2019年第一学期期末考试高三数学试题(正式)

金山区2019年第一学期期末考试高三数学试题
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚．
2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若集合A ={x | 1<|x –1|<3，x ∈Z }，用列举法表示A = ．
2．已知sin θ=13
5，θ是第二象限的角，则tan θ= ． 3．函数y=log 2 x 的反函数是 ． 4．计算：sin(arctan
33)= ． 5．若cos ϕ= –53，ϕ∈(2π, π)，则sin(ϕ+6
π)= ． 6．在边长为2的正方形ABCD 中，若E 是CD 的中点，则⋅= ．
7．若矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，矩阵B =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛21，则矩阵A 和B 的乘积AB = ． 8．行列式6cos 6sin 6sin
6cos πππ
π的值是 ． 9．在(x
x 1
-)12的二项展开式中，常数项的值为 ． 10．已知向量=(k 2+k –3)+(1–k )j ，= –3+(k –1)j ，若向量与平行，则k = ．
11．若有下列命题：① |x |2+|x |–2=0有四个实数解；② 设a 、b 、c 是实数，若二次方程ax 2+bx+c =0无实根，则ac ≥0；③ 若x 2–3x +2≠0，则x ≠2，④ 若x ∈R ，则函数y=42+x +41
2+x 的最小值为2．上述命题中是假命题的有 (写出
所有假命题的序号)．
12．“渐升数”是指在一个数中，每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字)，如：24579就是一个五位“渐升数”．那么在二位“渐升数”中，任取一个二位渐升数，则该数比45大的概率是 ．
13．函数y=|x 2–1|和函数y=x+k 的图像恰有三个交点，则k 的值是 ．
14．如图，把正三角形AB C 分成有限个全等的小正三
角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实
数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相
对顶点上实数的乘积相等．设点A 为第一行，…，BC
为第n 行，记点A 上的数为a 11=1，…，第i 行中第j
个数为a ij (1≤j ≤i )．
若a 21=21，a 22=4
1，则a 31+a 32+a 33= ．
二、选择题 (本大题共有4题，考生应在答题纸相应编号的位置内填涂，每小题5分，共20分)
15．“x =2k π+4
π(k ∈Z )”是“tan x =1”成立的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
16．下列给出的赋值语句中正确的是 ( )
(A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A –2=0 (D)x+y=0
17．设S k =
11+k +21+k +31+k +…+k 21，则S k +1为 ( ) (A)S k +)1(21+k (B)S k +121+k +)
1(21+k (C)S k +
121+k –)
1(21+k (D)S k +)1(21+k –121+k 18．定义：k n k a 1=∏=a 1a 2a 3…a n ，则∞→n lim )11(2
2k n k -∏=的值为 ( ) (A) 0 (B) 31 (C) 2
1 (D)1
三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内，如果写错位置，该题不予评分，责任自负．本大题有5个小题，共74分)
19．(本题12分)已知a 、b 、c 是∆ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是∆ABC 的面积，若a=4，b=5，S =53，求c 的长度．
20．(本题14分)已知向量=(sin x , cos x )，向量=(cos x , sin x )，x ∈R ，函数f (x )= (+)．
(1)求函数f (x )的最大值、最小值与最小正周期；
(2)求使不等式f (x )≥
23成立的x 的取值范围．
21．(本题14分)阅读：设Z 点的坐标(a , b )，r =|OZ |，θ是以x 轴的非负半轴为始边、以OZ 所在的射线为终边的角，复数z=a+b i 还可以表示为z=r (cos θ+isin θ)，这个表达式叫做复数z 的三角形式，其中，r 叫做复数z 的模，当r ≠0时，θ叫做复数z 的幅角，复数0的幅角是任意的，当0≤θ<2π时，θ叫做复数z 的幅角主值，记作arg z ．
根据上面所给出的概念，请解决以下问题：
(1)设z=a+b i =r (cos θ+isin θ) (a 、b ∈R ，r ≥0)，请写出复数的三角形式与代数形式相互之间的转换关系式；
(2)设z 1=r 1(cos θ1+isin θ1)，z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法则，请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则．(结论不需要证明)
22．(本题16分)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n =a n a n +1a n +2 (n ∈N*)，数列{b n }的前n 项和为S n ．
(1)若数列{a n }的公差d 等于首项a 1，试用数学归纳法证明：对于任意n ∈N*，都有S n =d
a b n n 43+； (2)若数列{a n }满足：3a 5=8a 12>0，试问n 为何值时，S n 取得最大值？并说明理由．
23．(本题18分)在R +上的递减函数f (x )同时满足：(1)当且仅当x ∈M
R +时，函数值f (x )的集合为[0, 2]；(2)f (2
1)=1；(3)对M 中的任意x 1、x 2都有f (x 1•x 2)= f (x 1)+ f (x 2)；(4)y=f (x )在M 上的反函数为y=f –1(x )．
(1)求证：4
1∈M ，但81∉M ； (2)求证：f –1(x 1)• f –1(x 2)= f –1(x 1+x 2)； (3)解不等式：f –1(x 2–x )• f –1(x –1)≤
21．。