苏教版高中数学选修高考一轮理双曲线一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案

双曲线
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．若双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.
解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2
＋3，∴c a ＝a 2＋3
a
＝2，∴a ＝1.
答案 1
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心
率为________．
解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b a
x 的距离为bc a 2＋b
2
＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2
，∴5a 2
＝c 2
，∴离心率e ＝c a
＝ 5. 答案
5
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线
y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 解析 由题意可知⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝6，a 2
＋b 2
＝c
2
b a ＝3，
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝9，
b 2
＝27.
答案
x 2
9
－y 2
27
＝1
4．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.
解析 双曲线x 2a 2－y 2
9
＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.
答案 2
5．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a
2
，则双
曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的离心率为________．
解析 由题意，得2b 2
a ＝a 2，即a 2＝4
b 2＝4(
c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2
＝c 2
a 2＝54，e ＝52.
答案
5
2
6．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，
它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．
解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2
c ＝2a ，
∴c 2
－a 2
＝2ac ，
∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案
2＋1
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为
c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线
l 的距离为
3
4
c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为
34c ，得ab a 2＋b
2＝34c . 将b ＝c 2
－a 2
代入，平方后整理，得
16⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c 22
－16×a 2
c 2＋3＝0.
令a 2c 2＝x ，则16x 2
－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14
. 由e ＝c
a
，得e ＝
1
x ，故e ＝23
3
或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2
a ＝
1＋b 2
a
2＞2， ∴应舍去e ＝23
3
，故所求离心率e ＝2.
8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．
解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
a －m ＝4，7·13a ＝3·13
m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.
故椭圆方程为x 2
49＋y 2
36＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4
＝1.
(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，
所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，
故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 22
2PF 1·PF 2
＝
102＋42－2132
2×10×4
＝45
. 分层训练B 级 创新能力提升
1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2
＝2px (p ＞0)
的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________． 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋p
2＝4，
－p
2＝－2，
－1＝－2
·b a
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
p ＝4，a ＝2，b ＝1
⇒c ＝a 2
＋b 2
＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 5
2．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2
－y 2
24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1
＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 1－PF 2＝2，
3PF 1＝4PF 2，可解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 1＝8，
PF 2＝6.
又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝1
2PF 1×PF 2＝24.
答案 24
3. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．由
题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
4＝a 2
＋b 2
，4a 2－9
b
2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝1，
b 2
＝3，
∴双曲线的标准方程为x 2
－y 2
3＝1. 答案 x 2
－y 2
3
＝1
4．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2
＝
a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为
________．
解析 如图，由题知OA ⊥AF ，
OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，
∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ，
∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴c
a
＝2. 答案 2
5．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．
(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2
－y 2
＝6.
(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，
∴kMF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m
3－23
，
∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2
－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2
＝3，
∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→
＝0.
法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→
＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2
＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝1
2
×43×3＝6.
6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D
两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；
(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
(1)解 由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简，得 (b 2
－a 2
)x 2
－4a 2
x －4a 2
－a 2b 2
＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝4a 2
b 2－a 2，x 1x 2＝
－4a 2
－a 2b
2
b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知
x 1＋x 2
2
＝1， 故12×4a 2
b 2－a
2＝1，即b 2＝3a 2
，
①
∴c ＝a 2
＋b 2
＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a
＝2. (2)证明 由①知，C 的方程为3x 2
－y 2
＝3a 2
. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a
2
2<0.
故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a
2
＋y 2
1＝
x 1－2a
2
＋3x 21－3a 2
＝a －2x 1，
∴|FD |＝x 2－2a
2
＋y 2
2＝
x 2－2a
2
＋3x 22－3a 2
＝2x 2－a ，
|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )
＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2
＝5a 2
＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－9
5(舍去)．
故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝6.
连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，
因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。