3时，m ＝－4
3
；
③当l 1，l 2，l 3交于一点时，也不能围成一个三角形，
由⎩⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，
得交点为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－13，代入mx －y －1＝0，得m ＝－23.故选D ．]
【例1】 (1)若点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )
A.
22
B ．1 C. 2
D ．2
(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________． (1)C (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [(1)因为点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，曲线y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x ，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2
－ln x 上与直
线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为2，故选C.
(2)法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|
k 2＋1，
即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－1
3
，
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－1
3
，直线l 的方程为
y －2＝－1
3
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.
故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.]
(1)经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂
直的直线方程为________．
(2)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离
的最小值为( )
A ．3 2
B ．2 2
C ．3 3
D ．4 2
(1)x ＋2y －7＝0 (2)A [(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －4＝0，
x －y ＋2＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，
∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．
设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.
(2)依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则
M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线
间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|
2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，
得M 到原点的距离的最小值为|－6|
2
＝3 2.]
对称问题
【例2】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －2
2
＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－33
13，y ＝4
13，
即A ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3313，413.
(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．
设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
2×a ＋22－3×b ＋02
＋1＝0，b －0a －2×2
3＝－1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6
13，b ＝30
13，
即M ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫613，3013.
设m 与l 的交点为N ，则由⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0，得N (4,3)．
又m ′经过点N (4,3)，
∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.
(3)法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．
易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点，
则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )， ∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.
(1)已知直线＝2是△中角的平分线所在的直线，若点，的坐标分别是(－4,2)，
(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
(2)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
(1)C (2)6x －y －6＝0 [(1)设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧
y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝
－2－1
4－3
(x －3)，即3x ＋y －10＝0.联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋y －10＝0，
y ＝2x ，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．
(2)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
b －4
a －－·1＝－1，
－3＋a 2－b ＋4
2＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.即M ′(1,0)．
又反射光线经过点N (2,6)，
所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1
，
即6x －y －6＝0.]。