【精编文档】湖南省临武县第一中学2019届高三数学5月仿真模拟试卷理.doc

临武县第一中学2019届高考仿真模拟试卷
理科数学
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集{}2230U x Z x x =∈--≤，{0,1,2}A =，则U C A =
A ．{1,3}-
B ．{1,0}-
C ．{0,3}
D ．{1,0,3}- 2．若复数3i
z i
-=
，则z 的虚部为（ ） A ．3i
B ．3-
C ．3
D ．3i -
3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．8种
B ．10种
C ．9种
D ．12种
4、设实数,x y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
2-
B ．2-
C ．2
D ．3
5．已知1
sin(),63
πα-=则cos(2)3πα-=（ ）
A ．79-
B
．9 C ．79
D
．9-
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
7．已知双曲线221:110x y C m m +
=-与双曲线22
2:14
y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）
A ．．5 C ．
5
4
D 8．已知函数()2sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><的图象的相邻两条对称轴之间的距
离为
2π，将函数()3
f x π
的图象向左平移个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ=（ ）
A ．
6π B ．6π- C ．3
π
D ．3π- 9．已知函数,0
()ln ,0x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0
f x a +=有两个不相等的实根，则a 的取值范围是( )
A ．1a >-
B ．11a -<<
C ．01a <≤
D ．1a < 10．已知直线1y kx =+与曲线ln y x =相切，则k =（ ）
A ．2e
B ．1e
C ．e
D ． 21
e
11．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成
的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A ．
413 B ．13 C ．9
26
D ．26
12．如图，在正方体''''ABCD A B C D -中，平面α垂直于对角线AC ，且平面α截得
正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）
A ．S 为定值，l 不为定值
B ．S 不为定值，l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S ，l 均不为定值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13．已知向量(1,2),(4,)a b k ==，若()()
23a b a b +-‖，则k = _. 14．在38
1()2x x
-
的展开式中，4x 的系数为 _. 15．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两点，已
知,AB DE ==C 的焦点到准线的距离为 _. 16．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c .若cos cos 2cos b C c B b B += ,且3,2b c ==，则ABC ∆ 的面积是 _.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)
已知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
是公差为2的等差数列，且121,6,a a +成等比数列，0().n a n N *>∈
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
18. (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AD CD 的中点. (Ⅰ)证明：BD ⊥平面PEF
(Ⅱ)若060BAD ∠=，求二面角B PD A --的余弦值
19. （本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，,A B 为椭圆C 上位于x
轴同侧的两点，12AF F ∆的周长为6，12F AF ∠的最大值为3
π
. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围.
20. （本小题满分12分）
2019年某饮料公司计划从,A B
两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这
两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对,A B 两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[)060，的受访者中有20%会购买，评分在[)6080，的受访者中有60%会购买，评分在[]80100，的受访者中有
90%会购买.
(Ⅰ)在受访的100万人中，求对A 款饮料评分在60分以下的人数（单位：万人）； (Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率；
(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由.
21. （本小题满分12分）
已知函数()1ln ()x f x e x mx m R -=+-∈的导函数为()f x '. (Ⅰ)当0m =时，求()f x '的最小值；
(Ⅱ)若函数()f x 存在极值，试比较,m e e m 的大小，并说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数).在以原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为24sin 3ρρθ=-. (Ⅰ)写出曲线1C 和2C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若P Q ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数()21f x x a x =++-，其中a R ∈. (Ⅰ)当3a =时,求不等式()6f x <的解集； (Ⅱ)若()()5f x f x +-≥，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题 ABDD, CCAB, CDAB
二、填空题 8，7
4
-，4
三、解答题
17、解：（1）由2n n a ⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
是公差为 2 的等差数列，得
1+1
112(1),2(1)222
n n n n n
a a n a a n -=+-=+-……1分 所以213128,432,a a a a =+=+……………2分
由121,6,a a +成等比数列，得11(1)(28)36a a ++=，……………3分 所以112,7.4a a ==-或分
因为0n a >
所以11112.2(1)2(21)26n n n n a a a n n -+==+-=-分
（2）23123252(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+
+- 2341
2123252(21)27n n S n +=⨯+⨯+⨯+
+-分
两式相减，得
2
3
1
1
4(12)
-12222222(21)2
2(21)21012
n n n n n S n n ++-=⨯+⨯+⨯+
+⨯--=-+---分
所以n 112+4
1-2)(21)26(23)212n n n S n n ++=+-=+-（分
18、解：（1）连结AC. ,PA PD =且E 是AD 的中点，.
1PE AD ∴⊥分
,PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=平面平面平面平面
.
2PE ABCD ∴⊥平面分
..3
BD ABCD BD PE
⊂∴⊥
平面分
又ABCD为菱形,且E,F为棱的中点,,
EF AC BD AC
∴⊥
4
BD EF
∴⊥分
又,,,
BD PE PE EF E PE EF
⊥=⊂平面PEF.
BD
∴⊥平面.6
PEF分
(2)四边形ABCD为菱形，且60,
BAD EB AD
∠=∴⊥,分别以EA,EB,EP所在直线为x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.……7分
设AD=1,
则
1
,0,0,,
2
D B P
⎛⎫⎛
⎛⎫
- ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设平面PBD的一个法向量为(,,)
n x y z
=
由
n DB
n DP
⎧∙=
⎪
⎨
∙=
⎪⎩
得
x
x
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
,
令x=得(3,1,1).9
n=--分.
取平面APD的一个法向量为(0,1,0).10
m=分
cos,11
m n
∴==分
二面角B-PD-A
为锐二面角
∴二面角B-PD-A 的余弦值为12
5
分
19.解：()I12
AF F
∆的周长为6，226
a c
∴+=，即3
a c+=①1分
当A为椭圆C的上下顶点时，
12
F AF
∠最大为
3
π
，此时
12
AF F
∆为等边三角形，2
a c
=
②3分
由①②及222
a b
c
=+,解得2,1
a b c
===，∴椭圆C的方程为
22
1
43
x y
+=……4分
()
122112
II,//
AF F BF F AF BF
π
∠+∠=∴5分
延长1AF 交椭圆C 于点A ',由()I 知()121,0,(1,0)F F -,设()1122,,(,)A x y A x y '，
直线AA '的方程为1x ty =-，联立方程22
143
1x y x ty ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，消去x 并整理得 ()2
234690
t
y ty +--=6分
1212
2269
,3434
t y y y y t t ∴+=
=-++7分
设1AF 与2BF 的距离为d ,则四边形12AF F B 面积
21211
(||||)(||)22
F AA S AF BF d AA d S '
∆'=+==8分
12121221||||||234S F F y y y y t ∴=-=-==
+10分
令m =1m ≥，2
1212
=
1313m S m m m
∴=++ 函数()S m 在[1,)+∞上单调递减，(03]S ∴∈， 故四边形12AF F B 面积的取值范围是(03]
，12分
20解：()I 由对A 款饮料的评分饼状图，得对A 款饮料评分在60分以下的频率为
0.05+0.15=0.2
2分
∴对A 款饮料评分在60分以下的人数为1000.2=20⨯（万人）
4分
()II 设受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性为事件C 。

记购买A 款饮料的可能性为20%为事件1A ；购买A 款饮料的可能性为60%为事件
2A ；
购买A 款饮料的可能性为90%为事件3A ；购买B 款饮料的可能性为20%为事件1B ； 购买B 款饮料的可能性为60%为事件2B ；购买B 款饮料的可能性为90%为事件3B ； 则()10.050.150.2,P A =+=2()0.10.20.3P A =+=3()0.150.350.5P A =+= 由用频率估计概率得：
1235515201540
()0.1,()0.35,()0.55100100100
P B P B P B +++=
=====6分
事件i A 与j B 相互独立，其中,1,2,3.i j =
213132213132()()()()()()()()0.30.10.50.10.50.350.255
P C P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=++=⨯+⨯+⨯=
∴该受访者购买A 款饮料的可能性高于购买B 款饮料的可能性的概率为
0.2558分
()III 从受访者对,A B 两款饮料购买期望角度看：
A 款饮料购买期望X 的分布列为：
B 款饮料购买期望Y 的分布列为：
10分
()=0.20.2+0.60.3+0.90.5=0.67E(Y)=0.20.1+0.60.35+0.90.55=0.725E X ∴⨯⨯⨯⨯⨯⨯，
根据上述期望可知()()E X E Y <,故新品推介应该主推B 款饮料12分
21.(本小题满分12分)
解：（1）法一：11
()x f x e m x
-'=+-………………1分
令()()h x f x '=，则121
()x h x e x
-'=-
………………2分 ∵()h x '在()0,+∞上单调递增，且()10h '=，
∴当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>.
∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. …………3分 ∴()()12h x h m ≥=-，当0m =时，即()2f x '≥，当且仅当1x =时取等号………4分
∴()f x '的最小值为2…………5分
法二：令1()x h x e x -=-，则1()1x h x e -'=-………………1分
∴当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>.
∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.
∴()()10h x h ≥=，即1x e x -≥…………3分
∴当0m =时，()1112x f x e x x x -'=+
≥+≥，当且仅当1x =时取等号…………4分 ∴()f x '的最小值为2…………5分
(2)∵函数()f x 存在极值，()0f x '∴=在(0,)+∞有实数解………………6分 由（1）知
()()min 12f x f m ''==-，又()11111ln 0,()01ln m f m f e m m
-''+=>=>+……7分20m ∴-<；即2m >.……8分
比较m e 与e m 的大小，即比较m 与ln e m 的大小. ……9分
考察函数()ln (2)g x x e x x =->，()1e x e g x x x
-'=-=……10分 ∴当2x e <<时，()0g x '<，当x e >时，()0g x '>，
()g x ∴在(2,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增. ……11分
()()0g x g e ∴≥=，即ln x e x ≥，m e e m ∴≥（当且仅当m e =时取等号）……12分
22.(本小题满分10分)
解：(Ⅰ)曲线1C 的直角坐标方程为2214
x y +=，………………2分 曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +=-，即()2221x y +-=.………………5分 (Ⅱ)设P 点的坐标为(2cos sin θθ，).
21PQ PC ≤+11==
当2sin 3θ=-时，max PQ 1. ……………………10分
22.(本小题满分10分)
解：(1)当3a =时，()231f x x x =++-
当1x ≥时，()326f x x =+<，解得43x <
，即413x ≤<……………1分 当312x -≤<时，()46f x x =+<，解得2x <，即312
x -≤<……………2分 当32x <-
时，()326f x x =--<，解得83x >-，即8332x -<<-……………3分
综上所述，不等式()6f x <的解集为84(,)33
-……………5分 （2）()()2121f x f x x a x x a x +-=++-+-++-- (22)(11)x a x a x x =++-+-++……………6分 22a ≥+……………7分
225a ∴+≥……………8分
解得3322a a ≤-≥或，即a 的取值范围为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
……………10分。