工程光学第十三章习题解答（全）

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30工程光学 第十三章习题解答
1． 波长nm 500=λ的单色光垂直入射到边长为3cm 的方孔，在光轴（它通过孔中心并垂直方孔平面）附近离
孔z 处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

解： 夫琅和费衍射应满足条件 π<<+1
max
21212)(Z y x k
)(900)(500
21092)(2)(7
2max 2121max 21211m cm a y x y x k Z =⨯⨯==+=+>λλπ
2． 波长为500nm 的平行光垂直照射在宽度为0.025mm 的单逢上，以焦距为50cm 的会聚透镜将衍射光聚焦于
焦面上进行观察，求（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。

解： 2
0sin ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=ααI I
θλπαs i n 22a f y ka kal ⋅=⋅== （1）)(02.010
025.0500
6
rad a
=⨯=
=
∆λ
θ )(10rad d = （2）亮纹方程为αα=tg 。

满足此方程的第一次极大α43.11= 第二次极大α.22= x a k l a θλπαs i n 2⋅⋅==
a
x πλα
θ=sin 一级次极大)(0286.010025.043.1500sin 6rad x x =⨯⨯⨯=
≈ππ
θθ ()mm x 3.141= 二级次极大)(04918.010025.0459.2500sin 6
rad x x =⨯⨯⨯=
≈ππ
θθ ()mm x 59.241= （3）0472.043.143.1sin sin 2
201=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππααI I
01648.0459.2459.2sin sin 2
202=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππααI I
10．若望远镜能分辨角距离为rad 7
103-⨯的两颗星，它的物镜的最小直径是多少？同时为了充分利用望远镜的分辨率，望远镜应有多大的放大率？
解：D λ
θ22.10= )(24.21031055022.17
9m D =⨯⨯⨯=
-- ⨯
-=⨯⨯⨯⨯⨯=
'
'=
Γ9693
10180606060067
πϕ
11． 若要使照相机感光胶片能分辨m μ2线距，（1）感光胶片的分辨率至少是没毫米多少线；（2）照相机
镜头的相对孔径f
D 至少是多大？（设光波波长550nm ）
解：)(50010
21
3
mm N 线=⨯=
- 3355.01490
=≈'N
f D
12． 一台显微镜的数值孔径为0。

85，问（1）它用于波长nm 400=λ时的最小分辨距离是多少？（2）若利用油浸物镜使数值孔径增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）显微镜的放大率应该设计成多大？（设人眼的最小分辨率是1'）
解：（1）)(287.085.0400
61.061.0m NA μλε=⨯==
（2）)(168.045.1400
61.061.0m NA μλε=⨯=='
706.185
.045
.1=='εε
（3）设人眼在250mm 明视距离初观察
)(72.72250180601m y μπ=⨯⨯='
430
168
.072
.72≈='=
y y β 430==Γβ
13． 在双逢夫琅和费实验中，所用的光波波长nm 8.632=λ，透镜焦距cm f 50=,观察到两相临亮条纹间的距离mm e 5.1=，并且第4级亮纹缺级。

试求：（1）双逢的逢距和逢宽；（2）第1，2，3级亮纹的相对强度。

解：(1) λθm d =⋅sin )2,1,0(⋅⋅⋅±±=m 又f
x
=
θsin f d m x λ=∴ f d e λ= )(21.05005
.1108.6326
mm e f
d =⨯⨯==∴-λ )(1a
d
n ⋅=μ 将⎩
⎨⎧==14
1n μ代入得
4
1)(053.04=⇒==
d a mm d a （2）当m=1时 d
λ
θ=1s i n
当m=2时 d
λθ2s i n 2=
当m=3时 d
λ
θ3s i n 3=
代入单缝衍射公式 202)s i n (
β
β
I N I = θλ
π
βs i n a ⋅=
∴ 当m=1时 81.0)4(21)()
(sin sin 2222
201===⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=πππλλπλλπd a d a d a d a I I 当m=2时 405.0)42(122s i n 22
202==⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛=πππd a d a I I 当m=3时 09.04343sin 2203=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛=ππ
I I
15． 一块光栅的宽度为10cm ,每毫米内有500条逢，光栅后面放置的透镜焦距为500mm 。

问：（1）它产生的波长nm 8.632=λ的单色光的1级和2级谱线的半宽度是多少？（2）若入射光线是波长为632.8nm 和波长与之相差0.5nm 的两种单色光，它们的1级和2级谱线之间的距离是多少？
解：)(102500
1
3mm d -⨯==
4105500100⨯=⨯=N 由光栅方程 λθm d =sin 知
3164.0101028
.632sin 631=⨯⨯==-d λθ ，9486.0cos 1=θ
6328.02s i n 2==d
λθ ，774.0cos 2=θ
这里的1θ，2θ确定了谱线的位置 （1）θ
λ
θcos Nd =∆（此公式即为半角公式）
)(1067.69486
.010*******.632cos 6
6
341
1rad Nd --⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
=
∆θλ
θ )(1017.8774
.01021058
.632cos 63
42
2rad Nd -⨯=⨯⨯⨯⨯=
=
∆θλ
θ )(1034.33
11mm f dl -⨯=∆=θ )(1008.43
22mm f dl -⨯=∆=θ
（2）由公式 θ
λcos d m
f d dl ⋅
=（此公式为线色散公式） 可得
)(131.09486
.01021
500105.0cos 13611mm d f d dl =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅
⋅=--θλ
)(32.0774
.01022
500105.0cos 23622mm d f d dl =⨯⨯⨯⨯⨯=⋅
⋅=--θλ
16． 设计一块光栅，要求：（1）使波长nm 600=λ的第二级谱线的衍射角
30≤θ，（2）色散尽可能
大，（3）第三级谱线缺级，（4）在波长nm 600=λ的第二级谱线处能分辨0.02nm 的波长差。

在选定光栅的参数后，问在透镜的焦面上只可能看到波长600nm 的几条谱线？
解：设光栅参数 逢宽a ，间隔为d
由光栅方程 λθm d =s i n
nm nm
m d 24002
16002sin =⨯≥=
θ
λ
由于θλθcos d m d d = 若使 λθd d 尽可能大，则d 应该尽可能小 nm d 2400=∴ ⎪⎭⎫
⎝⎛=n m a d nm d a 80031==∴
1500002
.02600
=⨯=
∆⋅=
⇒=∆λλ
λ
λm N mN
4600
2400sin ===
λ
θ
d m ∴ 能看到5条谱线
19． 有多逢衍射屏如图所示，逢数为2N ，逢宽为a ，逢间不透明部分的宽度依次为a 和3a 。

试求正入射情况下，这一衍射的夫琅和费衍射强度分布公式。

解：将多逢图案看成两组各为N 条，相距d=6a
1λθm d =⋅=∆sin
2
222
0sin sin sin )(⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=δδααN I p I θλπαs i n a = 其中αθλ
π
θλπθλπδ12sin 12sin 62sin 2=⋅=⋅⨯==a a d
代入得2
206sin 6sin sin )(⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααN I p I
两组光强分布相差的光程差θsin 2a =∆' θλ
π
δsin 4a =
'
∆'⋅++=k I I I I I cos 22121
()22c o s )(4c o s 1)(2δ'⋅=∆'+=p I k p I ⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=θλπs i n 2c o s )(42a p I 将θλπθαsin 2sin a ka ⋅== 及 2
2
06sin 6sin sin )(⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααααN I p I 代入上式
ααααα2cos 6sin 6sin sin 422
2
0⎭
⎫⎩⎨⎧⎪
⎭⎫
⎝⎛=N I I [解法I] 按照最初的多逢衍射关系推导
设最边上一个单逢的夫琅和费衍射图样是：⎪⎭
⎫
⎝⎛=ααsin )(~
A p E 其中θλ
π
αsin 2⋅==
a kma 1d 对应的光程差为： θsin 11d =∆ αλ
π
θδ42s i n
21=⨯⋅=a 2d 对应的光程差为： θsin 22d =∆ αλ
π
θδ82s i n
42=⨯⋅=a
[∑+-⋅⋅⋅+++⎪⎭
⎫
⎝
⎛=ααααα12)1(exp )24(exp )12(exp 1sin )(~
N i i i A p E ()]αααα12)1(exp )24(exp )12(exp 1)4(exp -+⋅⋅⋅+++N i i i i
[])12(exp 1)]12(exp[1)4(exp 1sin αααααi iN i A --⋅
+⎪⎭
⎫
⎝⎛=
a
2 []⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪
⎭⎫
⎝⎛--⋅+⎪⎭
⎫
⎝⎛=2)12(exp 2)12(exp 6exp 2)12(exp 2)12(exp 2)12(exp
)4(exp 1sin αααααααααi i i iN iN iN i A
[]ααααααααα6s i n 6s i n )6(e x p )6(e x p )2(e x p )2(e x p )2(e x p
s i n
N i N i i i i A ⋅--⎪⎭⎫
⎝⎛= αααααα)46(e x p 6s i n 6s i n 2c o s s i n
2-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=N i N A 2
2
06sin 2cos sin ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=αααααN I I
[解法II] N 组双逢衍射光强的叠加
设θλ
π
αsin ⋅=
a a d 2= θθs i n 2s i n
⋅=⋅=∆a d αθλ
π
δ4s i n 22=⋅=∆=a k ()δααi A p E e x p
1s i n
)(~+⎪⎭
⎫ ⎝⎛= ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-⎪⎭⎫
⎝⎛=2e x p 2e x p 2e x p
s i n
δδδααi i i A 2e x p 2c o s s i n
2δδααi A ⎪⎭
⎫
⎝⎛=
αααα2e x p 2
c o s s i n
2i A ⎪⎭
⎫
⎝⎛= N 组)(~
p E 相叠加 d=6a θsin 62a =∆
αδ122=
[]∑
-⋅⋅⋅+++=ααα12)1(exp )24(exp )12(exp 1)(~)(~N i i i p E p E αααααα6s i n 6s i n 2
)12(exp 2)
12(exp
)(~)12(exp 1)12(exp 1)(~N i iN p E i iN p E ⋅=--=
αααααα)46(e x p 6s i n 6s i n 2
c o s s i n
2-⎪⎭
⎫
⎝⎛=N i N A 2
2
06sin 2cos sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛⋅=αααααN I I
d
20． 一块闪耀光栅宽260mm ，每毫米有300个刻槽，闪耀角为2177' 。

（1）求光束垂直于槽面入射时，对于波长nm 500=λ的光的分辨本领；（2）光栅的自由光谱范围多大？（3）试同空气间隔为1cm ，精细度为25的法布里∙珀罗标准具的分辨本领和光谱范围做一比较。

解：光栅常数⎪
⎭
⎪
⎬⎫
⨯==⨯=⨯=-)(10333.33001108.73002603
4mm d N （1） 由λγm d =sin 2解得
1310
5003002177sin 2sin 26=⨯⨯'
==
- λ
γ
d m 6410014.1108.713⨯=⨯⨯=⋅=N m A
（2）)(46.3813
500nm nm
m
==
=
∆λ
λ （3）λm nh =2
46
104500
10102⨯=⨯⨯=
m 5
4
107.92510497.097.0⨯=⨯⨯⨯==ms A )(0125.010
12500
5002)(7
2
.nm h
R S =⨯⨯⨯=
=
∆λλ 结论：此闪耀光栅的分辨率略高于F-P 标准量，但其自由光谱区范围远大于F-P 标准量。

21． 一透射式阶梯光栅由20块折射率相等、厚度相等的玻璃平板平行呈阶梯状叠成，板厚t=1cm ，玻璃折射率n=1.5，阶梯高度d=0.1cm 。

以波长nm 500=λ的单色光垂直照射，试计算（1）入射光方向上干涉主极大的级数；（2）光栅的角色散和分辨本领（假定玻璃折射率不随波长变化）。

解：（１）λθm d t n =+-=∆sin )1( （＊）
将5.1=n cm t 1= cm d 1.0= 0=θ 代入上式得： 4
10=m （２）对（＊）式两边进行微分：
λθθ
d m d d ⋅=⋅⋅c o s ()
mm rad d m d m d d 2741010
1.010cos -=⨯=≈=θλθ 5102⨯==∆=
mN A λ
λ
23． 在宽度为b 的狭逢上放一折射率为n 、折射棱角为α的小光楔，由平面单色波垂直照射，求夫琅
和费衍射图样的光强分布及中央零级极大和极小的方向。

解：将该光楔分成N 个部分，近似看成是一个由N 条逢构成的阶梯光栅。

则逢宽为N b ，间隔为N b。

由多逢衍射公式：2
202sin 2sin sin ⎥
⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=δδααN I I 其中0I 为一个N
b
宽的逢产生的最大光强值
θλπαs i n 2⋅⋅==
N
b
k l a ［a 为逢宽，θ为衍射角］
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=
∆=
θαλπλ
π
δs i n )1(22N b N b n []θαλπs i n )1(2+-⋅=
n N
b
代入上式得：[][]⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+-⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⋅⋅=θαλπθαλπθλπθλπsin )1(sin sin )1(sin sin sin sin 2
0n N b n b N b N b I I 当∞→N 时
0s i n →⋅θλπN
b
1s i n s i n s
i n 2
→⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡⋅⋅∴θλπθλπN b
N
b [][]θαλπθαλπs i n )1(s i n )1(s i n
+-≈+-n N
b n N b
[][]2
02
s i n )1(s i n )1(s i n ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡
+-+-=θαλπ
θαλ
πn b n b I N I 单逢衍射发生了平移。