湖南省衡阳市第八中学2018_2019学年高二数学下学期第一次月考试题理201905200240
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湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高二数学下学期第一次月考试题 理
考试范围：排列组合， 二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，
解析几何，函数与导数
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ，给出下列结论，则错误的是
解答：
解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：来自非体育迷体育迷合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2= = ≈3.03，
因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ，
4.二项式 的展开式中常数项为
A.5B.10C.40 D.
5.下图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )
A． B． C． D．
6.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为A． B． C． D．
7．若不等式组 表示的区域为 ，不等式 表示的区域为T，则在区域 内任取一点，则此点落在区域T中的概率为（）
A． B． C． D．
8．下图是正态分布N（0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）。注：Φ P
① ② ③
A．0B．1C．2D．3
9．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）=
A． B． C． D．
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）。
P（ K2≥k）
0.05
0.01
k
3.841
17．（1） 时，展开式中的系数最小， 时，展开式中的系数最大（2）48
【解析】本试题主要考查了的运用。
解：由已知得 …………………2分
（1） 的通项
当 时，展开式中的系数最小，即 为展开式中的系数最小的项；… 6分
当 时，展开式中的系数最大，即 为展开式中的系数最大的项
（2） 展开式中含 项的系数为
B．回归直线一定过样本点的中心点 ，但不一定过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个，故错误．
C．∵回归方程为 ，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
D．回归直线过样本点的中心 ，故正确；
故选：B．
考点：线性回归方程．
3．B
【解析】
4．D
【解析】
试题分析：由题可知，展开式中的常数项为 ,故选D.
(i)求使 的面积为 的点 的个数；
(ii)设 为椭圆上任一点， 为坐标原点， ，求 的值.
22．（本题12分）
（1）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；
（2）求最大的整数 ，使得对任意
参考答案
1．D
2．B
【解析】
试题分析：A．∵0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故正确；
则区域 表示 ，由 ，解得点 ；
又 ， ，∴ ，
又区域 表示圆，且圆心 在直线 上，
在 内的面积为 ；
∴所求的概率为 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
8．C
【解析】
试题分析：∵Φ P ，∴图中阴影部分面积 ，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积 ，故正确的个数为①③两个，故选C
则 0， ， 2， ， 2， ， 0， ， 1， ，
设 ， ，则 ，
， 0， ， ，
设平面MBC的一个法向量 y， ，
则由 ，得 ，取 ，得 1， ，
设直线AF与平面MBC所成的角为 ，则 ，
所以 ，
解得 ，即 是DM的中点．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.
18．(1) ， (2)1366(3)683
【解析】
【分析】
（1）使用加权平均数公式求 ，再由方差公式求方差；（2）求出 及 的值，得到 ，乘以2000得答案；（3）求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．
【详解】
解(1)
(2)由(I)知, ,
∴
2000×0.683=1366
∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366.
16．①②③④⑤
【解析】因为 在抛物线 上，由抛物线的定义，得 ，又 分别为 在 上的射影，所以 ，即①正确；取 的中点 ，则 ，所以 ，即②正确；由②得 平分 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即③正确；取 轴，则四边形 为矩形，则 与 的交点在 轴上，且 与 交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.
点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取 轴）.
10．设 为定义在 上的可导函数， 为自然对数的底数．若 ，则
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷：本卷包括填空题与解答题两部分。
二、填空题
13．已知 ，则
15．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对 ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 来估计 的值．假如统计结果是 ，那么可以估计 ___．（用分数表示）
考点：本题考查了正态分布的性质
点评：熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属基础题
9．B
【解析】
试题分析：
10．B
令F(x)= ，则 >0成立，所以函数F(x)在(0，+ 上单调递增．
因为e>2，所以 > ，即 因为 所以 故选B．
11．B12．C
13．1
【解析】由 ，
令x=0可得：2=a0+a1+…+a5；
（1）求 展开式中的系数最大的项和系数最小的项；
（2）求 展开式中含 项的系数
18．（本题12分）一项研究机构培育一种新型水稻品种，
首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm，
从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率
分布直方图。
（1）求样本平均株长 和样本方差 （同一组数据用该区
16．已知抛物线 ， 为其焦点， 为其准线，过 任作一条直线交抛物线于 两点， 分别为 在 上的射影， 为 的中点，给出下列命题：① ；② ；③ ；④ 与 的交点在 轴上；⑤ 与 交于原点.其中真命题是__．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（本题10分）在 的展开式中，已知第三项与第五项的二项式系数相等．
考点：二项展开式
5. A
6．B
【解析】试题分析：由题意 ，所以 ，由双曲线的定义，有 ，所以 ，∴ ，故选B．
考点：双曲线的简单性质．
7．D
【解析】
【分析】
作出不等式组 对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【详解】
作出不等式组 表示的区域 ，
不等式 化为
它表示的区域为 ，如图所示；
令x=−2可得：0=a0−a1+a2+…−a5.
相减可得：2(a1+a3+a5)=2，
则a1+a3+a5=1.
14．
15．
【解析】由题意，200对都小于1的正实数对 ，满足 ，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对 满足 且 ，区域面积
为 ，由已知 ，解得 ．
点睛：本题考查几何概型，关键是构造出样本空间．对于实数对 ，我们把它作为平面上点的坐标，则样本空间是平面上的以 为顶点的正方形，其面积为1，而约束条件是 ，在平面上作出图形，求出其面积，利用几何概型概率公式可得概率，而估值法就是把题中的频率看作是这个概率，从而建立等量关系，得到估值．
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个
C．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．回归直线一定过样本点的中心点
3. 用0,1，...,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A.243 B.252 C.261 D.279
(3)由题意,
进入育种试验阶段的幼苗数1366,每株幼苗最终结穗的概率 ,
则 ,
所以
19析：
（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；
（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ，由于X∽B（3， ），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可
21.（Ⅰ） （Ⅱ）(i)符合条件的点 有2个(ii)
【解析】（Ⅰ）∵ >
∴点 满足的曲线 的方程为椭圆
∵
∴
∴椭圆 的标准方程为 . …………4分
（Ⅱ）(i)∵直线 与椭圆 的交点为 ，
∴ ,
若
∴
∵原点 到直线 的距离是
∴在直线 的右侧有两个符合条件的 点
设直线 与椭圆相切，则
有且只有一个交点
∴ 有且只有一个解
由 解得 （设负）
此时， 与 间距离为
∴在直线 的左侧不存在符合条件的 点
∴符合条件的点 有2个. ………………10分
(ii)设 ，则 满足方程：
∵
∴
即： ，从而有
∴ . ……………14分
22．（1）不能（2）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）假设函数 的图象能与 轴相切．设切点为 ，根据导数的几何意义得到关于 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为 ,设 ，则问题等价于 对任意 恒成立，故只需函数 在R上单调递增，因此 在R上恒成立即可，由 可得
6.635
20．（本题12分）如图，在四棱锥 中，平面 平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且 ．
（1）证明：
（2）若 ， ，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为 ，试确定点F的位置．
21．（本题12分）已知椭圆 的焦点是 , ,点 在椭圆上且满足 .（1）求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 与椭圆 的交点为 ， .
【详解】
Ⅰ 平面 平面MCD，平面 平面 ，
， 平面ABCD，
平面MCD，
平面MCD， ，
又 ， ，
由线面垂直的判定定理可得 平面ADM．
Ⅱ 由 平面ADM，知 ，所以 ，
过M作 ，交CD于O，
因为平面 平面MCD，所以 平面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意X∽B（3， ），从而分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E（X）=np=3× = ．D（X）=npq=3× × = ．
20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 是DM的中点．
【解析】
【分析】
Ⅰ 推导出 平面MCD， ，再由 ，能证明 平面ADM．
Ⅱ 由 平面ADM，知 ，从而 ，过M作 ，交CD于O，则 平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．
间的中点值代替）；
（2）假设幼苗的株长X服从正态分布 ,其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；
（3）在第（2）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为 ，开花后结穗的概率为 ，设最终结穗的幼苗株数为 ，求 的数学期望.附： ；若X： ，则 ；
；
19．（本题12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
考试范围：排列组合， 二项式定理，概率与统计，空间向量与立体几何，
解析几何，函数与导数
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2．设某中学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ，给出下列结论，则错误的是
解答：
解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：来自非体育迷体育迷合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2= = ≈3.03，
因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（II）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ，
4.二项式 的展开式中常数项为
A.5B.10C.40 D.
5.下图给出的是计算 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )
A． B． C． D．
6.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为A． B． C． D．
7．若不等式组 表示的区域为 ，不等式 表示的区域为T，则在区域 内任取一点，则此点落在区域T中的概率为（）
A． B． C． D．
8．下图是正态分布N（0，1）的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为（ ）。注：Φ P
① ② ③
A．0B．1C．2D．3
9．由“0”、“1”、“2” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P（A|B）=
A． B． C． D．
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）。
P（ K2≥k）
0.05
0.01
k
3.841
17．（1） 时，展开式中的系数最小， 时，展开式中的系数最大（2）48
【解析】本试题主要考查了的运用。
解：由已知得 …………………2分
（1） 的通项
当 时，展开式中的系数最小，即 为展开式中的系数最小的项；… 6分
当 时，展开式中的系数最大，即 为展开式中的系数最大的项
（2） 展开式中含 项的系数为
B．回归直线一定过样本点的中心点 ，但不一定过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个，故错误．
C．∵回归方程为 ，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
D．回归直线过样本点的中心 ，故正确；
故选：B．
考点：线性回归方程．
3．B
【解析】
4．D
【解析】
试题分析：由题可知，展开式中的常数项为 ,故选D.
(i)求使 的面积为 的点 的个数；
(ii)设 为椭圆上任一点， 为坐标原点， ，求 的值.
22．（本题12分）
（1）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；
（2）求最大的整数 ，使得对任意
参考答案
1．D
2．B
【解析】
试题分析：A．∵0.85＞0，∴y与x具有正的线性相关关系，故正确；
则区域 表示 ，由 ，解得点 ；
又 ， ，∴ ，
又区域 表示圆，且圆心 在直线 上，
在 内的面积为 ；
∴所求的概率为 ，故选D．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率计算问题，利用数形结合求出对应的面积是解题的关键，属于中档题.
8．C
【解析】
试题分析：∵Φ P ，∴图中阴影部分面积 ，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积 ，故正确的个数为①③两个，故选C
则 0， ， 2， ， 2， ， 0， ， 1， ，
设 ， ，则 ，
， 0， ， ，
设平面MBC的一个法向量 y， ，
则由 ，得 ，取 ，得 1， ，
设直线AF与平面MBC所成的角为 ，则 ，
所以 ，
解得 ，即 是DM的中点．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及直线与平面所成角的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.
18．(1) ， (2)1366(3)683
【解析】
【分析】
（1）使用加权平均数公式求 ，再由方差公式求方差；（2）求出 及 的值，得到 ，乘以2000得答案；（3）求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．
【详解】
解(1)
(2)由(I)知, ,
∴
2000×0.683=1366
∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366.
16．①②③④⑤
【解析】因为 在抛物线 上，由抛物线的定义，得 ，又 分别为 在 上的射影，所以 ，即①正确；取 的中点 ，则 ，所以 ，即②正确；由②得 平分 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即③正确；取 轴，则四边形 为矩形，则 与 的交点在 轴上，且 与 交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.
点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取 轴）.
10．设 为定义在 上的可导函数， 为自然对数的底数．若 ，则
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷：本卷包括填空题与解答题两部分。
二、填空题
13．已知 ，则
15．关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对 ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 来估计 的值．假如统计结果是 ，那么可以估计 ___．（用分数表示）
考点：本题考查了正态分布的性质
点评：熟练掌握正态分布的性质是解决此类问题的关键，属基础题
9．B
【解析】
试题分析：
10．B
令F(x)= ，则 >0成立，所以函数F(x)在(0，+ 上单调递增．
因为e>2，所以 > ，即 因为 所以 故选B．
11．B12．C
13．1
【解析】由 ，
令x=0可得：2=a0+a1+…+a5；
（1）求 展开式中的系数最大的项和系数最小的项；
（2）求 展开式中含 项的系数
18．（本题12分）一项研究机构培育一种新型水稻品种，
首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm-235mm，
从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率
分布直方图。
（1）求样本平均株长 和样本方差 （同一组数据用该区
16．已知抛物线 ， 为其焦点， 为其准线，过 任作一条直线交抛物线于 两点， 分别为 在 上的射影， 为 的中点，给出下列命题：① ；② ；③ ；④ 与 的交点在 轴上；⑤ 与 交于原点.其中真命题是__．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
17．（本题10分）在 的展开式中，已知第三项与第五项的二项式系数相等．
考点：二项展开式
5. A
6．B
【解析】试题分析：由题意 ，所以 ，由双曲线的定义，有 ，所以 ，∴ ，故选B．
考点：双曲线的简单性质．
7．D
【解析】
【分析】
作出不等式组 对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论．
【详解】
作出不等式组 表示的区域 ，
不等式 化为
它表示的区域为 ，如图所示；
令x=−2可得：0=a0−a1+a2+…−a5.
相减可得：2(a1+a3+a5)=2，
则a1+a3+a5=1.
14．
15．
【解析】由题意，200对都小于1的正实数对 ，满足 ，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对 满足 且 ，区域面积
为 ，由已知 ，解得 ．
点睛：本题考查几何概型，关键是构造出样本空间．对于实数对 ，我们把它作为平面上点的坐标，则样本空间是平面上的以 为顶点的正方形，其面积为1，而约束条件是 ，在平面上作出图形，求出其面积，利用几何概型概率公式可得概率，而估值法就是把题中的频率看作是这个概率，从而建立等量关系，得到估值．
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线至少经过样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n）中的一个
C．若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．回归直线一定过样本点的中心点
3. 用0,1，...,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A.243 B.252 C.261 D.279
(3)由题意,
进入育种试验阶段的幼苗数1366,每株幼苗最终结穗的概率 ,
则 ,
所以
19析：
（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；
（II）由题意，用频率代替概率可得出从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是 ，由于X∽B（3， ），从而给出分布列，再由公式计算出期望与方差即可
21.（Ⅰ） （Ⅱ）(i)符合条件的点 有2个(ii)
【解析】（Ⅰ）∵ >
∴点 满足的曲线 的方程为椭圆
∵
∴
∴椭圆 的标准方程为 . …………4分
（Ⅱ）(i)∵直线 与椭圆 的交点为 ，
∴ ,
若
∴
∵原点 到直线 的距离是
∴在直线 的右侧有两个符合条件的 点
设直线 与椭圆相切，则
有且只有一个交点
∴ 有且只有一个解
由 解得 （设负）
此时， 与 间距离为
∴在直线 的左侧不存在符合条件的 点
∴符合条件的点 有2个. ………………10分
(ii)设 ，则 满足方程：
∵
∴
即： ，从而有
∴ . ……………14分
22．（1）不能（2）
【解析】试题分析：
（Ⅰ）假设函数 的图象能与 轴相切．设切点为 ，根据导数的几何意义得到关于 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为 ,设 ，则问题等价于 对任意 恒成立，故只需函数 在R上单调递增，因此 在R上恒成立即可，由 可得
6.635
20．（本题12分）如图，在四棱锥 中，平面 平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且 ．
（1）证明：
（2）若 ， ，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为 ，试确定点F的位置．
21．（本题12分）已知椭圆 的焦点是 , ,点 在椭圆上且满足 .（1）求椭圆 的标准方程；
(2)设直线 与椭圆 的交点为 ， .
【详解】
Ⅰ 平面 平面MCD，平面 平面 ，
， 平面ABCD，
平面MCD，
平面MCD， ，
又 ， ，
由线面垂直的判定定理可得 平面ADM．
Ⅱ 由 平面ADM，知 ，所以 ，
过M作 ，交CD于O，
因为平面 平面MCD，所以 平面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意X∽B（3， ），从而分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E（X）=np=3× = ．D（X）=npq=3× × = ．
20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 是DM的中点．
【解析】
【分析】
Ⅰ 推导出 平面MCD， ，再由 ，能证明 平面ADM．
Ⅱ 由 平面ADM，知 ，从而 ，过M作 ，交CD于O，则 平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F是DM的中点．
间的中点值代替）；
（2）假设幼苗的株长X服从正态分布 ,其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，试估计2000株幼苗的株长位于区间（201,219）的株数；
（3）在第（2）问的条件下，选取株长在区间（201，219）内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为 ，开花后结穗的概率为 ，设最终结穗的幼苗株数为 ，求 的数学期望.附： ；若X： ，则 ；
；
19．（本题12分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？