初二--专题1-平方根-立方根

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名师堂学校方法讲义之—— 专题1: 平方根、立方根
【知识要点】
一、无理数：无理数是指无限不循环小数．．．．．．．
．无理数不能化成分数．而有限小数或无限循环小数都是有理数．
二、平方根与算术平方根：
1．算术平方根：如果一个正数．．x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数．．x 叫做a 的算术平方根． 符号表示为：a ．特别规定，0的算术平方根是0，即00=．
因此，若a 是一个非负数，则a 也是一个非负数，即a ≥0．
2．平方根：如果一个数．．．x ．的平方等于．．．．．a ．
，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根．（也叫做二次方根）． 显然：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
0只有一个平方根，它是0本身；
负数没有平方根．
一个正数a 的两个平方根记为a ±．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 为被开方数． 显然，开平方与平方互为逆运算．
3．性质：a a =2)(（a ≥0）；||2a a =（a 取任意数）
三、立方根：如果一个数．．．x ．的立方等于．．．．．a ．
，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（或三次方根）．记为3a ．
任何数的立方根都只有一个．．．．．．．．．．．．
，正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负，0的立方根是0． 对于任意数a ，均有a a a ==3333)(．
四、数据估算：估算在现实生活中经学用到，估算主要有两种方法：①“夹逼法”，通过两边无限逼近，逐渐确定真实值所在范围；②根据问题中的误差范围，取近似值．
【典型例题】
例1 求下列各数的平方根：
（1）81 （2）
2516 （3）4
12 （4）49.0
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
（1）－64 （2）0 （3）(－4)2 （4）10
－2
名师课堂——关键教方法
例3 求下列各式的值：
（1）10000 （2）144- （3）
12125 （4）0001.0- （5）±625 （6）±8149
例4 求下列各数的立方根：
（1）－8 （2）8 （3）278-
（4）0.216 （5）0
例5 求下列各式的值：
（1）327 （2）327- （3）327102
- （4）364
27--
例6 求下列各式中的x 值：
（1）x 2＝25； （2）25x 2－36＝0； （3）x 3＝0.008； （4）(x －1)3＝27
例7 若0)2(42=-+++x y x ，则=+y x 23＿＿＿＿＿。

例8 已知：411+=-+-y x x ，求x y 的平方根．
【中考链接】
1．（浙江）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有
立方根；④－17是17的平方根。

其中正确的有（ ）
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
2．（江苏）16的平方根是 ，36的算术平方根是 。

3．（上海）8的平方根是 。

4．（长沙市）下列实数中，无理数是（ ）
（A ）3.14 （B ）2
1- （C ）0 （D ）3 5．（黄冈市）－4的相反数是 ， －8的立方根是 ， 9的平方根是 。

6．（南通市）计算3825-，结果是（ ）
（A ）3 （B ）7 （C ）－3 （D ）－7
7．（厦门市）5的算术平方根是（ ）
（A ）5 （B ）－5 （C ）5± （D ）25
【过手训练】
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
（A ）1的算术平方根是1 （B ）（－1）2
的算术平方根是－1
（C ）0没有算术平方根 （D ）负数的算术平方根是一个负数
2．若一个自然数的算术平方根是x ，则比这个自然数大5的自然数的算术平方根为（ ）
（A ）x ＋5 （B ）x 2＋5 （C ）5+x （D ）52+x 3．下列写法正确的是（ ）
（A ）7是49的算术平方根，即749±= （B ）7是2)7(-的算术平方根，即7)7(2-=-
（C ）±7是49的平方根，即749±=± （D ）7是7的算术平方根，即77=
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）－4没有立方根；（2）1的立方根是±1；（3）
91的立方根是3
1； （4）－5的立方根是35-；（5）64的平方根是8．
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
5．以下判断正确的是（ ）
（A ）一个数的立方根一定比这个数小； （B ）一个正数的立方根有两个；
（C ）一个负数的立方根只有一个，且为负数； （D ）立方根等于它本身的数只0和1．
二、填空题
1．把下列各数填入相应的空格内： 1415.3,10101010.55
135110.21010010001.32 ，，，，-π 有理数： __________________
无理数： ______________
2．正数a 的平方根记着 ，正数a 的算术平方根记着 ，正数a 的负的平方根记
着 ．
3．81的平方根是 ，0.64的平方根是 ．
3．49
1的算术平方根的相反数是 ，平方根的倒数是 ，平方根的绝对值是 ． 4．如果52=x ，那么x ＝ ．
5．0.064的立方根是 ，－1的立方根是 ，3的立方根是 ，0的立方根
是 ，－27的立方根是 ．
6．364-＝ ，38-＝ ，3125--＝ ，33)0001.0(-＝ ．
7．若a 2＝(－3)2，则a ＝ ，若a 3＝(－3)2，则a ＝ ．
8．若x －2是36的算术平方根，则x 的立方根是
三、解答题
1．求下列各式的值：
（1）253 （2）254
36.0+ （3）31251
-
（4）38191
2．已知0|32|52=-+-+x y x ，
（1）求x 与y 的值；（2）求(x+y )的平方根．
3．计算：
（1）23)3(819
1)94
(-⨯-⨯- （2）32222105129+++
4.已知：2552
53+---=x x y ，求：y x 84+的算术平方根。