带电圆弧圆心处的电场强度和电势
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电势与半径无关这是非常特殊的性质说明圆心是一个对均匀带电圆弧非常特别两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和电势根据上述均匀带电圆弧在圆心处的电场强度大小和电势大小的特点我们对下列两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和电势进行如下讨论
· 312 ·
价值工程
带电圆弧圆心处的电场强度和电势
Electric Field Strength and Electric Potential at the Center of Electric Arc
匀带电圆弧在圆心处的电势，我们只要在（4）式中将 r 换
成 R，积分上限为 θ 进行积分即可。既
乙 乙 θ
U=
dQ
=1
θ 1 · Q ·R·dα
0 4πε0 R 4πε0 0 R Rθ
乙 = 1 θ Q dα= Q
4πε0 0 Rθ
4πε0 R
（5）
根据
λ=
Q θR
有
U= 1 Q = λ θ 4πε0 R 4πε0
Abstract: The paper uses calculus to derive the electric field strength and potential at the circle center of a uniformly charged circle,
and then discusses the electric field strength and electric potential at the center of several electric arc combination.
轿车上，对美国大量出口，率先达到一些国家废气排放浓 化效果。而在其他工况，由于空燃比的精确控制，能实现按
车制造厂家对化油器做了各种改进，仍无法满足日益严 得精确符合要求的空燃比，从而全面地改善了使用性能。
格的限制。1967 年，德国 Bosch（波许）公司首次开发一 在稳定工况下，电子控制喷射利用氧气传感器反馈控制空
Jetronic 电控燃油喷射系统，并应用伏克斯瓦根 VW-1600 燃比，集合三触媒反映器的作用，可以获得最佳的排气净
匀带电圆弧在圆心处的电场强度，我们可以通过下列方法
求得。
建立如图 1 所示的坐
标轴，在圆弧上取一个微
分弧长段 dl，取 α 到 α+dα
的圆弧作为电荷元 dQ。这
时，圆弧上的电荷密度 λ＝
Q θR
，则电荷元 dQ=λdl=
Q ·R·dα= Q dα，dQ 在 O
Rθ
θ
点处的电场强度
dE軑=
dQ 2 e軑r =
1957 年朋迪克斯公司电子控制燃油喷射系统问世，并装 动力性能，提高了发电机的最大输出功率；高空燃控制精
备在克菜斯勒轿车上。
度是电子燃油喷射的最大优点，无论是环境中气温=大气
60 年代，由于电子技术发展非常活跃，加之一国家对 压等条件变化或是加速、减速、过度等非稳定工况以及起
汽车废气排放浓度限制，一度出现世界能源危机，各国汽 动、暖机、高温行使、再起动等冷热工况时，发电机都能获
control (hereinafter referred to as the electric control) fuel injection development initial period, we can back to the good experience of four
stroke diesel engine, which successfully equipment fuel injection system.
1 问题的提出
在物理中，通过对称性分析就可以得知均匀带电圆环
在其圆心处的电场强度为零，而在圆心处的电势不为零，
可用积分的方法求得。那么，对于均匀带电圆弧在圆心处
产生的电场强度和电势是怎样的，下面通过微积分的方法
进行探讨。
2 带电圆弧圆心处的电场强度
对于半径为 R、张角（圆心角）为 θ、带电量为 Q 的均
邵骉 SHAO Biao
（东北石油大学，大庆 163318） （Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China）
摘要： 随着化油器的发展达到极限，尤其是发动机排放量限制浓度值日趋严格，不能满足发动机各种工作下混合器质量要求，影
响了发动机动力性和经济性。电子控制（下面简称电控）燃油喷射发展初期，可追溯到四冲程柴油机上所取的良好的经验，即成功地装
4 两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和 电势
根据上述均匀带电圆弧在圆心处的电场强度大小和 电势大小的特点，我们对下列两个带电圆弧的组合形式圆 心处的电场强度和电势进行如下讨论。
先考察在 R2=2R1，λ2=2λ1，条件下，下列两个带电圆弧 的组合形式圆心处的电场强度和电势。
建立如上所示坐标系，根据对称性、电场强度迭加原
蔡代平 CAI Dai-ping
（陕西省安康职业技术学院，安康 725000） （Ankang Vocational Technical College，Ankang 725000，China）
摘要： 用微积分方法导出均匀带电圆弧在圆心处的电场强度和电势，进而讨论了几种带电圆弧组合在圆心处电场强度和电势。
进展，大有取代传统式化油器的趋势。
在 40 年代，德国戴姆勒-奔驰公司、拜耳发动机制造
80 年代，电子控制燃油喷射系统在汽车上应用已广
厂首次将燃油喷射系统装备汽车发动机上，但由于各种原 泛。据统计，1993 年采用电控燃油喷射系统比重：美国
因，只是在德军飞机上采用机械式燃油喷射系统。
100%，日本 80%，德国 98%。不仅在轿车上，而且在个种类
理和公式（2）、公式（6）对于图 2，有
E軑=E軑x +E軑y ，而軑Ex =E軑軑x1 +E軑軆x2 =0+0=0
所以
E軑=E軑y =E軑軑y1 +E軑軑y2 =（-
1 2πε0
λ2 sin θ R2 2
軆j）+（- 1 2πε0
λ1 sin R1
θ 軆j）＝- 1 sin θ （ λ2 + λ1 ）軆j
备燃油喷射系统。
Abstract: Along with the development of the carburetor, especially the engine emission density limit is strict; it can't meet the quality
requirements of mixer quality at all kinds of work condition, which impacts the engine performance and fuel economy. At the electronic
50 年代，德国戴姆勒-奔驰公司在其生产的奔驰 300L 型车上采用了电控燃油喷射系统技术，充分显示了它强大
型 汽 车 装 备 机 械 式 燃 油 缸 内 喷 射 系 统 。 1953 年 美 国 的生命力。
Bendix（朋迪克斯）公司开始开发电子控制燃油喷射系统，
电子燃油喷射代替传统化油器，大大改善了发电机的
可见，其总电场强度大小为 E= λ1 ，方向沿着 y 轴 πε0 R1
负方向，电势为
U=
3λ1 4ε0
对于图
3，有E軑=E軆x +E軆y ，而軆Ex =E軑軆x1 +
E軑軆x2 =0+0=0
所以
E軑=E軆y =E軑軆y1 +E軑軆y2 =（-
1 2πε0
λ2 sin θ R2 2
軆j）+ 1 2πε0
它们对圆心的张角（圆心角）相等，它们在圆心处的电场强
度与半径成反比，与带电荷密度成正比。
3 带电圆弧圆心处的电势
我们知道，对已知电荷分布的带电体，可用积分求得
该带电体在空间中 P 点的电势为：
乙 U＝ 2π dQ 0 4πε0 r
（4）
式中 r 为电荷元 dQ 到 P 点的距离。
对于半径为 R、张角（圆心角）为 θ、带电量为 Q 的均
1 2πε0
λ2 sin π R2 2
軆j）
ห้องสมุดไป่ตู้
=- 1 λ2 sin π 軆j =- 1 2λ1 軆j
2πε0 R2 2
2πε0 2R1
=- λ1 軆j 2πε0 R1
軆E =E軆x +E軆y
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0
可见，E 的大小和方向可从 EX、Ey 确定，电势为
可见，其总电场强度 0，电势为 U= 3λ1 4ε0
对于图 4，考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
軆Ex = E軑軆x1 + E軑軆x2 =
1 2πε0
λ1 sin π R1 2
軆i +0= 1 2πε0
λ1 sin π R1 2
軆i =
λ1 軆i 2πε0 R1
軆Ey =E軑軆y1 +E軑軆y2 =0+（-
U= 3λ1 4ε0
同理，对于图 5，有 E=0，电势为
U= 3λ1 4ε0
先考察在 R2=2R1，λ2 =λ1 条件下，下列两个带电圆弧的
组合形式圆心处的电场强度和电势。
· 314 ·
价值工程
浅谈电控发动机的发展和趋势
Development and Trend of Electronic-controlled Engine
关键词： 均匀带电圆弧；圆心；电场强度；电势
Key words: uniformly charged circle；center of circle；electric field strength；strength potential
中 图 分 类 号 ：O441.1
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）25-0312-03
（6）
Value Engineering
· 313 ·
可以看出，均匀带电圆弧在圆心处的电势与带电荷密 度成正比，这是任何带电体电势与所带电荷量成正比的基 本性质；电势与张角（圆心角）成正比，说明圆弧上的电荷 对圆心处电势的贡献是均等的，张角（圆心角）越大，圆弧 所带电荷量越多，电势也就越大；电势与半径无关，这是非 常特殊的性质，说明圆心是一个对均匀带电圆弧非常特别 的点。
E= 1 λ 2πε0 R
（3）
由此可知，电场强度与带电荷密度成正比，这是任何
带电体电场强度大小与所带电荷量成正比的基本性质；均
匀带电圆弧在圆心处的电场强度与圆弧半径 R 成反比，
圆弧半径越大，圆弧电荷离圆心越远，电场强度越小；电场
强度与张角（圆心角）不是成简单比值关系，而是成半角正
弦函数关系。可以发现，如果有不同半径的带电圆弧，只要
关键词： 电控发动机；发展；趋势
Key words: electronic-controlled engine；development；trend
中 图 分 类 号 ：S219.031
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）25-0314-02
1 电控发动机的发展背景
λ1 sin θ R1 2
軆j
=- 1 sin θ （ λ2 - λ1 ）軆j 2πε0 2 R2 R1
U=U1+U2=
λ1 4πε0
θ+
λ2 4πε0
θ
考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 - λ1 ）軆j =0 2πε0 2 2R1 R1
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0
Q
2
4πε0 R θ
2
cosα·dα·軆j
-
θ 2
=-
Q
2
2πε0 R θ
sin
θ 2
軆j
（1）
总电场强度大小为
— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— 作 者 简 介 ：蔡代平（1957-），男，陕西白河人，副教授，安康职业技
术学院党委副书记、院长，研究方向为基础物理与职
业教育理论。
E=
Q
2
2πε0 R θ
sin
θ 2
（1*）
如果将
λ=
Q θR
代入（1）式就有：总电场强度
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 + λ1 ）軆j =- λ1 軆j
2πε0 2 2R1 R1
πε0 R1
（2）
总电场强度大小为
E= 1 λ sin θ 2πε0 R 2
（2*）
特别对于半圆弧，在圆心处的电场强度大小为
Qdα
2
e軑r
4πε0 R 4πε0 R θ
当 α 变化时，dE 的方向在不断变化，不能直接积分。
必须将 dE 分解到 x，y 坐标轴上，由图可见
d軑E軑x =-dE軑sinα軆i ，d軑E軆y =-d軑E cosα軆j
因为带电圆弧对 y 轴对称，所以乙dEx=0，电场强度应 在 y 轴方向。故
θ
乙 軑E =乙E軑y =-
2
2πε0 2 R2 R1
U=U1+U2=
λ1 4πε0
θ+
λ2 4πε0
θ
考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 + λ1 ）軆j =- λ1 軆j
2πε0 2 2R1 R1
πε0 R1
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0
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价值工程
带电圆弧圆心处的电场强度和电势
Electric Field Strength and Electric Potential at the Center of Electric Arc
匀带电圆弧在圆心处的电势，我们只要在（4）式中将 r 换
成 R，积分上限为 θ 进行积分即可。既
乙 乙 θ
U=
dQ
=1
θ 1 · Q ·R·dα
0 4πε0 R 4πε0 0 R Rθ
乙 = 1 θ Q dα= Q
4πε0 0 Rθ
4πε0 R
（5）
根据
λ=
Q θR
有
U= 1 Q = λ θ 4πε0 R 4πε0
Abstract: The paper uses calculus to derive the electric field strength and potential at the circle center of a uniformly charged circle,
and then discusses the electric field strength and electric potential at the center of several electric arc combination.
轿车上，对美国大量出口，率先达到一些国家废气排放浓 化效果。而在其他工况，由于空燃比的精确控制，能实现按
车制造厂家对化油器做了各种改进，仍无法满足日益严 得精确符合要求的空燃比，从而全面地改善了使用性能。
格的限制。1967 年，德国 Bosch（波许）公司首次开发一 在稳定工况下，电子控制喷射利用氧气传感器反馈控制空
Jetronic 电控燃油喷射系统，并应用伏克斯瓦根 VW-1600 燃比，集合三触媒反映器的作用，可以获得最佳的排气净
匀带电圆弧在圆心处的电场强度，我们可以通过下列方法
求得。
建立如图 1 所示的坐
标轴，在圆弧上取一个微
分弧长段 dl，取 α 到 α+dα
的圆弧作为电荷元 dQ。这
时，圆弧上的电荷密度 λ＝
Q θR
，则电荷元 dQ=λdl=
Q ·R·dα= Q dα，dQ 在 O
Rθ
θ
点处的电场强度
dE軑=
dQ 2 e軑r =
1957 年朋迪克斯公司电子控制燃油喷射系统问世，并装 动力性能，提高了发电机的最大输出功率；高空燃控制精
备在克菜斯勒轿车上。
度是电子燃油喷射的最大优点，无论是环境中气温=大气
60 年代，由于电子技术发展非常活跃，加之一国家对 压等条件变化或是加速、减速、过度等非稳定工况以及起
汽车废气排放浓度限制，一度出现世界能源危机，各国汽 动、暖机、高温行使、再起动等冷热工况时，发电机都能获
control (hereinafter referred to as the electric control) fuel injection development initial period, we can back to the good experience of four
stroke diesel engine, which successfully equipment fuel injection system.
1 问题的提出
在物理中，通过对称性分析就可以得知均匀带电圆环
在其圆心处的电场强度为零，而在圆心处的电势不为零，
可用积分的方法求得。那么，对于均匀带电圆弧在圆心处
产生的电场强度和电势是怎样的，下面通过微积分的方法
进行探讨。
2 带电圆弧圆心处的电场强度
对于半径为 R、张角（圆心角）为 θ、带电量为 Q 的均
邵骉 SHAO Biao
（东北石油大学，大庆 163318） （Northeast Petroleum University，Daqing 163318，China）
摘要： 随着化油器的发展达到极限，尤其是发动机排放量限制浓度值日趋严格，不能满足发动机各种工作下混合器质量要求，影
响了发动机动力性和经济性。电子控制（下面简称电控）燃油喷射发展初期，可追溯到四冲程柴油机上所取的良好的经验，即成功地装
4 两个带电圆弧的组合形式圆心处的电场强度和 电势
根据上述均匀带电圆弧在圆心处的电场强度大小和 电势大小的特点，我们对下列两个带电圆弧的组合形式圆 心处的电场强度和电势进行如下讨论。
先考察在 R2=2R1，λ2=2λ1，条件下，下列两个带电圆弧 的组合形式圆心处的电场强度和电势。
建立如上所示坐标系，根据对称性、电场强度迭加原
蔡代平 CAI Dai-ping
（陕西省安康职业技术学院，安康 725000） （Ankang Vocational Technical College，Ankang 725000，China）
摘要： 用微积分方法导出均匀带电圆弧在圆心处的电场强度和电势，进而讨论了几种带电圆弧组合在圆心处电场强度和电势。
进展，大有取代传统式化油器的趋势。
在 40 年代，德国戴姆勒-奔驰公司、拜耳发动机制造
80 年代，电子控制燃油喷射系统在汽车上应用已广
厂首次将燃油喷射系统装备汽车发动机上，但由于各种原 泛。据统计，1993 年采用电控燃油喷射系统比重：美国
因，只是在德军飞机上采用机械式燃油喷射系统。
100%，日本 80%，德国 98%。不仅在轿车上，而且在个种类
理和公式（2）、公式（6）对于图 2，有
E軑=E軑x +E軑y ，而軑Ex =E軑軑x1 +E軑軆x2 =0+0=0
所以
E軑=E軑y =E軑軑y1 +E軑軑y2 =（-
1 2πε0
λ2 sin θ R2 2
軆j）+（- 1 2πε0
λ1 sin R1
θ 軆j）＝- 1 sin θ （ λ2 + λ1 ）軆j
备燃油喷射系统。
Abstract: Along with the development of the carburetor, especially the engine emission density limit is strict; it can't meet the quality
requirements of mixer quality at all kinds of work condition, which impacts the engine performance and fuel economy. At the electronic
50 年代，德国戴姆勒-奔驰公司在其生产的奔驰 300L 型车上采用了电控燃油喷射系统技术，充分显示了它强大
型 汽 车 装 备 机 械 式 燃 油 缸 内 喷 射 系 统 。 1953 年 美 国 的生命力。
Bendix（朋迪克斯）公司开始开发电子控制燃油喷射系统，
电子燃油喷射代替传统化油器，大大改善了发电机的
可见，其总电场强度大小为 E= λ1 ，方向沿着 y 轴 πε0 R1
负方向，电势为
U=
3λ1 4ε0
对于图
3，有E軑=E軆x +E軆y ，而軆Ex =E軑軆x1 +
E軑軆x2 =0+0=0
所以
E軑=E軆y =E軑軆y1 +E軑軆y2 =（-
1 2πε0
λ2 sin θ R2 2
軆j）+ 1 2πε0
它们对圆心的张角（圆心角）相等，它们在圆心处的电场强
度与半径成反比，与带电荷密度成正比。
3 带电圆弧圆心处的电势
我们知道，对已知电荷分布的带电体，可用积分求得
该带电体在空间中 P 点的电势为：
乙 U＝ 2π dQ 0 4πε0 r
（4）
式中 r 为电荷元 dQ 到 P 点的距离。
对于半径为 R、张角（圆心角）为 θ、带电量为 Q 的均
1 2πε0
λ2 sin π R2 2
軆j）
ห้องสมุดไป่ตู้
=- 1 λ2 sin π 軆j =- 1 2λ1 軆j
2πε0 R2 2
2πε0 2R1
=- λ1 軆j 2πε0 R1
軆E =E軆x +E軆y
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0
可见，E 的大小和方向可从 EX、Ey 确定，电势为
可见，其总电场强度 0，电势为 U= 3λ1 4ε0
对于图 4，考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
軆Ex = E軑軆x1 + E軑軆x2 =
1 2πε0
λ1 sin π R1 2
軆i +0= 1 2πε0
λ1 sin π R1 2
軆i =
λ1 軆i 2πε0 R1
軆Ey =E軑軆y1 +E軑軆y2 =0+（-
U= 3λ1 4ε0
同理，对于图 5，有 E=0，电势为
U= 3λ1 4ε0
先考察在 R2=2R1，λ2 =λ1 条件下，下列两个带电圆弧的
组合形式圆心处的电场强度和电势。
· 314 ·
价值工程
浅谈电控发动机的发展和趋势
Development and Trend of Electronic-controlled Engine
关键词： 均匀带电圆弧；圆心；电场强度；电势
Key words: uniformly charged circle；center of circle；electric field strength；strength potential
中 图 分 类 号 ：O441.1
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）25-0312-03
（6）
Value Engineering
· 313 ·
可以看出，均匀带电圆弧在圆心处的电势与带电荷密 度成正比，这是任何带电体电势与所带电荷量成正比的基 本性质；电势与张角（圆心角）成正比，说明圆弧上的电荷 对圆心处电势的贡献是均等的，张角（圆心角）越大，圆弧 所带电荷量越多，电势也就越大；电势与半径无关，这是非 常特殊的性质，说明圆心是一个对均匀带电圆弧非常特别 的点。
E= 1 λ 2πε0 R
（3）
由此可知，电场强度与带电荷密度成正比，这是任何
带电体电场强度大小与所带电荷量成正比的基本性质；均
匀带电圆弧在圆心处的电场强度与圆弧半径 R 成反比，
圆弧半径越大，圆弧电荷离圆心越远，电场强度越小；电场
强度与张角（圆心角）不是成简单比值关系，而是成半角正
弦函数关系。可以发现，如果有不同半径的带电圆弧，只要
关键词： 电控发动机；发展；趋势
Key words: electronic-controlled engine；development；trend
中 图 分 类 号 ：S219.031
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）25-0314-02
1 电控发动机的发展背景
λ1 sin θ R1 2
軆j
=- 1 sin θ （ λ2 - λ1 ）軆j 2πε0 2 R2 R1
U=U1+U2=
λ1 4πε0
θ+
λ2 4πε0
θ
考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 - λ1 ）軆j =0 2πε0 2 2R1 R1
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0
Q
2
4πε0 R θ
2
cosα·dα·軆j
-
θ 2
=-
Q
2
2πε0 R θ
sin
θ 2
軆j
（1）
总电场强度大小为
— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— —— 作 者 简 介 ：蔡代平（1957-），男，陕西白河人，副教授，安康职业技
术学院党委副书记、院长，研究方向为基础物理与职
业教育理论。
E=
Q
2
2πε0 R θ
sin
θ 2
（1*）
如果将
λ=
Q θR
代入（1）式就有：总电场强度
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 + λ1 ）軆j =- λ1 軆j
2πε0 2 2R1 R1
πε0 R1
（2）
总电场强度大小为
E= 1 λ sin θ 2πε0 R 2
（2*）
特别对于半圆弧，在圆心处的电场强度大小为
Qdα
2
e軑r
4πε0 R 4πε0 R θ
当 α 变化时，dE 的方向在不断变化，不能直接积分。
必须将 dE 分解到 x，y 坐标轴上，由图可见
d軑E軑x =-dE軑sinα軆i ，d軑E軆y =-d軑E cosα軆j
因为带电圆弧对 y 轴对称，所以乙dEx=0，电场强度应 在 y 轴方向。故
θ
乙 軑E =乙E軑y =-
2
2πε0 2 R2 R1
U=U1+U2=
λ1 4πε0
θ+
λ2 4πε0
θ
考虑到 θ=π，R2=2R1，λ2 =2λ1，则有
E軑=- 1 sin π（ 2λ1 + λ1 ）軆j =- λ1 軆j
2πε0 2 2R1 R1
πε0 R1
U= λ1 π+ 2λ1 π= 3λ1 4πε0 4πε0 4ε0