08春 分班考试 101分班考试班 第六讲 杂题 教师版

1.
3.
北京一零一中建了一个游泳池，游泳池长80m ，宽40m ，当学生在游泳池游泳时，有两位救生员要站在游泳池边的某些位置以负责学生安
全，为了能使学生在水中发生危险时。

救生员能从水中以最短的时间
去救援，救生员应该安排在游泳池边的什么位置？请在图中用A ，
B 标记出来。

【分析】
4.从1,2,3,...30这30个自然数中，至少要取出__________个不同的数，才能保证其中一定有一个
数是5的倍数。

【分析】130
中5的倍数有6个，非5的倍数有24个，
所以至少要取25个。

5.一根101厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔。

2厘米画一个刻度，第二次每隔3厘米画
一个刻度，第三次每隔5厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出段。

【分析】2厘米一截，可以截出51段，
再按3厘米的奇数倍截可以截出17段，
再按5厘米的1,5,7,11,13,17,19倍截可以截出7段，
总计可以截出5117775
++=段。

6.甲、乙、丙、丁与小强共5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经
赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，则小强已经赛了＿＿＿＿盘。

【分析】甲赛4盘，说明甲和谁都赛过了，所以和小强也赛过了；
乙赛3盘，说明乙只和一个人没赛过，因为丁只赛过1盘，必然和甲赛的，所以丁
和乙没赛过，所以小强和乙也赛过了；
丙赛2盘，说明和甲、乙各赛1盘，所以没和小强赛过；
所以小强已经赛了两盘。

7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序。

在未公布顺序前每人
都对出赛顺序进行了猜测。

甲猜：乙第三，丙第五：乙猜：戊第四，丁第五：丙猜：甲第一，
戊第四：丁猜：丙第一，乙第二：戊猜：甲第三，丁第四。

老师说每人的出赛顺序都至少被一
人所猜中，则出赛顺序中，第一是；第三是。

【分析】猜戊的只有第四，所以戊第四，所以丁不是第四，丁是第五，所以丙不是第五，丙是第一，所以甲不是第一，甲是第三，所以乙不是第三，乙是第二。

出赛的顺序依次是丙、乙、甲、戊、丁，第一是丙，第三是甲。

8.将1,2,3,...,9这9个数字分成3组，分别计算各组数的和，已知所得的这3个和互不相等，且最大
的和是最小的和的4倍，那么最小的和是（）
【分析】如果最小的和是5，最大的和则是20，中间的和也是20，与题意不符，
所以最小的和是6。

9. 从1,3,5,...,97,99,101中最多可以选出N 个数，使得选出的这N 个数中每一个都不是另一个的倍数，那么N =（ ）
【分析】 1100 的质数，去掉2，有24个， 所以24125N =+=。

10.
先写出一个三位数101，然后在101的右端写出这个三位数的末两位数字0与1之和1，得到一个四位数1011；再写出这个四位数的末两位数字1与1之和2，得到10112；利用上述方法可以得到一个101位数：10112358134...，则这个101位数的末位数字是（ ）。

【分析】 这个101位数的循环节是“1123581347”，
(1012)109...9-÷=，循环节第9位的数字是4， 所以这个101位数的末位数字是4。

【例1】 (北京市一零一中学计算机培训班六年级0405
小王在一年中去少年宫学习56少年宫在____________点处。

【分析】
1515151063156+++++++= 所以少年宫在B 点
【例2】 4道选择题，每题都有,,,A B C D 这四道题，至少有 人的答题结果是完全一样的？
【分析】 4道选择题有4444256⨯⨯⨯=种不同的选法，
800256 3...32÷=，说明在32种答题结果中至少有4人是完全一样的。

【例3】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人
发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。

那么这些小朋友最多有 人。

【分析】 每隔2人发一个苹果，说明3人中有1个苹果， 每隔4人发一个桔子，说明5人中有1个桔子， []3,515=，
所以小朋友最多有151014164⨯+=人。

【例4】甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试乘积情况是：
甲说：“我可能考的最差。

”
乙说：“我不会是最差的。

”
丙说：“我肯定考的最好。

”
丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的。

”
成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是_________ 。

【分析】如果甲猜错了，甲、乙、丙、丁就没有最差的了，与题意不符，
所以甲猜对了，甲是最差的，所以乙也猜对了，
如果丙也猜对了，丁就猜错了，但是丁若猜错了与丙猜的矛盾，
所以丁没有猜错，猜错的是丙，
实际成绩从高到低依次为乙、丙、丁、甲。

【例5】第四届东亚男足邀请赛共有四支球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队得分是（）分
【分析】设四支球队分别为,,,
A B C D，
则A赢B，A平C，A平D，
B赢C，B平D，
C平D，
A得5分，B得4分，C得2分，D得3分，
输给第一名的球队得分是4分。

【例6】在下式的□中填入数字，使等式成立（注，每个□内只允许填0,1,2,...,9中的一个数字，允许重复）101
⨯+=
□□□□，那么满足以上要求的等式可以填出（）个。

【分析】5021
⨯+3种；
⨯+2541
⨯+2051
⨯+3种；
⨯+9912
3332
⨯+1192
⨯+9813
⨯+3种；
4923
⨯+1473
⨯+1种；
9714
⨯+9615
⨯+1285
⨯+6种；
4825
⨯+3235
⨯+2445
⨯+1665
⨯+2种；
1956
⨯+9516
⨯+2种；
⨯+9417
4727
⨯+9318
⨯+2种；
3138
⨯+3种；
⨯+9219
⨯+2349
4629
共计：25种。

1. 下图看似复杂，实际上只要你找到合适的方法，你就不费吹灰之力就可以画出第2幅图来，试试看。

【答案】
2.
一张正方形纸对折，再对折（如下图），如此对折10次，在最后折出的顶点处裁去一个“角”。

之后打开这张纸，纸上应有多少个洞?
【答案】 截去一个“角”，并不是一个完整的“洞”，把对折10次的纸打开两次——“退”。

这时得到
的是一个完整的“洞”。

而且洞穿过每一层纸，有多少层纸，打开后纸上就有多少个洞。

得到了解决。

纸上应有62256=个洞。

3.
如图一个长方体的长、宽、高分别为4,2,1，点沿表面爬到B 点，问爬行的最短距离是多少？
【答案】 把长方体的前面旋转到与上面同一平面上，
可以得到一个新的长方形：长是4，宽是3，AB 5AB ==
33,9,8
这两个数之间，可产生一个新数串：3,6,9,1,8
-，这称为第一次操作。

做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：??????。

继续依次操作下去，问：从数串3,9,8开始操作第一百零一次以后所产生的那个新数串的所有数之和是。

【答案】每次操作数字之和5+，所以第一百零一次操作以后所产生的数串的所有数之和是3985101525
+++⨯=。