定积分的性质

第五章第三讲、定积分的性质
我们列举一些定积分的性质如下：
性质 3.1. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积（记着 f (x)∈R[a,b]），k 为常数。

则有
∫∫
b b
k f (x)d x =k f (x)d x
a a
证明：略
性质3.2. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积，则 f (x)±g(x) 也在区间[a,b] 上可积并且有
∫∫∫
b b b
[ f (x) ±g(x)]d x = f (x) d x ±g(x) d x a
a a
证明：由定理2.2 可知 f (x)±g(x) 在区间[a,b]上可积，于是按照定积分的定义，我们有
左端
n
=∑±
lim [ ( ) ( )]
f ξ
g ξ
∆x
i i i
T →0
i=1
n n
∑∑
=+
lim ( ) ( )
f ξ∆x
g ξ∆x
i i i i
T →0
i=1 i=1
n n
=∑±∑
lim ( ) lim ( )
f ξ∆x
g ξ∆x
i i i i
T →0 T →0
i=1 i=1
=右端
证毕。

性质3.3. 设函数 f (x) ，区间[α,β]上可积，a,b,c∈[α,β]。

则有
∫∫∫
b c b
f (x) d x = f (x) d x + f (x) d x a
a c
证明：不妨假设，a,b,c 两两不等（它们中至少有两个相等时，结果显然成立）。

若a <
c
<
b
，因 f (x) 在区间[a,b]上可积，所以在分割区间时, 可以永远取c 为分点，于是
证毕。

性质3.4. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积.若 f (x)≥ 0 ，则
∫
b
a
f (x) d x ≥
0.
证明：对于任意分割，所选择的积分和均非负，即
n
∑
i=1
f (ξ)∆x
≥ 0
i i
于是n
b
=∑∆≥
∫。

证毕。

f (x)d x lim f (ξ) x 0
i i
a T →0
i=1
推论 3.1. 设函数 f (x) ，g(x) 在区间[a,b] 上可积。

若
b b
f x ≤
g x x∈a b ，则有 f (x)d x ≤g(x)d x
( ) ( ), [ , ]
∫∫
a a
推论3.2. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积. 则
∫≤∫ b ( ) d
b
f (x)d x f x x
a
a
证明：因为− | f (x) |≤ f (x) ≤| f (x) | ，由定理 2.1 可知函数| f (x) | 在区间[a,b] 上也可积，由推论3.1 可得
−∫≤∫≤∫
b b b
f (x) d x f (x)d x f (x) d x
a a a
b b
∫∫。

证
毕。

即 f (x)d x ≤ f (x) d x
a a
推论3.3. 设函数 f (x) 在区间[a,b] 上可积, ==.
M sup f (x), m inf f (x)
x∈[a, b]
x∈[a, b]
则m(b −a) ≤∫ f (x)d x ≤M (b−a)。

b
a
注记3.1. 当我们说区间[a,b]时，默认了a <b 。

所以在上面性质3.4，
推论 3.1，3.2，3.3 中均默认了 a < b 这一事实。

π
sin x π 例子 3.1. 试证: ≤ ∫
≤
1
d x 2
x
2 0
sin x
证明：不难验证函数
= 在区间 [0,π / 2]上单调递减（我们这里
f (x )
x
2 sin x
约定 f (0) =1。

故有 ≤ ≤ ，从而由推论 3.3 可得所要的结果。

证
1
π x
毕。

性质3.5. 设函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上可积，函数 g (x ) 在区间 [a ,b ]有界.
若除[a,b] 中有限个点外均有 f (x)=g(x)，则函数g(x) 在区间[a,b] 上也
可积并且
∫∫
b b
f (x)d x =g(x) d x
a a
证明：记h(x) =g(x) − f (x) 。

则函数h(x) 在区间[a,b] 有界并且除[a,b] 中有限个点外均有h(x)= 0 。

利用定积分的定义不难得到函数h(x) 在区间[a,b]可积并且∫h(x)d x =0。

于是由性质3.2 可知g(x) =f (x) +h(x) 在
b
a
区间[a,b] 上可积并且
∫∫∫∫∫
b b b b b
g(x)dx =( f (x) +h(x))dx = f (x)dx +h(x)dx = f (x)dx a
a a a a
证毕。

注记3.2. 对可积函数改变其在有限个点处的值，不影响其可积性和积分值的大小。

性质3.6（.积分中值定理）若f (x)∈C[a,b] ，则至少存在一点ξ∈[a,b] 使
∫f(x)d x =f (ξ)(b −a) 。

得
b
a
证明：设f (x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为m,M , 则由推论3.3 可得
1
b a
−∫
b
m ≤ f (x)d x ≤M
a
根据闭区间上连续函数介值定理, 至少存在一点ξ∈[a,b] 使得
1
b a
−∫
b
f (ξ) = f (x)d x
a
证毕。

注记3.3. 对于积分中值定理，我们可以进一步要求ξ∈(a,b) （请读者
自行证明）。

另外，。