第11章 差错控制编码要点
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0 A 1 2
e
d0
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3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
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e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
11
0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
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（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
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11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
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3）ARQ的主要缺点：
① 需要双向信道来重发，不能用于单向信道，也不能
用于一点到多点的通信系统。 ② 因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。
③ 在信道干扰严重时，可能发生因不断反复重发而造
成事实上的通信中断。 ④ 不适合要求实时通信的场合，例如电话通信。 （3）反馈校验法（HEC） 接收端将收到的信码原封不动地转发给发送端，并与
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101——阴 110——雨
许用码组
2、检错和纠错 000——晴，011——云 101——阴，110——雨 上面这种编码只能检测错码，不能纠正错码。
例如，当接收码组为禁用码组“100”时，接收端将
无法判断是哪一位码发生了错误，因为晴、阴、雨三者 错了一位都可以变成“100”。 000——晴 101——阴 110——雨
码距均为2
1） 最小码距(d0) ：把某种编码中各个码组之间距离的最 小值。例如，上面的编码的最小码距d0 = 2。
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2） 最小码距d0和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种
编码的检错和纠错能力。 ①为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1 【证】 设一个码组A位于O点。若码组A中发生一个错码， 则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心，以1为半 径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。 若码组A中发生两
ACK9
ACK1 接收数据
NAK5
NAK9
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
有错码组
9 12 13
14
有错码组
它只重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率。 2）ARQ的主要优点：——和前向纠错方法相比 ① 监督码元较少即能使误码率降到很低，即码率较高； ② 检错的计算复杂度较低，成本降低； ③ 检错用的编码方法和加性干扰的统计特性基本无关，能 适应不同特性的信道。
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② 拉后ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
NAK9
ACK9
ACK1 接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 10 11 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
发送端连续发送数据组，接收端对于每个接收到的数据 组都发回确认(ACK)或否认(NAK)答复。
E S R(mod 2) S R
例如： S： 0 0 1 0 0 R： 1 1 0 0 0 E： 1 1 1 0 0 E的位为“1”，则该位有错； E的位为“0”，则该位无错；
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4、差错控制技术的种类
前向纠错法（FEC） 检错重发法（ARQ） 反馈校验法（HEC） 检错删除 （1）前向纠错法（FEC） ——Forward Error Correction 接收端不仅能在收到信码中发现错误（检错），还能
出现禁用码组，即可判断出错。
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例如：若“000”（晴）中错了一位，即： 001 000（晴） 010 禁用码组 100 接收端在收到禁用码组时，就认为发现了错码。 当发生3个错码时，“000”变成了“111”，它也是禁用 码组，故这种编码也能检测3个错码。 但是这种码不能发现一个码组中的两个错码，因为发 生两个错码后产生的是许用码组。 011——云 000（晴）
道
在发送端，输入的信息码元在编码器中被分组编码
（加入监督码元）后，除了立即发送外，还暂存于缓冲 存储器中。 若接收端解码器检出错码，则由解码器控制产生一个 重发指令。 此指令经过反向信道送到发送端。由发送端重发控制 器控制缓冲存储器重发一次。
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编码器和 缓冲存储器
双 向 信
例如，图中第5组接收数据有误，则在发送端收到第5组
接收的否认答复后，从第5组开始重发数据组。 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号， 以便识别。显然，这种系统需要双工信道。
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③ 选择重发ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
ACK5
9 12 13 14
反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0应满足： d0 e + 1
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② 为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t + 1
图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生
不多于两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位 置为圆心的圆。这两个圆是不重叠的。 判决规则为：若接收码组落于以A为圆心的圆上 就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的圆上就判 决为码组B。 这样，就能够纠正两位错码。
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1、信道分类：
按加性干扰引起错误分布规律不同分 随机信道：错码的出现是随机的 信道分类 突发信道：错码是成串集中出现的 混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 2、差错类型： 随机错码：比较平缓，比较均匀 突发错码：突发性、大面积的差错（受外界突发性的影响）
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3、差错图型/图样（Error Pattern） 发的码组： S 收的码组： R 差错码组： E
e = d0 – 1 = 5 – 1 = 4
按照纠错能力公式纠错时，能纠正 2 个错码 d0 2t + 1
0 A 1 2 3 4 5 B
t
d0
汉明距离
t
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但是，不能同时做到即检测4个错码，又纠正2
个错码。
例如，码组A若错了3位，就会被误认为码组B错
了2位造成的结果，从而被错“纠”为B。
这就是说，检错和纠错公式不能同时成立或同时 运用。
0 A 1 2 3 4 5 B
t
d0
汉明距离
t
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为了在可以纠正t个错码的同时，能够检测e个错 码，就需要像下图所示那样，使某一码组（譬如码组 A）发生e个错误之后所处的位置，与许用其他码组 （譬如码组B）的纠错圆圈至少距离等于1，不然将落
解码器
输出缓冲 存储器
信 源
重发控制
信 宿
道
正确时输出
指令产生器
错误时删除
接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时，才将 信息码元送给收信者，否则在输出缓冲存储器中删除
接收码元。
当解码器未发现错码时，经过反向信道发出不需重 发指令。发送端收到此指令后，即继续发送后一码组，
发送端的缓冲存储器中的内容也随之更新。
需要双向信道，不能传实时信号（不适合音频、视频， 只适合传数据） ；对性能要求高的数据传输用此类方法。 框图：
信 源
重发控制 编码器和 缓冲存储器
双 向 信 道
解码器
输出缓冲 存储器
信 宿
指令产生器
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编码器和 缓冲存储器
双 向 信
解码器
输出缓冲 存储器
信 源
重发控制
信 宿
指令产生器
纠正错码（纠错），对码要求有纠错功能，即用纠错码，
对码要求高。 不需要反向信道，适用于实时传输； 纠错设备比检错设备复杂。
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（2）检错重发法（ARQ） ——Automatic Repeat Quest（自动重发请求） 接收端在收到的信码中检测出错码时，即通知发送端重
发，直到正确接收到为止。
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1、许用码组和禁用码组 若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如： 000——晴，011——云 101——阴，110——雨 则剩余的码组： 001，010，100，111 禁用码组 （非法码组） 许用码组 （合法码组）
虽然4个许用码组只能传送4种不同的天气，但是接收端
却有可能发现码组中出现一个错码的情况（检错）。
0 A 1 2 3 4 5 B
若错码达到3个，
汉明距离
t
d0
就将落入另一圆上， 从而发生错判。
t
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③ 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距
d0 e t 1
(e t )
4 个错码，即：
下图所示的例子，图中码组A和B之间距离为5。 按照检错能力公式，最多能检测
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1）3种ARQ（检错重发法）系统
① 停止等待ARQ系统
发送码组
1
2
ACK
3
ACK
3
NAK
4
ACK
5
ACK
5
NAK
6
ACK t
1
接收码组
2
3
有错码组
3
4
5
有错码组
5 t
每发送一组数据后发送端等待接收端的确认(ACK)答复， 然后再发送下一组数据。 当接收数据有误，接收端发回一个否认(NAK)答复，这时， 发送端将重发该组数据。 系统是工作在半双工状态，时间没有得到充分利用， 传输效率较低。
当收到禁用码组“100”时， 若假定错码数不超过两个。
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只能检测出存在错码 而无法纠正错码
3、分组码 将信息码分组，为每组信息码附加若干监督码
的编码。即： 分组码(n)＝信息码(k)＋监督码(r)
注意：监督码仅仅监督本码组中的信息码元。
例如：
000——晴 011——云 101——阴 110——雨
通信原理
第11章 差错控制编码
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11.1 概述
数字信号在传输过程中受到干扰，使信号码元 波形变形，所以传输到接收端可能发生错误判决。 乘性干扰 ——均衡的方法解决 信号 加性干扰 ——合理选择调制、解调； 发送功率；差错控制 纠错码的目的：克服随机差错，牺牲一部分带宽，换取 信噪比的提高，获得误码率的降低。 对语音信号：对纠错要求不高； 对数据信号：对纠错要求特别高；
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传错一位
100
要能够纠正错误，还要增加多余度。 若规定： 000——晴，111——雨 （许用码组） （禁用码组）
001，010，011，100，101，110
则能够检测两个以下错码，或能够纠正一个错码。 分析： 当收到禁用码组“100”时， 纠正为“000”（晴）
若假定仅有一个错码。
原发送信码相比较，如果有错，发送端重发。
需要双向信道。 因为每一组信码都传输2次，所以传输效率很低。
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5、差错控制编码：常称为纠错编码
（1）前向纠错法（FEC）
差错控制技术的种类 （2）检错重发法（ARQ） （3）反馈校验法（HEC） 其中，（1）,（2）两种方法均在接收端识别有无错码， 这是由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监 督码元来实现的。 （1）差错控制编码——在信息码元序列中加入“监督码元”。 （2）监督码元： 为了在接收端识别有无错码，通常在发送端需要在信息
码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。
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（3）多余度：监督码元数(n-k) 和总码元数 n 之比：
(n k ) n
例如，若编码序列中平均每两个信息码元就添加 一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。 一般地，增加的监督码元越多（多余度越大）， 检（纠）错能力就越强。
在该纠错圆上从而发生错误地“纠正”。
e
A t B t
汉明距离
e
1
e
d0
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3 B 汉明距离
位错码，则其位置不会
超出以O点为圆心，以2
为半径的圆。
因此，只要最小码距不小于3，码组A发生两位 以下错码时，不可能变成另一个许用码组B，因而能 检测错码的位数等于2。 同理，若一种编码的
0 A 1 2
e
d0
3 B 汉明距离
最小码距为d0，则将能检测 (d0 - 1)个错码。
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信息位 晴 云 阴 00 01 10
监督位 0 1 1
雨
11
0
（1）分组码的一般结构 分组码的符号：(n, k) n ——码组的总位数，又称为码组的长度（码长） k —— 码组中信息码元的数目 n－k =r ——码组中的监督码元数目，或称监督位数目
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（2）分组码的码重W 分组码中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。 （3）分组码的码距d 把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距 离，简称码距。码距又称汉明距离。 例如： 000——晴 011——云 101——阴 110——雨
（4）编码效率（简称码率） ：
信息码元数量（k）和总码元数量（n）之比：k/n 理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高 传输可靠性，即有效性换取可靠性。
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11.2 纠错编码的基本原理
引例——理解检错与纠错 设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8 种不同的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可 以表示8种不同天气： 000——晴，001——云 010——阴，011——雨 100——雪，101——霜 110——雾，111——雹 其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将 变成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
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3）ARQ的主要缺点：
① 需要双向信道来重发，不能用于单向信道，也不能
用于一点到多点的通信系统。 ② 因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。
③ 在信道干扰严重时，可能发生因不断反复重发而造
成事实上的通信中断。 ④ 不适合要求实时通信的场合，例如电话通信。 （3）反馈校验法（HEC） 接收端将收到的信码原封不动地转发给发送端，并与
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101——阴 110——雨
许用码组
2、检错和纠错 000——晴，011——云 101——阴，110——雨 上面这种编码只能检测错码，不能纠正错码。
例如，当接收码组为禁用码组“100”时，接收端将
无法判断是哪一位码发生了错误，因为晴、阴、雨三者 错了一位都可以变成“100”。 000——晴 101——阴 110——雨
码距均为2
1） 最小码距(d0) ：把某种编码中各个码组之间距离的最 小值。例如，上面的编码的最小码距d0 = 2。
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2） 最小码距d0和检纠错能力的关系 一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种
编码的检错和纠错能力。 ①为检测e个错码，要求最小码距 d0 e + 1 【证】 设一个码组A位于O点。若码组A中发生一个错码， 则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心，以1为半 径的圆上某点，但其位置不会超出此圆。 若码组A中发生两
ACK9
ACK1 接收数据
NAK5
NAK9
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
有错码组
9 12 13
14
有错码组
它只重发出错的数据组，因此进一步提高了传输效率。 2）ARQ的主要优点：——和前向纠错方法相比 ① 监督码元较少即能使误码率降到很低，即码率较高； ② 检错的计算复杂度较低，成本降低； ③ 检错用的编码方法和加性干扰的统计特性基本无关，能 适应不同特性的信道。
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② 拉后ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
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5
6
7
5
6
7
8
9 10 11 9 10 11 12
NAK9
ACK9
ACK1 接收数据
NAK5
ACK5
1
2
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9 10 10 11 11 9 10 11 12
有错码组
有错码组
发送端连续发送数据组，接收端对于每个接收到的数据 组都发回确认(ACK)或否认(NAK)答复。
E S R(mod 2) S R
例如： S： 0 0 1 0 0 R： 1 1 0 0 0 E： 1 1 1 0 0 E的位为“1”，则该位有错； E的位为“0”，则该位无错；
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4、差错控制技术的种类
前向纠错法（FEC） 检错重发法（ARQ） 反馈校验法（HEC） 检错删除 （1）前向纠错法（FEC） ——Forward Error Correction 接收端不仅能在收到信码中发现错误（检错），还能
出现禁用码组，即可判断出错。
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例如：若“000”（晴）中错了一位，即： 001 000（晴） 010 禁用码组 100 接收端在收到禁用码组时，就认为发现了错码。 当发生3个错码时，“000”变成了“111”，它也是禁用 码组，故这种编码也能检测3个错码。 但是这种码不能发现一个码组中的两个错码，因为发 生两个错码后产生的是许用码组。 011——云 000（晴）
道
在发送端，输入的信息码元在编码器中被分组编码
（加入监督码元）后，除了立即发送外，还暂存于缓冲 存储器中。 若接收端解码器检出错码，则由解码器控制产生一个 重发指令。 此指令经过反向信道送到发送端。由发送端重发控制 器控制缓冲存储器重发一次。
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编码器和 缓冲存储器
双 向 信
例如，图中第5组接收数据有误，则在发送端收到第5组
接收的否认答复后，从第5组开始重发数据组。 在这种系统中需要对发送的数据组和答复进行编号， 以便识别。显然，这种系统需要双工信道。
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③ 选择重发ARQ系统
重发码组 发送数据 重发码组
1
2
3
4
5
6
7
5
8
9 10 11
ACK5
9 12 13 14
反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0应满足： d0 e + 1
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② 为了纠正t个错码，要求最小码距d0 2t + 1
图中画出码组A和B的距离为5。码组A或B若发生
不多于两位错码，则其位置均不会超出半径为2以原位 置为圆心的圆。这两个圆是不重叠的。 判决规则为：若接收码组落于以A为圆心的圆上 就判决收到的是码组A，若落于以B为圆心的圆上就判 决为码组B。 这样，就能够纠正两位错码。
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1、信道分类：
按加性干扰引起错误分布规律不同分 随机信道：错码的出现是随机的 信道分类 突发信道：错码是成串集中出现的 混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 2、差错类型： 随机错码：比较平缓，比较均匀 突发错码：突发性、大面积的差错（受外界突发性的影响）
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3、差错图型/图样（Error Pattern） 发的码组： S 收的码组： R 差错码组： E
e = d0 – 1 = 5 – 1 = 4
按照纠错能力公式纠错时，能纠正 2 个错码 d0 2t + 1
0 A 1 2 3 4 5 B
t
d0
汉明距离
t
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但是，不能同时做到即检测4个错码，又纠正2
个错码。
例如，码组A若错了3位，就会被误认为码组B错
了2位造成的结果，从而被错“纠”为B。
这就是说，检错和纠错公式不能同时成立或同时 运用。
0 A 1 2 3 4 5 B
t
d0
汉明距离
t
2018/10/4
为了在可以纠正t个错码的同时，能够检测e个错 码，就需要像下图所示那样，使某一码组（譬如码组 A）发生e个错误之后所处的位置，与许用其他码组 （譬如码组B）的纠错圆圈至少距离等于1，不然将落
解码器
输出缓冲 存储器
信 源
重发控制
信 宿
道
正确时输出
指令产生器
错误时删除
接收端仅当解码器认为接收信息码元正确时，才将 信息码元送给收信者，否则在输出缓冲存储器中删除
接收码元。
当解码器未发现错码时，经过反向信道发出不需重 发指令。发送端收到此指令后，即继续发送后一码组，
发送端的缓冲存储器中的内容也随之更新。
需要双向信道，不能传实时信号（不适合音频、视频， 只适合传数据） ；对性能要求高的数据传输用此类方法。 框图：
信 源
重发控制 编码器和 缓冲存储器
双 向 信 道
解码器
输出缓冲 存储器
信 宿
指令产生器
2018/10/4
编码器和 缓冲存储器
双 向 信
解码器
输出缓冲 存储器
信 源
重发控制
信 宿
指令产生器
纠正错码（纠错），对码要求有纠错功能，即用纠错码，
对码要求高。 不需要反向信道，适用于实时传输； 纠错设备比检错设备复杂。
2018/10/4
（2）检错重发法（ARQ） ——Automatic Repeat Quest（自动重发请求） 接收端在收到的信码中检测出错码时，即通知发送端重
发，直到正确接收到为止。
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1、许用码组和禁用码组 若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如： 000——晴，011——云 101——阴，110——雨 则剩余的码组： 001，010，100，111 禁用码组 （非法码组） 许用码组 （合法码组）
虽然4个许用码组只能传送4种不同的天气，但是接收端
却有可能发现码组中出现一个错码的情况（检错）。
0 A 1 2 3 4 5 B
若错码达到3个，
汉明距离
t
d0
就将落入另一圆上， 从而发生错判。
t
2018/10/4
③ 为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距
d0 e t 1
(e t )
4 个错码，即：
下图所示的例子，图中码组A和B之间距离为5。 按照检错能力公式，最多能检测
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1）3种ARQ（检错重发法）系统
① 停止等待ARQ系统
发送码组
1
2
ACK
3
ACK
3
NAK
4
ACK
5
ACK
5
NAK
6
ACK t
1
接收码组
2
3
有错码组
3
4
5
有错码组
5 t
每发送一组数据后发送端等待接收端的确认(ACK)答复， 然后再发送下一组数据。 当接收数据有误，接收端发回一个否认(NAK)答复，这时， 发送端将重发该组数据。 系统是工作在半双工状态，时间没有得到充分利用， 传输效率较低。
当收到禁用码组“100”时， 若假定错码数不超过两个。
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只能检测出存在错码 而无法纠正错码
3、分组码 将信息码分组，为每组信息码附加若干监督码
的编码。即： 分组码(n)＝信息码(k)＋监督码(r)
注意：监督码仅仅监督本码组中的信息码元。
例如：
000——晴 011——云 101——阴 110——雨
通信原理
第11章 差错控制编码
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11.1 概述
数字信号在传输过程中受到干扰，使信号码元 波形变形，所以传输到接收端可能发生错误判决。 乘性干扰 ——均衡的方法解决 信号 加性干扰 ——合理选择调制、解调； 发送功率；差错控制 纠错码的目的：克服随机差错，牺牲一部分带宽，换取 信噪比的提高，获得误码率的降低。 对语音信号：对纠错要求不高； 对数据信号：对纠错要求特别高；
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传错一位
100
要能够纠正错误，还要增加多余度。 若规定： 000——晴，111——雨 （许用码组） （禁用码组）
001，010，011，100，101，110
则能够检测两个以下错码，或能够纠正一个错码。 分析： 当收到禁用码组“100”时， 纠正为“000”（晴）
若假定仅有一个错码。
原发送信码相比较，如果有错，发送端重发。
需要双向信道。 因为每一组信码都传输2次，所以传输效率很低。
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5、差错控制编码：常称为纠错编码
（1）前向纠错法（FEC）
差错控制技术的种类 （2）检错重发法（ARQ） （3）反馈校验法（HEC） 其中，（1）,（2）两种方法均在接收端识别有无错码， 这是由发送端的信道编码器在信息码元序列中增加一些监 督码元来实现的。 （1）差错控制编码——在信息码元序列中加入“监督码元”。 （2）监督码元： 为了在接收端识别有无错码，通常在发送端需要在信息
码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。
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（3）多余度：监督码元数(n-k) 和总码元数 n 之比：
(n k ) n
例如，若编码序列中平均每两个信息码元就添加 一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。 一般地，增加的监督码元越多（多余度越大）， 检（纠）错能力就越强。
在该纠错圆上从而发生错误地“纠正”。
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A t B t
汉明距离
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1