新北师大版高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试(有答案解析)(6)

一、选择题
1．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．若202031i i
z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若复数z 的虚部小于0，|z |5=，且4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
4．已知i 是虚数单位，复数1i
1i -+（ ）． A ．1 B ．1-
C ．i
D ．i -
5．已知复数，满足
，那么在复平面上对应的点
的
轨迹是( )． A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
6．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25
C ．7-
D ．7
7．复数
421i
i
-=+（ ） A ．13i + B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
8．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面
对应的点是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知复数212i
z i
-=+，则z =（ ） A ．43i +
B ．43i -
C ．i -
D ．i
10．已知2
(1i)=1i z
(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）
A ．1i --
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i +
11．设i 是虚数单位，复数1a i
i
-+在复平面内对应的点在直线10x y -+=上，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．0
C ．-1
D ．2
12．设复数2
1z i
=-
，则z 的共轭复数是（ ）
A ．21i
+
B ．12i +
C ．21i
-
D ．12i -
二、填空题
13．如果复数z 满足2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小值是________.
14．4
11i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
__________． 15．若复数23z i =+，则1i
z
+=__________． 16．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____．
17．若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________.
18．设集合4{|10,}A x x x C =-=∈，23i z =-，若x A ∈，则||x z -最大值是________
19．已知z C ∈，||1z =，则2|21|z z ++的最大值为______． 20．设a R ∈，且()2
1?ai i +（i 为虚数单位）为正实数，则a =_____ ；
三、解答题
21．已知复数()00z b i b R =∈，2
1z i
-+是实数，i 是虚数单位. （1）求复数z ；
（2）若复数00z b z =+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值. 22．已知：对于任意的多项式()f x 与任意复数z ，()0f z =⇔x z -整除()f x ．利用上述
定理解决下列问题：
（1）在复数范围内分解因式：21x x ++；
（2）求所有满足21x x ++整除21n n x x ++的正整数n 构成的集合A ． 23．证明：在复数范围内，方程()()2
55112i
z i z i z i
-+--+=+（为虚数单位）无解． 24．
设复数2(1)3(1)
2i i z i
++-=+，若21z az b i ++=+，求实数,a b 的值.
25．已知复数,)32()1(2
i m m m m z -++-= （1）当实数m 取什么值时，复数z 是： ①零； ②纯虚数； ③.52i z +=
（2）若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 26．已知虚数z 满足2122z i z i +-=+-.
（1）求z 的值； （2）若1
mz R z
+
∈，求实数m 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
设z x yi =+，得到()()2
2
221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案. 【详解】
设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-=
=，
即()()2
2
221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.
()()1212z i x y i --=-+-=，表示点(),x y 和()1,2之间的距
离，故()()
min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】
本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2．A
解析：A 【分析】
化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
3．C
解析：C 【分析】
根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】
由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为2||45z m =+=，所以1m =±.
又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
4．D
解析：D 【解析】
()()()()1i 1i 1i 12i 12i
i 1i 1i 1i 112------====-++-+，故选D. 5．D
解析：D 【分析】
把复数z 代入|z ﹣1|=x ，化简可求z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹方程，推出轨迹． 【详解】
已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ，x≥），满足|z ﹣1|=x ，（x ﹣1）2+y 2=x 2 即y 2=2x ﹣1
那么z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹是抛物线． 故选D ． 【点睛】
本题考查复数的基本概念，轨迹方程，抛物线的定义，考查计算能力，是基础题．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】
复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-
234z i ∴=--
()()12343425z z i i ⋅=---=-
故选A 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题
7．B
解析：B 【解析】
()()()
22
421424422261311(1)12i i i i i i i
i i i i i -----+-====-++-- 故选B
8．B
解析：B 【分析】
先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

【详解】
()()()()
3131322111i i i z i i z i z i i i i -++-++∴=
==--∴=-+--+（﹣）＝﹣对应点为()2,1-
故选：B 【点睛】
本题考查了复数的化简和共轭复数，意在考查学生的计算能力。

9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意利用复数除法的运算法则计算z 的值即可. 【详解】
2(2)(12)512(12)(12)5
i i i i
z i i i i ----=
===-++-， 故选C ． 【点睛】
对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，复数满足2
(1)=1i i z
，即221(1)2=11111i i i i
z i i i
i i
，
所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据复数的运算得
11
122
a i a a i i --+=-+，得到复数在复平面内对应的点为11
(
,)22
a a -+-，代入直线的方程，即可求解． 【详解】 由题意，复数
()()()()1(1)(1)11
111222
a i i a i a a i a a i i i i -----+-+===-++-， 所以复数在复平面内对应的点为11
(,)22
a a -+-， 则
11
1022
a a -+++=，解得1a =-，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示的应用，其中解答熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】
2
11212,z i z i i
=-
=+∴=- 选D. 二、填空题
13．【分析】先得出复数对应的点的轨迹为复平面内连接点和的线段的几何意义为复数对应的点到点的距离利用数形结合思想可得出的最小值【详解】设由复数模的三角不等式可得所以复数在复平面的轨迹是连接点和的线段如下图 解析：1
【分析】
先得出复数z 对应的点的轨迹为复平面内连接点()0,1和()0,1-的线段，1z i ++的几何意义为复数z 对应的点到点()1,1--的距离，利用数形结合思想可得出1z i ++的最小值. 【详解】
设z x yi =+，由复数模的三角不等式可得()()222z i z i z i z i i =++-≥+--==，
所以，复数z 在复平面的轨迹是连接点()0,1和()0,1-的线段，如下图所示：
当z i =-时，则1z i ++取得最小值1. 故答案为1. 【点睛】
本题考查与复数相关的点的轨迹问题，解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.
14．1【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简再利用复数乘方运算法则求解即可详解：故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误
解析：1 【解析】
分析：先利用复数除法的运算法则化简
11i
i
+-，再利用复数乘方运算法则求解即可. 详解：4
11i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()4
241i 2i =11i 1i 2⎡⎤+⎛⎫==⎢⎥ ⎪-+⎝⎭
⎢⎥⎣⎦，故答案为1. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()
a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确
性，否则很容易出现错误.
15．【解析】分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得的值详解：由题意可得：点睛：本题主要考查共轭复数的概念复数的四则混合运算等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：151313
i -
+ 【解析】
分析：由题意利用共轭复数的定义和复数的运算法则计算求解即可求得
1i
z
+的值.
详解：由题意可得：()()()()123111515232323131313
i i i i
i i z i i i ++++-+====-+--+. 点睛：本题主要考查共轭复数的概念，复数的四则混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．5【解析】
解析：5 【解析】
5z ==.
17．-1【解析】∵复数为纯虚数
故答案为-1
解析：-1 【解析】
∵复数()11z m m i =++-为纯虚数， 1010m m ∴+=-≠，，
1m ∴=- .
故答案为-1
18．【解析】由得：则x=1时时当时当时故答案为
解析：【解析】
由410,x x C -=∈得： 1
x x i ，=±=±，则x=1时 123x z i -=-+=1x =-
时，123x z i -=--+=，当x i =时，2324x z i i i -=-+=-+=当
x i =-时，2322x z i i i -=--+=-+=.故答案为
19．4【解析】由已知设则
解析：4 【解析】
由已知z C ∈，1z =，设()2
2
,,1,1z a bi a b R a b a =+∈∴+=≤ 则
()2
22222|211|121224z z z a b a a b a ++=+=++=+++=+≤
20．-1【分析】化简复数到最简形式由题意知此复数的实部大于0虚部等于0解出a 的值【详解】解：∵为正实数∴-2a ＞0且（1-a2）＝0∴a ＝-1故答案为-1【点睛】本题考查两个复数代数形式的乘法复数为正实
解析：-1 【分析】
化简复数到最简形式，由题意知，此复数的实部大于0，虚部等于0，解出a 的值． 【详解】
解：∵()()(
)2
2
2
11221ai i a ai i a a
i +=+-+⋅-⋅=-为正实数，∴-2a ＞0，且（1-a 2
）＝
0， ∴a ＝-1， 故答案为-1． 【点睛】
本题考查两个复数代数形式的乘法，复数为正实数的条件，属于基础题.
三、解答题
21．(1)2i -;(2) 4b =,8c = 【分析】 （1）将0z b i =代入
2
1z i
-+中，将分子分母同时乘以1i +的共轭复数1i -可得00222122b b z i i -+-=-+，由2
1z i -+是实数，得0
2=02
b +，求得0b 即可得复数z . （2）将00z b z =+代入方程20x bx
c ++=中，化简得()8220b i b c --+=，通过虚部为零，实部为零即可求得实数b 和c 的值. 【详解】 （1）
()00z b i b R =∈，
()()()()
000021222
2=+111122b i i b i b b z i i i i i ----+-∴
==+++- 又
2
1z i -+是实数，0
2=02
b +∴，得0=2b -， 2z i ∴=-
（2）
00+22z b z i ==--是方程20x bx c ++=的根，
()()2
22220i b i c --+--+=，
()8220b i b c --+=，
82020b b c -=⎧∴⎨-+=⎩，解得48b c =⎧⎨=⎩. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数相等.
复数z a bi =+（,a b 均为实数），其中a 为实部，b 为虚部，i 为虚数单位.当0b =时，
z a =，则z 为实数；当00b a ≠=，时，z bi =，则z 为纯虚数.
22．(1)
；(2)
或
．
【解析】
试题分析：（1） 令210x x ++=，由求根公式可得两根为
；（2）因为
，
，又一个整数除以，要么整除，要么余，要么余，故分
，三种情况讨论．
试题
（1）令210x x ++=解得两个根2,ωω，这里
所以2213131()()()()2222
x x x x x i x i ωω++=--=+
-++ （2）记2()1n n f x x x =++．210x x ++=有两个根2,ωω，这里
，
31ω=
当
时，
，
，故在这种情形有
，
同样可以证明，当时，有
，
但当
时，，故
，
综上，当且仅当时，
， 所以
或
．
考点：（1）求根公式的应用；（2）分情况讨论思想的应用，（3）复数性
质的应用． 23．见解析 【详解】
假设存在这样的复数，
则原方程化简为()()2
1113z i z i z i +--+=- 设z x yi =+代入上述方程得222213x y xi yi i +--=-
221
{223
x y x y +=∴+=方程组无实数解
∴假设不成立，即原方程在复数范围内无解. 考点：反证法及复数运算
点评：当直接证明不易时考虑反证法，先假设所要证明的反面成立，借此来推出矛盾，从
而肯定原结论成立
24．34
a b =-⎧⎨=⎩ 【分析】
首先利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,然后把z 代入21z az b i ++=+,整理后利用复数相等的条件可求得,a b 的值.
【详解】
()()
()()21313235512255i i i i i i z i i i ++-----==
===-++， ()()()221121z az b i a i b a b a i i ∴++=-+-+=+-+=+，
121a b a +=⎧∴⎨+=-⎩，解得34a b =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题.
25．（1）①m=1；②m=0；③m=2；（2）30m -<<
【解析】
试题分析：在复数a bi +中复数为0需满足0a b ==，为纯虚数需满足0,0a b =≠，复数对应的点在第四象限需满足0,0a b ><
试题
（1）①中需满足()210
1230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩
②中需满足()210
0230m m m m m ⎧-=∴=⎨+-≠⎩
③中()212
2235m m m m m ⎧-=∴=⎨+-=⎩
（2）⎩⎨⎧<-+>-0
320)1(2m m m m ⇒30m -<< 考点：复数及相关概念
26．（12）12m =
. 【分析】
（1）设虚数z a bi =+，a 、b R ∈，由题意列方程求出22a b +的值，即可得出z ； （2）由1mz R z
+
∈，列方程求出实数m 的值. 【详解】
（1）设虚数z a bi =+（a 、b R ∈且0b ≠）， 代入2122z i z i +-=+-得()()()212122a b i a b i ++-=++-，
()()()()2222212122a b a b ∴++-=++-，
即222244442448a b a b a b a b ++-+=++-+，可得222a b +=，因此，
z = （2）由（1）知，z a bi =+其中a 、b R ∈，且0b ≠，222a b +=，
又知m R ∈，1mz R z
+∈. ()()()()
()112a bi a bi mz m a bi m a bi m a bi z a bi a bi a bi --∴+=++=++=++++- 22a b ma mb i ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 1mz R z +∈，102mb b ∴-=，解得12m =. 【点睛】
关键点点睛：复数分类的关键：
（1）利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式，求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式
(),z a bi a b R =+∈时应先转化形式；
（2）注意分清复数分类中的条件：设复数(),z a bi a b R =+∈，则：
①z 为实数0b ⇔=；②z 为虚数0b ⇔≠；③z 为纯虚数0a ⇔=，0b ≠；④00z a b =⇔==.。