统计部分(ch2-ch6)练习答案

数理统计部分（ch2-ch6）练习答案
1．4321,,,ξξξξ独立，)1,0(~N i ξ，4,3,2,1=i 。

)2(~)(2243221χξξξξη+++=k ，
则k=1/3；
24
23
21ξ
ξξξ++服从的分布是t(2)
解：（1）)3,0(~432N ξξξ++，
)1,0(~34
32N ξξξ++∴，)1(~3
)(22
432χξξξ++∴，k =1/3
（2）
)2,0(~21N ξξ+，
)1,0(~2
2
1N ξξ+与)2(~22423χξξ+独立，
)2(~2
/2
/)(24
232124
23
21t ξξξξξ
ξξξ++=
++∴
2．n X X X ,,,21 是来自总体),(2
σμN 的样本，∑==n i i X n X 1
1，∑=-=n i i X X n S 122
*)(1，
2**S S =则
1
/*
--n S X μ
的分布是)1(-n t 。

解：
∑=--=n
i i X X n S 1
22
)(11是
样
本
方
差
,
则
2
*2)1(nS S n =-，
)1(~/1/*
--=--n t n
S X n S X μμ 3．已知74.4)5,10(05.0=F ，)10,5(~F ξ，95.0}{=≥x P ξ，则x = 0.21 。

解：21.074
.41
)5,10(1)10,5(05.095.0===
=F F x
4．n X X X ,,,21 是来自总体],0[θU 的样本，则参数θ的矩法估计量是X 2；极大似然估计量是},,,max{21n X X X ⋅⋅⋅。

5．n X X X ,,,21 是总体X 的样本，X 有分布密度⎩
⎨
⎧≤>=+-)
(0)
()()
1(c x c x x c x f θθθ，其中c>0
是已知常数，1>θ是未知参数。

求θ的矩法估计量。

解：dx x xf EX ⎰+∞
∞
-=
)(dx x
c x c
)
1(+-+∞
⎰⋅=θθθθθ--
=1c ,θ
θ
ˆ1ˆ--=∴c X ，θ的矩法估计量：
c
X X
-=θ
ˆ。

6．总体X~B(1,p)，n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本，（1）求1
n
i
i X
=∑的分布；（2）X
是样本均值，2
S 是样本方差，求)(),(),(2S E X D X E 。

解：（1）n X X X ,,,21 独立同分布，且⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-p p X i 110~,所以1~(,)n i i X B n p =∑，其分布律
为
1()(1)(0,1,2,,);n
k k
n k i n i P X k C p p k n -===-=∑
（2）因为⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-p p
X 110
~，)1(,p p DX p EX -==，所以 p EX X E ==)(；n
p p DX n X D )
1(1)(-==
；)1()(2p p DX S E -== 7．1ˆθ和2ˆθ都是参数θ的无偏估计量，且1ˆθ与2ˆθ独立，)ˆ(4)ˆ(21θθD D =。

求常数21,k k 使2211ˆˆθθk k +是θ的无偏估计量，并且在所有这样的线性无偏估计中方差最小。

解：θθθθ=+=+)()ˆˆ(212211k k k k E ，∴21k k +=1；
)ˆ()ˆ()ˆˆ(2221212211θθθθD k D k k k D +=+)ˆ()4(22221θD k k +=)ˆ())1(4(22121θD k k -+=
)ˆ()125(2121θD k k +-=，∴5
11=k 时，)ˆˆ(2
211θθk k D +最小，这时542=k . 8．从总体)2,(~2μN X 获得一个容量为16的样本，样本均值50=x ，96.105.0=u ，则μ的可靠性95%的置信区间为（49.02，50.98）。

解：),(∆+∆-x x )16
296.150,16296.150(),(⨯+⨯
-=⋅
+⋅-=n
u x n
u x σ
σ
αα=（49.02，50.98）
9．某类电池寿命服从),(2
σμN ，随机取6只进行寿命试验，得数据（小时）：19，18，22，20，16，25
(1)求μ的可靠性为0.95的置信区间。

(2)求2
σ的可靠性为0.95的置信区间。

解：（1）μ的点估计值为20=x . n
s n t ⋅-=∆)1(05.0319.36
10
571.2=⨯
=， )319.23,681.16(),(=∆+∆-x x
（2）8.12)5(2
025.0=χ,831
.0)5(2975.0=χ，2
σ的可靠性0.95的置信区间为： ,)1()1((22
2--n s n αχ))1()1(22
12
---n s n αχ=)831
.050,8.1250(
=（3.906，60.168） 10．包装机的袋装糖重是一个正态随机变量,机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克。

某日为检验包装机是否正常,随机抽取9袋糖,称得净重为(千克)：
0.498，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512,
问机器是否正常（假设标准差仍为0.015千克，是否可以认为均值是0.5千克）（取05.0=α）? 解： 5.0:00==μμH
，01:μμ≠H
27.29
/015.05
.0511.00=-=-=
n x U σμ，96.1||05.0==>u u U α
拒绝0H , 认为包装机工作不正常。

11．设枪弹速度（米/秒）服从正态分布。

取甲种枪弹32个，测速度得：样本均值28051=x ，样本标准差1201=s ；取乙种枪弹30个，测速度得：样本均值26802=x ，样本标准差1052=s 。

问两种枪弹速度的（1）方差有无显著差异（10.0=α）（2）均值有无显著差异（05.0=α）。

解：（1）22210:σσ=H ， 22211:σσ≠H
321=n ，302=n ，1440021
=s ，1102522
=s ，22
2
1s s F =1306.1>=，
85.1)29,31()1,1(83.105.0212/<=--<F n n F α，因)29,31(05.0F F <，所以，接受0H 。

（2）210:μμ=H , 211:μμ≠
H
28051=x ，26802=x ，321=n ，302=n ，446400)1(211=-s n ，319725
)1(2
22=-s n ， 2)60()2(05.021==-+t n n t α
2
1212
2
22112
1112
)1()1(n n n n s n s n x x T +-+-+--=
=
353.430
1
321230323197254464002680
2805=+
-++- ，
因为)2(||21-+>n n t T α，故拒绝0H 。

12．在某农村地区调查100名儿童中有28名留守儿童，是否可以认为此地区农村儿童留守
率为30%（05.0=α）？
解：30.0:00==W W H
，30.0:01=≠W W H ，
436.0100
/)3.01(3.03
.028.0/)1(000-=--=--=
n W W W w U ，96.1||05.0==<u u U α
接受0H ,可以认为此地区农村儿童留守率为30%。

13．掷一枚骰子60次，点数出现的次数如下，是否可以认为此骰子是均匀的？（05.0=α，
)5(2
χ=11.071）
解：0 骰子是均匀的，1骰子不是均匀的 理论值10=i E ， 6,,1 =i
∑=-=6
1
22
)(i i i i E E v χ=1)5(071.112
05.0χ=<，接受0H ，可以认为此骰子是均匀的。

14．用统计软件进行假设检验，输出的概率p 值为0.02109，取显著水平05.0=α时拒绝原
假设；取显著水平01.0=α时，接受原假设。

15．为比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料一个月后，各组鱼的增重结果列于下表。

四种不同饲料对鱼的增重效果差异是否显著？若差异显著，做多重比较（05.0=α）。

饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：10g ）
饲料
鱼的增重
A 1 31.9 27.9 31.8 28.4 35.9 A 2 24.8 25.7 26.8 27.9 26.2 A 3 22.1 23.6 27.3 24.9 25.8 A 4
27.0
30.8
29.0
24.5
28.5
解：方法一：2
)1(s n SS -==199.668，
2
4
42332222112)1()1()1()1(s m s
m s m s m SS -+-+-+-==85.4 21SS SS SS -==114.268.
668
.
199
20
8.
550
7.
15368
2
=
-
=，
2
1
SS
SS
SS-
==114.268.
方差分析表：
差异源平方和自由度平均平方和F值
组间114.268 3 38.08933333 7.136174863
组内85.4 16 5.3375
总计199.668 19
23
.3
)
16
,3(
)
,
(
05
.0
2
1
05
.0
=
=F
f
f
F<7.136174863,表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不同的饲料饲喂，增重是不同的.
进一步的多重比较:
16
2
=
f，3375
.5
2
=
MS，5
=
i
m，)4,
,1
(
=
i
取05
.0
=
α，则12
.2
)
16
(
05
.0
=
t.
2
05
.0
)
1
1
(
)
16
(MS
m
m
t
LSD
j
i
ij
+
=0977
.3
3375
.5
)
5
1
5
1
(
12
.2=
⨯
+
⨯
=
)4,
,1
,(
=
j
i
将鱼的平均增重按从小到大的顺序排列为：
74
.
24
3
=
y，28
.
26
2
=
y，96
.
27
4
=
y，18
.
31
1
=
y.
多重比较结果：
j i y y - i y j y 18.311=y 96.274=y
28.262=y
74.243=y 6.44* 3.22* 1.54 28.262=y 4.9* 1.68 96.274=y
3.22*
结果记为：
16．假设甲、乙、丙3个班的小学生身高均服从正态分布，方差相等。

每班各观测6名学方差来源 平方和 自由度 平均平方和 F 值 显著性 组间 组内
4.88 7.8
2 15
2.44 0.52
4.69
*
总和 12.68 17
x y 广告投入i x （百万元） 1
2
3
4
5
销售额i y （百万元）
10 21 29 42 48
（1）求销售额对广告投入的回归直线方程（2）假设回归模型是正态模型，在05.0=α水平下,检验y 对x 的线性相关是否显著.
解：
（1）∑∑==-⋅-=n i i
n
i i
i x x y
x n y
x b 1
2
11)
(7.910
30
35547=⨯⨯-=
， x b y b 10-=9.037.930=⨯-=
回归方程：x y
7.99.0ˆ+= （2）2ˆσ
e SS n 21-=][2
12
212x y ns b ns n ⋅--=033.3)107.9950(312=⨯-=，
2
21
ˆx ns b T σ
=
61.1710
/033.37
.9==
，182.3)3(||05.0=>t T
或 221
y x ns ns b r ==9952.0950
10
7.9=⨯>8783.0)3(05.0=r ,∴线性相关关系显著。

18．为研究某一化学反应过程中，温度()x C ο
对产品得率(%)Y 的影响，测得数据如下：
（1） 求变量Y 关于x 的线性回归方程. （2） 求2
σ的无偏估计.
（3） 检验回归方程的回归效果是否显著（取0.05α=）.
解：（1）∑∑==-⋅-=
n i i
n
i i
i x x y
x n y
x b 1
2
11)
(483.08250
3
.6714510101570=⨯⨯-=
，
x b y b 10-=739.2145483.03.67-=⨯-=
回归方程：x y
483.0739.2ˆ+-= （2）2
ˆσ])()([21][211
22
1122212∑∑==----=--=n i i n i i x y x x b y y n ns b ns n 933.0]8250483.01.1932[8
1
2=⨯-= （3）2
21
ˆx ns b T σ
=
42.458250
/933.0483
.0==
，306.2)8(||05.0=>t T
或 221y x ns ns b r ==9981.01
.19328250
483.0=⨯>6319.0)8(05.0=r ,∴线性相关关系显著。

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