2019-2020年人教A版高中数学选修2-2：1.4生活中的优化问题举例课件 (共37张PPT)(1)

解析：(1)∵当 x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中 3<x<6. ∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 10 千 时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，轮船的速 是多少时，航行 1 千米所需的费用总和为最小？ 解析：设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元，由题意得 p＝k·v3，其中 为比例系数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝1603＝0.006. 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总
综上，当 1≤t≤2 时，投入23a万元，y 的最大值为3227a3； 当 0<t<1 时，投入22t＋at1万元，y 的最大值为23t2＋a31t23.
求解利润最大问题方法： 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本” 建立函数关系式，再利用导数求最大值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商 获得的利润最大．
∴当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4)
4
(4,6)
f′(x) ＋
0
－
f(x)
极大值 42
由表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． ∴当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值 42. 故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
当 5<x≤10 时，f′(x)>0，故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 所以，当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小，最小值为 70 万元．
解答用料最省、费用最低问题： 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意 明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标 表示为自变量 x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意 自变量的取值范围，即函数的定义域．
20 3 D. 3 cm
解析：设圆锥高为 h，则底面半径 r＝ 202－h2
V＝13πr2h＝π3(202－h2)h(0<h<20)
V′＝π3(400－3h2)＝π(4030－h2)
＝π(203 3－h)(203 3＋h) 当 0<h<203 3，V′>0，当203 3<h<20 时，V′<0， ∴h＝203 3时，V 最大．故选 D. 答案：D
当 x∈(0,20)时，V′>0； 当 x∈(20,30)时，V′<0. 所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值． 此时ha＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.
解决面积、容积的最值问题的思路： 1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示 为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方 程，以利于解决问题．
令 y′＝0 得：x＝0 或 x＝6(x＝0 舍去)．
当 0<x<6 时，y′>0，
当 x>6 时，y′<0，即 x＝6 时，y 取最大值．
∴当生产 6 千台时，利润最大．
答案：A
4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车 的总利润 y(万元)与营运年数 x(x∈N*)满足 y＝－x2＋12x－25，则每辆客车 ________年，可使其营运年平均利润最大． 解析：∵总利润 y(万元)与营运年数 x 之间的关系式为 y＝－x2＋12x－25， ∴平均利润xy＝－x－2x5＋12＝－(x＋2x5)＋12. ∴(xy)′＝－1＋2x52，令－1＋2x52＝0，得 x＝5. 由题意知，运营 5 年的年平均利润最大． 答案：5
解析：设矩形场地的长为 x，则宽为 8－x，
面积为 S＝x(8－x)(0<x<8)，
令 S′＝8－2x＝0，得 x＝4.
此时 S 最大值＝42＝16(m2)．
答案：C
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为 20 cm，要使其体积最大，则高为(
3 A. 3 cm
10 3 B. 3 cm
16 C. 3 3 cm
费用是(0.006v3＋96)元，而行 1 千米所需时间为v1小时，所以行 1 千米的总费用 ＝v1(0.006v3＋96)＝0.006v2＋9v6. q′＝0.012v－9v62＝0.v0212(v3－8 000)， 令 q′＝0，解得 v＝20. 因当 v<20 时，q′<0；当 v>20 时，q′>0，所以当 v＝20 时取得最小值． 即当速度为 20 千米/小时时，航行 1 千米所需费用总和最小．
导数在实际问题中的应用
[典例] (本题满分 12 分)甲、乙两地相距 s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地 度不得超过 c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 部分组成；可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分 元． (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义 (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
[解析] (1)设 y＝f(x)＝k(a－x)x2， 当 x＝a2时，y＝a3，即 a3＝k·a42·a2，∴k＝8. ∴f(x)＝8(a－x)x2.
∵0<2ax－x≤t，
∴函数的定义域是x0<x≤22t＋at1

.

(2)f′(x)＝－24x2＋16ax，令 f′(x)＝0，则 x＝0(舍去)或 x＝23a.
探究一 长度、面积、容积的最值问题
[典例 1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B， C，D 四个点重合于图中的点 P，正好形成一个正四棱柱 形状的包装盒，E，F 在 AB 上，是被切去的一个等腰直 角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x cm.
探究三 利润最大、效率最高问题
[典例 3] 为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药 也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的 本．某药厂有一条价值 a 万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低 y 万元与 术改造投入 x 万元之间满足：①y 与(a－x)和 x2 的乘积成正比；②当 x＝a2时，y＝ 并且技术改造投入比率2ax－x∈(0，t]，t 为常数且 t∈(0,2]． (1)求 y＝f(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求 y 的最大值及相 的 x 值．
[解析] (1)依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为vs，全程运输成本为
l＝2x＋2y＋2( 22x)＝(32＋ 2)x＋1x6. 所以 l′＝32＋ 2－1x62.令 l′＝0，即32＋ 2－1x62＝0， 解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去)． 当 0<x<8－4 2时，l′<0； 当 8－4 2<x<4 2时，l′>0. 所以当 x＝8－4 2时，l 取得最小值． 此时，x＝8－4 2≈2.343 (m)，y≈2.828 (m)． 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省．
探究二 用料最省、费用最低问题
[典例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建 隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满 关系：C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元．设 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
[解析] (1)隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x)＝3xk＋5， 再由 C(0)＝8，得 k＝40， 因此 C(x)＝3x4＋0 5. 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x 20×3x4＋0 5＋6x＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－32x＋40502，令 f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，解得 x＝5 或 x＝－235(舍去 当 0≤x<5 时，f′(x)<0；
Байду номын сангаас
当 0<x<23a时，f′(x)>0，∴f(x)在0，23a上是增函数；当 x>23a时，f′(x)<0，∴ 在23a，＋∞上是减函数． ∴x＝23a为 f(x)的极大值点． 当2t2＋at1≥23a，即 1≤t≤2 时，ymax＝f23a＝3227a3； 当2t2＋at1<23a，即 0<t<1 时，ymax＝ f22t＋at1＝23t2＋a31t23.
3．某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数：y1＝17x2，生产总成本 y2 也是产量 x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )
A．6 千台
B．7 千台
C．8 千台
D．9 千台
解析：产品利润为 y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2
＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2.
1.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x， y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面 积为 8 m2.问：x，y 分别为多少时用料最省？(精确到 0.001 m) 解析：依题意，有 xy＋12·x·x2＝8， 所以 y＝8－xx42＝8x－x4(0<x<4 2)． 于是框架用料长度为
1.4 生活中的优化问题举例
考纲定位
重难突破
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 重点：利用导数
2.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化 解决实际问题.
问题. 难点：函数模型
3.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化 的构建.
归转化的思想意识.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒 高与底面边长的比值． [解析] 设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝ 2x，h＝60－22x＝ 2(30－x)，0<x<30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当 x＝15 时，S 取得最大值． (2)V＝a2h＝2 2(－x3＋30x2)，V′＝6 2x(20－x)． 由 V′＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝20.
课时作业
[自主梳理] 一、优化问题 生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题，这些问题通 称为优化问题． 二、解决优化问题的基本思路
[双基自测]
1．有一长为 16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为(
A．32 m2
B．14 m2
C．16 m2
D．18 m2