福建东山县第二中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 理

东山二中2018-2019学年高二（上）期中考数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

１、命题“对任意x R ∈，都有x 20≥”的否定为（ ）
Ａ、对任意x R ∈，使得x 20< Ｂ、不存在x R ∈，使得x 2
0<
Ｃ、存在x R 0∈，使得x 200≥ Ｄ、存在x R 0∈，使得x 200< ２、袋内有红、白、黑球各,,321个，从中任取两个，则互斥而不对立的事件是（ ）
Ａ、至少有一个白球；都是白球 Ｂ、至少有一个白球；红，黑球各一个 Ｃ、至少有一个白球；至少有一个红球 Ｄ、恰有一个白球；一个白球一个黑球 ３、某学校有老师200，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n 的值为（ ） Ａ、193; Ｂ、192; Ｃ、191; Ｄ、190;
４、命题p :点M 在直线y x =-23上，命题q :点M 在曲线x y =-2上，则使“p q ∧”为真命题的一个点()M x,y 是（ ）
Ａ、,-(03) Ｂ、,(12) Ｃ、,-(11) Ｄ、,-(11) ５、若样本n x ,x ,,x 12平均数是4，方差是2，则另一样本n x ,x ,,x +++12323232 的平均数和方差分别为（ ）
Ａ、,122 Ｂ、,146 Ｃ、,128 Ｄ、,1418 ６、执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
Ａ、34 Ｂ、56 Ｃ、1112
Ｄ、2524 ７、设集合{}220P x x x =--≥，211,2Q y y x x P ⎧
⎫==-∈⎨⎬⎩⎭
，则P Q =（ ） Ａ、{}12m m -≤< Ｂ、{}12m m -<<
Ｃ、{}2m m ≥ Ｄ、{}
1m m ≤-
８、“≤-2a ”是“函数=-()f x x a 在-+∞[1),上单调递增的”（ ） Ａ、充分不必要条件 Ｂ、必要不充分条件
Ｃ、充要条件 Ｄ、既不充分也不必要条件
９、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
Ａ、23 Ｂ、43 Ｃ、83
Ｄ、2 10、已知不等式ax x b 250-+>的解集为x x {32}-<<，则a b +为（ ）
Ａ、25- Ｂ、35- Ｃ、25 Ｄ、35
11、函数2
23y x x =-+在定义域[,3]m 上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是（ ） Ａ、[1,1]- Ｂ、[0,3) Ｃ、(0,3] Ｄ、[0,1]
12、已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，则不等式(23)5f x +≤的解集为（ ）
Ａ、[5,5]- Ｂ、[8,2]- Ｃ、[4,1]- Ｄ、[1,4]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是 。

14、设全集U R =，函数y
=的定义域为集合A ，函数y log x =+2(2)的定义域
为集合B ，则U C A B =() 。

15、已知命题“200012(1)02
x R,x a x ∃∈+-+
≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 。

16、若函数()f x 是R 上的减函数，且f ,f -==-(1)4(2)2，设P x f x t =+≤{()4}，
Q x f x =≤-{()2}。

若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 。

第６题图第９题图
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）
一个袋中装有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为,,,1234。

⑴、从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(5分)
⑵、先从袋中随机取一球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，
该球的编号为n ，求m n <+2的概率。

(5分)
18、（本小题满分12分）
命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<（0a >），命题q ：实数x 满足12302
x x x ⎧-≤⎪⎨+>⎪-⎩。

⑴、若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(6分)
⑵、若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

(6分)
19、（本小题满分12分）
已知p :方程x mx 210++=有两个不相等的负根；q :方程x m x 2
44(2)10+-+=无实根。

若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数m 的取值范围。

20、（本小题满分12分）
如图，已知AB 为圆O 的直径，4AB =，点D 为线段AB 上一点，且13
AD DB =，点C 为圆O
上一点，BC =，点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，.
PD DB =⑴、求证：CD ^平面PAB ；⑵、求直线PC 与平面PAB 所成的角。

21、（本小题满分12分）
已知圆C 的圆心在直线x y 230--=上，且经过点A (5,2)，B (3,2)。

⑴、求圆C 的标准方程；
⑵、直线l 过点P (2,1)且与圆C
相交的弦长为，求直线l 的方程。

22、（本小题满分12分）
已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-。

当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-。

⑴、当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式。

⑵、计算：(0)(1)(2)(2016)f f f f ++++。

东山二中高二（上）理科数学期中考参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

１、D ；２、B ；３、B ；４、C ；５、D ；６、D ；
７、C ；８、A ；９、D ；10、C ；11、A ；12、C ；
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、51；14、(2,1]--；15、(1,3)-；16、(3),-∞-；
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）
解：⑴从袋中随机取两个球，所有可能的的基本事件有：
1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个。

从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2，1和3两个， 故所求事件的概率为P ==2163。

⑵用m,n ()表示基本事件有：,(11)，,(12)，,(13)，,(14)，,(21)，,(22)，,(23)，,(24)， ,(31)，,(32)，,(33)，,(34)，,(41)，,(42)，,(43)，,(44)，共16个。

满足m n ≥+2有,(31)，,(41)，,(42)，共3个，
∴满足m n <+2的基本事件共13个，
故满足m n <+2的概率为P =
1316。

18、（本小题满分12分）
解：⑴、命题p 为真时，13x <<；命题q 为真时，23x <≤；
故p q ∧为真时，实数x 的取值范围为(2,3)。

6分
⑵、由已知得命题p ：3a x a <<，命题q ：23x <≤， p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，q ∴是p 的充分不必要条件，
0233a a <≤⎧∴⎨<⎩
，解得：12a <≤， 故实数a 的取值范围为(1,2]。

12分
19、（本小题满分12分）
解：若方程x mx 2
10++=有两个不相等的负根，则m m 2400⎧∆=->⎨>⎩，
解得：m 2>，即p m :2>；2分 若方程x m x 244(2)10+-+=无实根，则m m 216(43)<0∆=-+，
解得：m 13<<，即q m :1<3<。

4分
p q ∨为真，p q ∧为假，∴命题p,q 为一真一假，即p 真q 假或p 假q 真。

6分
若p 真q 假，则m m ,m 213或>⎧⎨≤≥⎩
，得m 3≥；8分 若p 假q 真，则m m 213≤⎧⎨<<⎩，得m 12<≤；10分
综上得：实数m 的取值范围为,,(12][3)+∞。

12分 20、（本小题满分12分）
解：⑴、连接OC ，由13
AD DB =，得点D 为AO 的中点，
AB 为圆O 的直径，AC CB \^，又BC =
， \CAB Ð60=°，\ACO D 为等边三角形，CD AO \^；
点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，
PD \^平面ABC ，又CD Ì平面ABC ，
CD PD \^，又PD
AO D =， 故CD ^平面PAB 。

6分
⑵、由⑴得：CPD Ð是直线PC 与平面PAB 所成的角，
AOC D 是边长为2的等边三角形，
CD \=3PD DB ==，
tan \CPD ÐCD PD ==，\CPD Ð6
p =， 故直线PC 与平面PAB 所成的角为
6p 。

12分
21、（本小题满分12分）
解：⑴、由已知得：圆心C 在线段AB 的中垂线上，其方程为x 4=，
由x x y 4230
=⎧⎨--=⎩，得圆心C (4,5)
，从而半径为r AC ==
故圆C 的标准方程为x y 22(4)(5)10-+-=。

5分 ⑵、当直线的斜率不存在时，直线方程为x 2=，
∴圆心C (4,5)直线x 2=的距离为d 2=
，又r =，
∴直线l 被圆C
截得的弦长为，符合题意；7分
当直线的斜率存在时，设直线方程为y k x 1(2)-=-，即kx y k 120-+-=， ∴圆心C (4,5)直线l
的距离为d =
，又r = d r 222(6)+=，k k 22(24)6101-∴+=+，解得：k 34=， ∴直线l 方程为y x 31(2)4-=-，11分
故所求直线l 方程为x 2=或x y 3420--=。

12分 22、（本小题满分12分）
解：⑴、(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，
()f x ∴是最小正周期为4的周期函数，2分
设[2,0]x ∈-，则[0,2]x -∈，22()2()()2f x x x x x ∴-=---=--，
函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，
2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+，
4分
当[2,4]x ∈时，4[2,0]x -∈-，2(4)2(4)(4)f x x x ∴-=-+-， ()f x 是最小正周期为4的周期函数，2()(4)68f x f x x x ∴=-=-+ 故当[2,4]x ∈时，2()68f x x x =-+。

7分
⑵、由⑴可得：(0)0f =，(1)1f =，(2)0f =，(3)1f =-，
(0)(1)(2)(3)0f f f f ∴+++=，9分
又()f x 是最小正周期为4的周期函数， (0)(1)(2016)54((0)(1)(2)(3))(2016)0f f f f f f f f ∴+++=⨯++++=，
故(0)(1)(2)(2016)0f f f f +++
+=。

12分。