高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示课件北师大版选修2_1

3．已知 A 点的坐标是(－1，－2,6)，B 点的坐标 是(1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量O→A与O→B的 夹角是________．
解析： ∵O→A＝(－1，－2,6)，O→B＝(1,2，－6) ∴O→A·O→B＝－1－4－36＝－41 ∴|OA|＝ －12＋－22＋62＝ 41
则 C 的坐标是( )
A.－56，－45，－85
B.65，－45，－85
C.－56，－45，85
D.65，45，85
解析： 由 A(3,4,5)，B(0,2,1)，得A→B＝(－3，－2， －4) ∴25A→B＝－65，－45，－85 ∴O→C＝－56，－45，－85 答案： A
2．a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果 a 与 b 为共
线向量，则( )
A．x＝1，y＝1
B．x＝12，y＝－12
C．x＝16，y＝－32
D．x＝－16，y＝32
解析： ∵a＝(2x,1,3)与 b＝(1，－2y,9)共线， 故有21x＝－12y＝39， ∴x＝16，y＝－32.故选 C. 答案： C
a⊥b
_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0___
|a|
__a_21_＋〈a，b〉
a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22＋__a_23__b_21_＋__b_22_＋__b_23 ___
[强化拓展] (1)空间两个向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的 和(差)． (2)实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对 应坐标的乘积． (3)如果向量 b 与三个坐标平面都不平行时(即： x2y2z2≠0)，空间向量 a∥b 的充要条件可以表达成 为 a∥b⇔xx12＝yy12＝zz12.
解析： a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2， －2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－ 1)＋(－2)×4＝－7； (－2a)·b＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8.
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1.
(2)假设存在 x、y∈R 满足条件，则由已知可得
B→C ＝(－2，－1,2)，(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，
|OB|＝ 12＋22＋－62＝ 41
∴cos〈O→A，O→B〉＝
→→ OA·OB →→
＝
|OA||OB|
－414141＝－1.
∵O→A与O→B夹角范围[0，π]，∴夹角是 π.
答案： π
4．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋ b，a－b，a·b，(－2a)·b，(a＋b)·(a－b)．
3．3 空间向量运算的坐标表示
学课前预习学案
1．我们在必修4中已经学习了平面向量运算的坐 标表示，设a＝(1,2)，b＝(－2,3)，那么 (1)a－2b＝？ (2)a·b＝？
[提示] (1)a－2b＝(1,2)－(－4,6)＝(5，－4) (2)a·b＝1×(－2)＋2×3＝4
2．一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修 队员紧急赶到，从三个方向拉动巨石，这三个力为 F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2| ＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N. (1)以石头作为原点 F1，F2，F3 的方向作为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 F1，F2， F3 的坐标分别是什么？合力 F1＋F2＋F3 的坐标是 什么？ (2)你能求出合力的大小吗？
[提示] (1)F1＝(3 000,0,0)，F2＝(0,2 000,0)，F3＝ (0,0,2 000 3)，F1＋F2＋F3＝(3 000,2 000,2 000 3) (2)|F1＋F2＋F3|＝5 000(N)．
空间向量运算的坐标表示 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量运算 a＋b a－b λa a·b a∥b
坐标表示 ___(_a_1＋__b_1_，__a_2_＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)___ ___(a__1－__b_1_，__a_2_－__b_2_，__a_3－___b_3)___
___(_λa_1_，__λ_a_2_，__λ_a_3_) ___ __a_1_b_1＋___a_2b_2_＋__a_3_b_3_ __a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝___λb__3
讲课堂互动讲义
空间向量的坐标运算 已知空间三点 A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－ 3,0,4)，
(1)求 A→B ＋A→C ，A→B －A→C ，A→B ·A→C . (2)问是否存在实数 x，y，使得 A→C ＝xA→B ＋yB→C 成
立，若存在，求出 x，y 的值．
[思路导引] 首先将空间向量用坐标表示出来，然 后灵活运用空间向量坐标运算公式，对于由向量等 式求参数的问题，可先把向量用坐标形式设出来， 然后通过建立方程组，解方程的方法求出参数值．
[边听边记] A→B ＝(1,1,0)，A→C ＝(－1,0,2)， (1)A→B ＋A→C ＝(1,1,0)＋(－1,0,2)
＝(1－1,1＋0,0＋2)＝(0,1,2)，
A→B －A→C ＝(1,1,0)－(－1,0,2)
＝(1－(－1)，1－0,0－2)＝(2,1，－2)，
A→B ·A→C ＝(1,1,0)·(－1,0,2)
(4)在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2， b2，c2)，则 ①A→B＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)； ②dAB＝|A→B|＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
1．已知 A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若O→C＝25A→B，