推荐-高中数学人教B版选修2-2课件本章整合2(1)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
故 an=
3(������ = 1), ������ + 2- ������ + 1(������ ≥ 2,������∈N+).
(2)当 n=1 时,S1= 3, 3������1 = 3 3, 有S1<3a1.
当 n=2 时,S2= 4, 3·2a2=6( 4 − 3),
有 S2>3·2a2.当 n=3 时,S3= 5, 3·3a3=9( 5 − 4),
因此当 a>0,b>1 时,对任意 x∈[0,1]都有|f(x)|≤1 的充要条件是
������ 2������
≤
1,
������
������ 2������
≤ 1, ⇔
������(1) ≥ -1
������ ≤ 2������, ������ ≤ 2 ������, 由b>1,知 2b>2 ������. ������ ≥ ������-1,
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
解(1)由已知���������2��� = 3 + (������ − 1) = ������ + 2, ������������ > 0(������∈N+),
得 Sn= ������ + 2(������∈N+).a1=S1= 3.
当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= ������ + 2 − ������ + 1.
p=0,q≠0或p≠0,q=0,因p,q为常数,满足条件的点是l1与平行l2且距离 l2为q的直线的交点,或l2与平行l1且距离l1为p的直线的交点,故②正 确.③当pq≠0时,p≠0,且q≠0,满足条件的点是平行l1且距离l1为p的两 条直线与平行l2且距离l2为q的两条直线的交点,有4个,故③正确.
(������ + 2) + (������ + 1)
3
∵ (������ + 2)(������ + 1) <
2
= ������ + 2,
∴只需证明
2n+
7 2
<
3������.
只需证明 n> 72.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
此不等式当n≥4时成立,
所以当n≥4时,Sn<3nan成立. 综上可知,当n=1或n≥4,n∈N+时,Sn<3nan; 当n=2和n=3时,Sn>3nan.
>
0,
从而由二次项的系数(-b)<0,知函数
f(x)在区间
0,
������ 2������
上是增函数,而在区间
������ 2������
,
+
∞
上是减函数,当 b>1 时,若
������ 2������
>
1,
则f(x)在区间[0,1]上的最大值为
f(1)=a-b>2b-b=b>1.
所以|f(x)|≤1 在区间[0,1]上不可能恒成立,
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用 1 已知 a>0,函数 f(x)=ax-bx2.
(1)当 b>0 时,若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1,证明:a≤2 ������.
(2)当 b>1 时,证明:对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件是
b-1≤a≤2 ������.
所以 4���������2���≤1.
因为 a>0,b>0,所以 a≤2 ������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
证法二因为对任意 x∈R,都有 f(x)≤1,b≠0,
所以������
������ 2������
=
������2 2������
−
������2 4������
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
应用2已知数列{an}的通项公式an>0(n∈N+),它的前n项和记 为 Sn,数列{���������2��� }是首项为 3, 公差为 1 的等差数列. (1)求an与Sn的解析式;
(2)试比较Sn与3nan(n∈N+)的大小. 提示(1)根据列{���������2��� }是首项为 3,公差为1的等差数列可求出Sn,再 根据Sn与an的关系求出an.(2)先由归纳法得到Sn与3nan的关系再证 明.
=
4���������2���≤1.
因为 a>0,b>0,所以 a≤2 ������.
证法三依题设,对任意 x∈R 都有 ax-bx2≤1,所以对任意 x>0,都
有 a≤1������ + ������������.
因为
b>0,所以
1 ������
+
������������在(0,+∞)内有最小值
2
即
������ ������
-1
≤
1.
所以b-1≤a≤2
������.再证充分性.
由 0<b-1≤a≤2 ������和0≤x≤1,可得
f(x)=ax-bx2≥(b-1)x-bx2=bx(1-x)-x≥-x≥-1,且 f(x)=ax-bx2≤2 ������������ −
������������2 = 1 − (1 − ������������)2≤1.所以|f(x)|≤1.
数,则f(3)=
;f(n)=
(答案用n表示).
提示:解题的关键在于寻找递推关系式,然后由递推关系式求通 项.而第n堆的变化规律,结合图形,利用不完全归纳法可得.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
解析:由图形观察可知,f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,….故下一
bx2≥-b≥-1.若对任意 x∈[0,1]都有 f(x)≤1,
则 f(1)≤1,即 a-b≤1,得 a≤b+1.
反之,若 a≤b+1,由于 0<b≤1,则对任意 x∈[0,1]都有
f(x)≤(b+1)x-bx2=bx(1-x)+x-1+1=(1-x)·(bx-1)+1≤1,综合起来得,当
a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1],都有|f(x)|≤1 的充要条件是 a≤b+1.
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 演绎推理
三段论推理是演绎推理的主要形式.演绎推理具有如下特点: (1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得的结论完全蕴涵于前提 之中. (2)演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数 学中严格证明的工具. (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它创造性较少,但却具有 条理清晰、令人佩服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
综合以上讨论,证得当 b>1 时,对任意 x∈[0,1]都有|f(x)|≤1 的充
要条件是 b-1≤a≤2 ������.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
证法二因为 a>0,b>1,f(x)=ax-bx2,所以二次方程 f(x)=0 的两个根
为
x1=0,x2=
������ ������
有 S3>3·3a3;当 n=4 时,S4= 6, 3·4a4=12( 6 − 5),
有 S4<3·4a4.当 n=5 时,S5= 7, 3·5a5=15( 7 − 6),
有 S5<3·5a5.猜想,当 n≥4 时,Sn<3nan.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
证明如下:
要证明 ������ + 2 < 3������( ������ + 2 − ������ + 1).
(3)当 0<b≤1 时,讨论对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 的充要条件.
(1)证法一因为 b>0,f(x)=-������
������-
������ 2������
2 + 4���������2���,
所以 f(x)在 R 上的最大值为 4���������2���.
因为对任意 x∈R,都有 f(x)≤1,
������, 从而得a≤2
������.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
(2)证法一先证明必要性.因为 b>1,所以 0<
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 ������
<
1.
由 x∈[0,1]时,都有|f(x)|≤1,可得 f(1)≥-1,������
1 ������
≤1,
������-������ ≥ -1,
答案:D
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
专题三 直接证明
综合法和分析法的区别与联系: 分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理, 实际上是要寻找它的充分条件. 综合法的特点是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理, 实际上是寻找它的必要条件. 分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综 合法都可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使 用.根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的 结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由Q可以推出P成立,就可 以证明结论成立.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
提示:解题的关键是理解好“距离坐标”的定义.
解析:根据平面轨迹的知识,可知到定直线距离为定长(非零)的
点的轨迹是两条平行直线.①当p=q=0时满足条件的点是l1与l2的 交点,因为l1与l2的交点只有一个,所以“距离坐标”为(0,0)的点只有 一个,故①正确.②当pq=0,且p+q≠0时,p,q有且只有一个为0,即
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用某商场橱窗里用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其
中第1堆只有一层,就一个球;第2,3,4…堆最底层(第一层)分别按如
图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一
层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
专题四 反证法
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命 题:“若p,则q”的否定是“若p,则¬ q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那 么就说明“若p,则¬ q”为假,从而可以导出“若p,则q”为真,从而达到 证明的目的,反证法是高中数学中一种重要的证明方法,在不等式 和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常出现,它所反映 出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明 否定性,唯一性命题;至多、至少型问题;几何问题.
堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数.即
f(2)=f(1)+3,f(3)=f(2)+6,f(4)=f(3)+10,…,f(n)=f(n-1)+ ������(������2+1). 将以上(n-1)个式子相加可得
f(n)=f(1)+3+6+10+…
+
������(������+1) 2
=
1 2
[(12
-1-
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
知识建构
综合应用
真题放送
专题一 合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 较、联想,再进行归纳,然后提出猜想的推理,我们统称为合情推理. 合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.归纳推理的思维 过程大致如下:
实验,观察→概括,推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下: 观察,比较→联想,类推→猜测新的结论
+
22
+
⋯+n2)+(1+2+…+n)]=
1 2
1 6
������(������
+
1)(2������
+
1)
+
1 2
������(������
+
1)
=
1 6
������(������
+
1)(������
+
2).
答案:10
1 6
������(������
+
1)(������
+
2)
专题一
专题二
专题三
专题四
故上述充要条件即为 b-1≤a≤2 ������.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
证法三因为 f(x)=ax-bx2,所以|f(x)|≤1⇔|x|·|a-
bx|≤1⇔bx−
|1������|≤a≤bx+
1 |������|
,
|������|≠0.
当
a>0,b>1
时,在区间[0,1]上,函数
bx−
1 |������|
有最大值b-1,而函数
bx+
1 |������|
有最小值
2
������, 其次,又有 f(0)=0,
所以对任意 x∈[0,1]都有|f(x)|≤1 的充要条件为 b-1≤a≤2 ������.
(3)解当 a>0,0<b≤1 时,对任意 x∈[0,1],都有 f(x)=ax-bx2≥-
∵ ������ + 2 − ������ + 1 > 0,∴只需证明 ������+2 < 3������.
������+2- ������+1
只需证明 ������ + 2( ������ + 2 + ������ + 1) < 3������.
只需证明(n+2)+ (������ + 2)(������ + 1) < 3������.