基于几何法的机器人运动学逆解
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逆 向运 动 学 问 题 本 身 的复
杂性 ，要 建立通 用算 法相 当困 难。
目前 ，快速 计 算 运动 学 逆 解 问 题 的 方 法 有很
多种 。机 器人 操作 臂运 动学 逆解 的方 法主 要分 为
两类 ：数 值求 解 和 封 闭解 。 在一 个 单 一 串 联 链 中
?)逆解 的唯 一性和 最优 解 在 解运 动学 方程时 ，可 能会 遇到 逆解 不唯 一， 即多 重解 的情 况。机 器 人 运 动 学 逆解 的 数 目 决 定 于 关节 数目 、连杆 参数 和关 节变 量的 活动 范围 。一 般 情况 下，连 杆长 度非 零的 数目 越多 ，到达 某一 个 目标 点的 方式 也 越 多，则 机 器 人 运 动学 逆 解 数 目 越 多。 多 重解 又 往 往与 优 化 联系 在 一 起。如 何 从 这 些 多重解 中选 择 其 中 最优 的 一 个 ？这是 我 们 要 研 究 问题 的关 键。在不同 的情 况下 ，采 用的 最优 原则 也 是不 同 的，通 常 采 用 的 是“最 短 行 程 ”准 则 ，即 最 优解 为每 个关 节的 移动 量为 最小 的解 。因此 ，在 没 有障 碍物 的情 况 下，寻 求 运 动 学 逆 解 的最 优 解 就是在 关节 空 间中 选 取 一 个 最 接 近起 始 点 的 解。 为了衡量“最接近的程度”，根 机器人手臂连杆 的尺 寸较 大，而 手爪 的连 杆尺 寸较 小的 实际 情况 ，
收稿日期：(##(0#"0#* 作者简介：李友虎，男， （+’$#0 ），讲师，华中科 技大学在读硕士研究生，主要研究 向： 控技术、机械设计。
’
基于几何法的机器人运动学逆解———李友虎 叶伯生 朱志红
述这 些 坐 标 系 之 间 的 相 对 关 系。!"#$%&’ 和
($)’"#*")+提出一种通用的方法，用齐次 变换矩
阵 来描述 各个 连杆 相对 固定 参考 系的 空间 几何 关
系 ，用一 个,-,的 齐次 变换 矩阵 描述 相邻 两个 连 杆的 空间 关系 ，从 而 推 导 出 机 器 人末 端 执 行 器 相
对于 参考 系的 等 价 齐 次 坐 标矩 阵 ，建 立 机 器 人 操
作 臂的 运动 方 程。 在 各 个 关 节变 量 给 定 以 后，机
(##(年!月
基于几何法的机器人运动学逆解
李友虎 叶伯生 朱志红 （华中科技大学 湖北 武汉 !"##$!）
摘 要：本文给出了机器人的基本概念，介绍了 机器人的发展状况和 研究前景，提出了 机器人 运动学 的求解 方法和
基本思路，讨论了基于几何法的运动学逆解的存在性、唯一性和求解的具体方法。
关键词：机器人；运动学；几何法；逆解
中图分类号：%&’(!
文献标识码：)
一 、概述 机器 人技 术 作 为(# 世纪 人 类 最 伟 大 的 发 明 之 一，自 *#年 代初 问世 以来 ，经 历!# 余年 的发 展 已 取得 长足 的 进 步。 所 谓 机器 人 ，是 指 由 各 种 外 部传 感器 引导 ，可 在 其 工 作 空 间 内对 真 实 物 体 进 行 操作 ，并能 通过 软件 控制 的机 械装 置。 机器人从一诞 生起就对人类 作出了巨 大贡 献 。六十 年代 以 前 ，机 器 人 在 世 界 经济 舞 台 上 还 未 形成 气候 ，其潜 力未 被人 类重 视，但自进 入八 十 年 代以 来，日 本的 机器 人异 军突 起，率先 在世界 上 形 成“ 机器 人王国 ”。(##+ 年 日 本 约有 !" 万 台 机 器 人在 各行各 业服 务，西方 国家 普遍 承认 ，机器 人 对 振兴 日本 经济功 勋卓 著。 在第 一台 机器 人诞 生 的 美国 ，从+’$,年 至+’,, 年的 十年 间，机 器人 给 美国 创 造 了 +-## 亿 美 元 的财 富 ，预 计 到 今年 ，机 器人 还将 给 美 国 创造 约 -### 亿 美 元 的财 富 。 正 因为 在生 产工 程 系 统 中 应用 了 机 器 人，使 自 动 化 发展 为综 合柔 性 自 动 化，实 现 了 生产 过 程 的 智 能 化 和 机器 人 化，因 此在 汽 车 工 业、工程 机 械、金 属 加 工、石 油、建筑 、电子 等 各 类加 工 业 及 家电 行 业 中 得到 广泛 的应 用。 当前 国际 机 器 人 产业 、市场 和 研 究 开 发 面 临 着 市场 复苏 、空间 拓宽 、概 念更 新的新 时期 。由 于 机 器人 性能 的重 大进 步，机 器人 价格 呈下 降趋 势， 这 表明 现役 机 器 人 的 盈利 增 加 了 。与 此 同 时，机 器 人应 用到 更多 领域 将能 够获 得最 大的 利润 。预 计 今后 机器 人的 价 格 将 继 续 下 降，同 时在 一 些 国 家 中可 能会 出现 劳 动 力 短 缺 现 象，因 而 机器 人 的
器 人操 作臂 的末 端 执 行 器 的 位 姿是 唯 一 确 定 的，
因 此运 动学 正确 是 唯 一 确 定 的，但 是 因为 操 作 臂
的 运动 方程 一般 是 非 线 形 超 越 方程 组 ，其运 动 学
逆解 比 较 复 杂 ，可 能 产 生 多 重 解 ，也 可 能 不 存 在
解 ，因 此运 动学 逆解 往往 是我们 讨论 的重 点。
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式中，（!!，"$，! %，& ’）表 示末端连 杆的位 姿，# "［#=，#>，…，#!］( 为关节变量，下标!表示关节 数 目。这 些方 程都 是超 越方 程，只 有在 特殊 情况 下
机 器人 的运 动 学 正 逆 问题 ，对控 制 机 器 人 非
常关键 。机 器 人运 动 学 问 题 的 研 究，是 进行 机 器
人运 动轨 迹规 划 、运 动 仿 真 的 重 要基 础 。 机器 人
控制的 目的 在 于 其快 速 准 确，因 此 计 算 与 运动 学
正逆 问题 有关 的变 换关 系必 须在尽 可能 短的 时间
共有. 个自由 度时 ，方 程是 可解 的，其 通解 是数 值
解 ，只有 在一 些特 殊情 况下（ 如有 若干 个相 交的 关
节 轴或 者有 许多 个连 杆扭 转角等 于/或0/1时）具
有 .个 自由度 的机 器人 可得 到封 闭解 。由 于封 闭
解 比数 值解 法计算 速度 更快 ，效 率更 高，便 于实 时
. .* *>>, -0$- !（（!!==..!!>>））# $ %
式 中， （+，/）是连 杆>端 点的 位置 坐标 ， （!=，
!>）为关 节角 。
图= 平面>1 机械手
下面 要 讨 论的 问 题 是：对 于 给 定的 位 置 坐 标 （+，/），相 应 的 关 节 角（!=，!>）是 否 存 在 ？由 图 = 可 以看 出，如 果所 给定 的位 置（+，/）位 于以2*=3 *>2、 （*=.*>）为内 、外 半径 的圆 环上（ 包括 边界 ）， 则 逆解 存在 ，即运 动学 方程 至少 有一 个解 ，否则 不 存 在逆 解。
在各个关节变量给定以后机器人操作臂的末端执行器的位姿是唯一确定的因此运动学正确是唯一确定的但是因为操作臂的运动方程一般是非线形超越方程组其运动学逆解比较复杂可能产生多重解也可能不存在解因此运动学逆解往往是我们讨论的重点
(##(年第+期
武 汉船舶职业技术学院学报 12345672893:65;5<=/=3=>28?:/@A3/7B/5C%>D:5272CE
二 、机器 人运 动学 问题 的提 出 机 器人 的工 作范围 是一 个由 一系 列空 间点 组 成的 三维 空间 点 域 ，该 区 域 可 以 通过 运 动 学 正 确 求 得。 另外 ，根据 机器 人手 部的 位置 和姿 态结 构， 由 运动 学逆 解反 求得 到各 个关 节的转 角!/。 一般 来讲 ，由 机 器 人 关 节坐 标 值 求 出 其 直 角 坐标 值的 运动 学 正 确 比 较 简单 ，而由 直 角 坐 标 值 求 出其 关节 坐标 值的 运动 学逆 解就复 杂得 多。 我 们可 以把 机器 人 操 作 臂 看 成 一个 开 式 链，它 是 由 一 系列 连杆 通过 移 动 或 者 转 动 关节 串 连 而 成 的。 开 链的 一端 固定 在基 座上 ，另一 端是 自由 的，安装 机 器人 末端 执行 器用 以操 作物 体，完 成各 种作 业。 机 器人 各个 关节 由 驱 动 器 驱 动，关 节 的 相对 运 动 导致连 杆的 运 动，使 机器 人 末 端 执 行 器 到达 所 需 的位姿 。在 进 行 机器 人 运 动 学 研 究 时，我 们最 感 兴趣 的是 机器 人操 作臂末 端执 行器 相对 固定 坐标 系的 空间 描述 。为 了研 究操作 臂各 连杆 之间 的位 移 关系 ，在每 一个 连杆 上固 接一 个坐 标系 ，然后 描
人 提出 的遗 传算 法等 等。对 各式 各样 的运 动学 逆
解 方法 ，它们 在特 定的 运动 环境 都有 相应 的作 用，
但 一直 没有 统一 的运 动学 逆解算 法。 本文 主要 讨
论 基于 几何 法的 机器 人运 动学 逆解问 题。
三 、基于 几何 法的 运动 学逆 解
=3运动学 方程
机 器人 操作臂 的运 动学 方程 为：
=/
"%%"年第#期
武 汉船舶职业技术学院学报 ’@J601K@AWJF10M0G434J4/@A:F3L7J3KI308V/>F0@K@8Q
"%%"年!月
采 用“加 权系 数”的 概念 来表 示，加 权 系数 的 选 取 遵 循“多 移动 小关 节，少 移动 大关 节”的 原则 。
!!求解方 法 用几 何 法 分析 运 动 学 逆解 比 较 直观 ，可 以 减 少分 离变 量法 中 复杂 庞 大 的 计 算 量，因 此 在 不 少 场合 中得 到应 用。下 面 用 一 个 例 子来 说 明 几 何 法 的 解 题 思 路，如 图 " 为 三 自 由 度 平 面 机 械 手，在 "#、"" 和 #$ 组成的三角形内，由余弦定理得
控 制，因 而我 们 要 努 力 求 得运 动 学 封 闭 解。 机 器
人 操作 臂的 运动 学封 闭解求 取可 以通 过两 种途 径
得 到：解 析法（又 称 代 数 法 ）和 几 何 法。 解 析 法 有
23434$56提出的分离变量法，几何法有 738393
:""和 ;3<&+"6")提出的几何法，另外还有戴齐和 姚启 先提 出的 代 数 法 和 几何 法 的 综 合、刘 永 超 等
图" 基于几何法的运动学逆解
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由 此得
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这 样就 可以 求得!"。 为了 求出 !#，首先 计算 出角 度 " 和#，由 图" 得
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才 能求 出其 封闭 解。对 机器 人来 讲，运 动学 逆解 的
研 究任 务是 研究 逆解 存在性 、唯 一性 和求 解方 法。
>)解的 存在 性
如图 = 所示 的 平 面 > 自由 度 机 械手 ，两 连 杆 长度分别为*= 和*>，两旋转关节轴平行。其运动 方 程为
+ /
"*=,$-!= "*=-0!!=
普及 速度 比预 想 要 快。 从 长 远 的 观 点来 看 ，机 器 人的相 对价 格 进 一步 下 降 、劳 动 力 的 短 缺 以及 人 们对生 产质 量 更 加重 视 ，将成 为 机 器 人 领 域 继续 投资 的推 动力 。
机器 人的 发展 空间 从制 造业 向第 一产业 和第 二产 业扩 展，国 际 特 种 机 器 人销 售 量 近 几 年 来 一 直呈 持续 上 升 的趋 势 。据 欧 经 会 统 计，预 计 未 来 "年内，全球工业机器人的销售将平均 每年增加 +#.左右 ，到 (##" 年 ，运 行 中 的 工 业 机 器 人 总 数 将 接近 ’#万 台。
杂性 ，要 建立通 用算 法相 当困 难。
目前 ，快速 计 算 运动 学 逆 解 问 题 的 方 法 有很
多种 。机 器人 操作 臂运 动学 逆解 的方 法主 要分 为
两类 ：数 值求 解 和 封 闭解 。 在一 个 单 一 串 联 链 中
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基于几何法的机器人运动学逆解———李友虎 叶伯生 朱志红
述这 些 坐 标 系 之 间 的 相 对 关 系。!"#$%&’ 和
($)’"#*")+提出一种通用的方法，用齐次 变换矩
阵 来描述 各个 连杆 相对 固定 参考 系的 空间 几何 关
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对于 参考 系的 等 价 齐 次 坐 标矩 阵 ，建 立 机 器 人 操
作 臂的 运动 方 程。 在 各 个 关 节变 量 给 定 以 后，机
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基于几何法的机器人运动学逆解
李友虎 叶伯生 朱志红 （华中科技大学 湖北 武汉 !"##$!）
摘 要：本文给出了机器人的基本概念，介绍了 机器人的发展状况和 研究前景，提出了 机器人 运动学 的求解 方法和
基本思路，讨论了基于几何法的运动学逆解的存在性、唯一性和求解的具体方法。
关键词：机器人；运动学；几何法；逆解
中图分类号：%&’(!
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一 、概述 机器 人技 术 作 为(# 世纪 人 类 最 伟 大 的 发 明 之 一，自 *#年 代初 问世 以来 ，经 历!# 余年 的发 展 已 取得 长足 的 进 步。 所 谓 机器 人 ，是 指 由 各 种 外 部传 感器 引导 ，可 在 其 工 作 空 间 内对 真 实 物 体 进 行 操作 ，并能 通过 软件 控制 的机 械装 置。 机器人从一诞 生起就对人类 作出了巨 大贡 献 。六十 年代 以 前 ，机 器 人 在 世 界 经济 舞 台 上 还 未 形成 气候 ，其潜 力未 被人 类重 视，但自进 入八 十 年 代以 来，日 本的 机器 人异 军突 起，率先 在世界 上 形 成“ 机器 人王国 ”。(##+ 年 日 本 约有 !" 万 台 机 器 人在 各行各 业服 务，西方 国家 普遍 承认 ，机器 人 对 振兴 日本 经济功 勋卓 著。 在第 一台 机器 人诞 生 的 美国 ，从+’$,年 至+’,, 年的 十年 间，机 器人 给 美国 创 造 了 +-## 亿 美 元 的财 富 ，预 计 到 今年 ，机 器人 还将 给 美 国 创造 约 -### 亿 美 元 的财 富 。 正 因为 在生 产工 程 系 统 中 应用 了 机 器 人，使 自 动 化 发展 为综 合柔 性 自 动 化，实 现 了 生产 过 程 的 智 能 化 和 机器 人 化，因 此在 汽 车 工 业、工程 机 械、金 属 加 工、石 油、建筑 、电子 等 各 类加 工 业 及 家电 行 业 中 得到 广泛 的应 用。 当前 国际 机 器 人 产业 、市场 和 研 究 开 发 面 临 着 市场 复苏 、空间 拓宽 、概 念更 新的新 时期 。由 于 机 器人 性能 的重 大进 步，机 器人 价格 呈下 降趋 势， 这 表明 现役 机 器 人 的 盈利 增 加 了 。与 此 同 时，机 器 人应 用到 更多 领域 将能 够获 得最 大的 利润 。预 计 今后 机器 人的 价 格 将 继 续 下 降，同 时在 一 些 国 家 中可 能会 出现 劳 动 力 短 缺 现 象，因 而 机器 人 的
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下面 要 讨 论的 问 题 是：对 于 给 定的 位 置 坐 标 （+，/），相 应 的 关 节 角（!=，!>）是 否 存 在 ？由 图 = 可 以看 出，如 果所 给定 的位 置（+，/）位 于以2*=3 *>2、 （*=.*>）为内 、外 半径 的圆 环上（ 包括 边界 ）， 则 逆解 存在 ，即运 动学 方程 至少 有一 个解 ，否则 不 存 在逆 解。
在各个关节变量给定以后机器人操作臂的末端执行器的位姿是唯一确定的因此运动学正确是唯一确定的但是因为操作臂的运动方程一般是非线形超越方程组其运动学逆解比较复杂可能产生多重解也可能不存在解因此运动学逆解往往是我们讨论的重点
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武 汉船舶职业技术学院学报 12345672893:65;5<=/=3=>28?:/@A3/7B/5C%>D:5272CE
二 、机器 人运 动学 问题 的提 出 机 器人 的工 作范围 是一 个由 一系 列空 间点 组 成的 三维 空间 点 域 ，该 区 域 可 以 通过 运 动 学 正 确 求 得。 另外 ，根据 机器 人手 部的 位置 和姿 态结 构， 由 运动 学逆 解反 求得 到各 个关 节的转 角!/。 一般 来讲 ，由 机 器 人 关 节坐 标 值 求 出 其 直 角 坐标 值的 运动 学 正 确 比 较 简单 ，而由 直 角 坐 标 值 求 出其 关节 坐标 值的 运动 学逆 解就复 杂得 多。 我 们可 以把 机器 人 操 作 臂 看 成 一个 开 式 链，它 是 由 一 系列 连杆 通过 移 动 或 者 转 动 关节 串 连 而 成 的。 开 链的 一端 固定 在基 座上 ，另一 端是 自由 的，安装 机 器人 末端 执行 器用 以操 作物 体，完 成各 种作 业。 机 器人 各个 关节 由 驱 动 器 驱 动，关 节 的 相对 运 动 导致连 杆的 运 动，使 机器 人 末 端 执 行 器 到达 所 需 的位姿 。在 进 行 机器 人 运 动 学 研 究 时，我 们最 感 兴趣 的是 机器 人操 作臂末 端执 行器 相对 固定 坐标 系的 空间 描述 。为 了研 究操作 臂各 连杆 之间 的位 移 关系 ，在每 一个 连杆 上固 接一 个坐 标系 ，然后 描
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但 一直 没有 统一 的运 动学 逆解算 法。 本文 主要 讨
论 基于 几何 法的 机器 人运 动学 逆解问 题。
三 、基于 几何 法的 运动 学逆 解
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机 器人 操作臂 的运 动学 方程 为：
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采 用“加 权系 数”的 概念 来表 示，加 权 系数 的 选 取 遵 循“多 移动 小关 节，少 移动 大关 节”的 原则 。
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人 操作 臂的 运动 学封 闭解求 取可 以通 过两 种途 径
得 到：解 析法（又 称 代 数 法 ）和 几 何 法。 解 析 法 有
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机器 人的 发展 空间 从制 造业 向第 一产业 和第 二产 业扩 展，国 际 特 种 机 器 人销 售 量 近 几 年 来 一 直呈 持续 上 升 的趋 势 。据 欧 经 会 统 计，预 计 未 来 "年内，全球工业机器人的销售将平均 每年增加 +#.左右 ，到 (##" 年 ，运 行 中 的 工 业 机 器 人 总 数 将 接近 ’#万 台。