15-4乘法公式和分解因式(补充讲义)

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类型一：求代数式的值
例1、化简求值：2
)()(2b a b a a +-+,其中2011=a ,2010=b .
【变式练习】
先化简，后求值。

(a+b)2
+(a-b)(2a+b)-3a 2,其中32-
-=a ,23-=b
类型二：分组分解法分解因式 例2、把下列各式分解因式
（1）x 2-4(x-1) (2)(am+bn)2+(an-bm)2 (3)a 2-2ab+b 2-c 2 (4)x 2-2xy+y 2
-2x+2y+1
【变式练习】
1、求代数式x 2+y 2
-6x+4y+20的最小值，并求此时x,y 的值。

2、求（3-1）（3+1）（32+1）（34+1） (332
+1)+1的个位数字。

类型三：完全平方公式之间的关系
① （a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ②（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
①-②得（a+b ）2-（a-b ）2
=4ab 例3、(1)已知a 2
-4a+1=0,求2
2
1
a
a +
的值； （2）若a+b=5,ab=6,求a 2+b 2,(a-b)2
的值；
（3）已知x 2
-mxy+y 2是完全平方式，则m=
【变式练习】
1、已知a ＞b ＞0，a 2
+b 2
-6ab=0,求
b
a b
a -+的值。

2、已知x 2
-4x+m 是完全平方式，则m=
3、已知a+b=3,ab=2,则a 2b+ab 2
=
4、已知a 2+b 2
-2a-4b+5=0,求ab-1
类型四：运用公式配方求三角形边长
例4、已知a,b,c 是三角形的三条边，且满足a 2+b 2+c 2
+17=4a+6b+4c ，判断此三角形的形状。

【变式练习】
已知a,b,c 是三角形的三条边，且a 2
+2b 2
+c 2
-2b(a+c)=0,请判断三角形的形状，并说明理由。

类型五：数形结合
例5、已知，如图，长方形ABCD 的周长为16，四个正方形的面积和胃68，求长方形ABCD 的面积。

【变式练习】
1、如图，用4个相同的小矩形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长为（x ＞y ），请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是（ ） A 、x+y=7
B 、x 2
-y=2,
C 、4xy+4=49，
D 、x 2+y 2
=25
2、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可
以得到两数和的平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2
．你根据图乙能得到的数学公式是（ ）
3、教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可用如图对三项的完全平方公式（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca 作说明，那么其中用来表示b 2
的是（ ）
一、分解因式 （1）22
2
1ab b a -- (2)x 2-y 2
-3x-3y
(3)(a+b)2
-4(a+b)+4
(4)223
4
1ab b a a
-
+- (5)(a 2+1)2-4a 2
二、选择题
A ．（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2
B ．（a-b ）2=a 2-2ab+b 2
C ．a （a+b ）=a 2+ab
D ．a （a-b ）=a 2-ab
A
．区域①的面积 B ．区域⑤的面积 C ．区域⑥的面积
D ．区域⑧的面积
1、在多项式①16x5-x,②(x-1)2-4(x-1)+4,③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2,④-4x2-1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）
A、①②
B、③④
C、①④
D、②③
2、如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值为（）
A．6 B．8 C．-6 D．-8
3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
4、(济宁）（-8）2006+（-8）2005能被下列数整除的是（）
A．3 B．5 C．7 D．9
5、已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
6、对于任何整数m，多项式（4m+5）2-9都能（）
A．被8整除B．被m整除C．被（m-1）整除D．被（2m-1）整除7、分解因式-22005+（-2）2006后等于（）
A．22005B．-2 C．-22005D．-1
8、如果3x3-x=1，那么9x4+12x3-3x2-7x+2001的值等于（）
A．1999 B．2001 C．2003 D．2005
9、观察下列算式：
1×3+1=4=22，2×4+1=9=32，3×5+1=16=42，…
请你找出规律，用含n的等式表示它．（）
A．n（n+2）+1=（n+1）2B．n（n+2）+1=n2
C．n（n+2）+1=n2+2n D．n（n+2）+1=n2-2n
10、若x3+x2+x+1=0，则x-27+x-26+…+x-1+1+x+…+x26+x27的值是（）
A．1 B．0 C．-1 D．2
三、解答题
1、已知A=a+2，B=a2-a+5，C=a2+5a-19，其中a＞2．
（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
2、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x厘米、y厘米，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，求长方形的面积.。

3、我们可以用几何图形来解决一些代数问题，如图（甲）可以来解释（a+b）2=a2+2ab+b2，
（1）图（乙）是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示；
（2）请构图解释：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）请通过构图因式分解：a2+3ab+2b2．
4、观察下列计算：22-12=（2-1）（2+1）=2+1 32-22=（3-2）（3+2）=3+2 42-32=（4-3）（4+3）=4+3，…．
（1）可以得到：152-142=（15+14 ）（15-14 ）= ；
（2）可以发现：（n+1）2-n2 = ；
（3）请你证明你的发现．。