第八章 刚体的基本运动(H)

A
b
1 试计算杆端A点和 点的速度 试计算杆端 点和C点的速度、 点和 点的速度、 加速度，并画出其方向。 加速度，并画出其方向。
ω α
O
B
a
a
第八章 刚体的基本运动
A
aA
֠ 思考题
α
B C
2
O
已知 A 点的加速度大小和 方向，试画出 B 点和 C 点 方向， 的加速度方向。 的加速度方向。 aA
第八章 刚体的基本运动
刚体的转动方程： 刚体的转动方程： 转动角速度： 转动角速度：
ϕ ＝f (t)
dϕ ω= dt
转动角加速度： 转动角加速度：
dω d2ϕ = 2 α= dt dt
3. 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度： 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度：
v = ω× r , a = α × r, a = ω× v
3 dω 2hv0t =− 2 2 2 2 α= dt (h + v0t )
第八章 刚体的基本运动
例题4 已知：OA= B=l=2 已知：OA=O1B=l=2r, AB=OO1 求：此时轮 O1 角速度和角加速度. 速度和角加速度. 解：将A点的加速度分解
O
aA
atA
A B
n A
a
ϕ
C O1
a = aA sin ϕ, a = aA cosϕ
B 2
z
A 2 D
rAD
C
ω
a 4 c
d
b
y
raD = 4 j + 2k
2 4 2 ω= ωi + ω j+ ωk 24 24 24
x
i 2ω vD =ω× rAD = 24 0
j 4ω 24 4
k 2ω 2ω 4ω =− j+ k 24 6 6 2
第八章 刚体的基本运动
结论与讨论
1. 刚体的平行移动：平刚体内任一直线在运动过程 中， 始 刚体的平行移动： 终与它的最初位置平行。 终与它的最初位置平行。 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。 ★ 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状完全一样。在同一瞬 时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。 刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。 刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。 2. 刚体绕定轴转动：刚体运动时，其中有两点保持不动。 刚体绕定轴转动：刚体运动时，其中有两点保持不动。 两点的连线称为转轴。 两点的连线称为转轴。
ϕ r = ro −δ 2π
第八章 刚体的基本运动
v2δ α= 2π r3
§8-4 刚体内各点的速度和加速度的矢量表示
考察三维定轴转动刚体
z
三维定轴 转动刚体
ω
角速度矢量、角加速度矢量 角速度矢量、
dϕ ω =ωk = k dt
y
α
x
dω d ϕ α =α k = = 2k dt dt
2
第八章 刚体的基本运动
第八章 刚体的基本运动
v
ω
O
v
加速度
ω α
an
M
θ
d2S d2ϕ at = 2 = R 2 = Rα dt dt
O
an =
v
2
ρ
=
(Rω)
2
a v
ρ
= Rω2
at
ω α
2 a = at2 + an = R α 2 + ω4
at α tanθ = = 2 an ω
第八章 刚体的基本运动
O M
θ
a
结
A
o1
o2
B
直线平动： 直线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为直线 曲线平动： 曲线平动：如果刚体上各点的运动轨迹为曲线
第八章 刚体的基本运动
rB = rA + AB
AB −常矢量
rB
B1 B
B2
B3
B4
刚体平动时， 刚体平动时，其上各点的 轨迹的形状完全一样 。
A
A1
A2
A3
A4
vB = vA aB = aA
t n
第八章 刚体的基本运动
第八章 刚体的基本运动
第八章
刚体的基本运动
※ 刚体的平行移动 ※ 刚体绕定轴的转动 ※ 转动刚体内各点和速度和加速度 ※ 速度和加速度的矢量表示 ※ 结论与讨论
第八章 刚体的基本运动
§8 - 1
平移的实例
刚体的平行移动
第八章 刚体的基本运动
平移的实例
第八章 刚体的基本运动
特征：如果在物体内任取一直线， 特征：如果在物体内任取一直线， 在运动过程中这条直线始终与它的 最初位置平行， 最初位置平行，这种运动称为平行 移动，简称平动或移动。 移动，简称平动或移动。
rA
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同； 刚体平动时，其上各点的轨迹的形状相同；在每一瞬 各点的速度相同，加速度也相同。 时，各点的速度相同，加速度也相同。
刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。 刚体的平动可归结为研究刚体内任一点的运动。
第八章 刚体的基本运动
例题 1 已知：OA＝ 已知：OA＝l；ϕ ＝ω t 求：T型杆的速度和加速度 型杆的速度和加速度 解：T型杆作平动，建立图示坐 型杆作平动， 标系， 标系，取M点为研究
O
ϕ
A
M
C
x
B
xM = l sin ϕ = l sin ωt
dxM vM = = lω cosωt dt
dvM aM = = −lω2 sin ωt dt
第八章 刚体的基本运动
例题2 已知： 已知：O1A＝ O1B ＝l；O1A杆的角速度 ω 和角加速度 α 。 求： C点的运动轨迹、速度和加速度。 点的运动轨迹、速度和加速度。 解：板运动过程中， 板运动过程中， 其上任意直线始终平 行于它的初始位置。 行于它的初始位置。 因此， 平移。 因此，板作 平移。 1、运动轨迹 C点的运动轨迹与A、 点的运动轨迹与A B两点的运动轨迹形状 相同，即以O 相同，即以O点为圆心 l为半径的 圆弧线。
O
A B
C
第八章 刚体的基本运动
例题 3
已知： 已知：h; vo
y
A
求：OA杆的转动方程、角速 OA杆的转动方程 杆的转动方程、 度和角加速度. 度和角加速度. 解：建立图示坐标系
O
ϕ
h
v0 x
x
x v0t tanϕ = = h h v0t ϕ = arctan( ) h
hv0 dϕ ω= = 2 22 dt h + v0t
ϕ
三维定轴 转动刚体
ϕ = f (t)
刚体转动的角速度
dϕ ω= dt
A B
刚体转动的角加速度
特征：如刚体在运动时， 特征：如刚体在运动时，其上有 两点保持不动。 两点保持不动。
第八章 刚体的基本运动
dω d2ϕ α= = 2 dt dt
讨 论
（1）匀速转动 ω =常量 常量
ϕ ＝ ϕ0+ ωt
2π n π n ω= = 60 30
论
（1） 每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大小， ） 每一瞬时，刚体内所有各点的速度和加速度的大小， 分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 （2） 每一瞬时，刚体内所有各点的加速度与半径间的夹角 ） 每一瞬时， 都有相同的值。 都有相同的值。
C
֠ 思考题
第八章 刚体的基本运动
2、速
度
vC = vA = vB = ωl
3、加 速 度
t n aC = aA = (aC )2 + (aC )2
n = (atA )2 + (aA )2
= (αl)2 + (ω 2l)2
= l α 2 +ω4
第八章 刚体的基本运动
§7 - 2
z
刚体绕定轴的转动
刚体转动的运动方程
用矢积表示刚体上点的速度与加速度
vP =ω×rP
dvP dω drP aP = = × rP + ω× dt dt dt
= α×rP + ω×vP
t n = aP + aP
t aP = α × rP
考察三维定轴转动刚体
第八章 刚体的基本运动
a =ω×vP
n P
例题6 已知： 已知：长方体尺寸和 ω； 求：长方体上D点的速度 长方体上D点的速度 解：建立图示坐标系
ωα
已知： 例 题 5 已知：δ ; v ; r 求：卷盘的角加速度 卷盘的角加速度 解：由定轴转动公式 对此式求导： 对此式求导：
v
δ
r
v = rω
O
dω dr 0= r +ω dt dt dω ω dr α= =− dt r dt
半径的表达式： 半径的表达式：
ɺ dr ϕ ω = −δ = −δ dt 2π 2π
（2）匀变速转动 α =常量 常量
ω = ω0 +α t
1 2 ϕ = ϕ0 +ωt + α t 2 2 ω2 −ω0 = 2α ϕ
第八章 刚体的基本运动
§8 - 3
刚体内各点的速度和加速度
速 度
S = Rϕ
M0 R
ω
ϕ
M O
R——转动半径 转动半径
dS dϕ v= =R = Rω dt dt
★ 转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚 转动刚体内任一点的速度的大小， 体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积， 体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积， 它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。 它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。