北师大版九年级数学上册 相似三角形的判定与性质 讲义(Word版,无答案)

相似三角形的判定与性质
知识点一：相似三角形的判定
【方法点拨】1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
【例1】已知，如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：
（1）△BAF∽△BCE．
（2）△BEF∽△BCA．
【变式训练3】如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为AB 的中点，
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
【变式训练4】如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3 ＝∠4．求证：（1）△ABD∽△CBE；（2）△ABC∽△DBE．
知识点二：相似三角形的性质
相似三角形的性质：(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角
形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角
形周长的比等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【例1】如图，在△ABC 中，若点D、E 分别是AB、AC 的中点，S△ABC=4，则S△ADE=（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式训练1】如图，在△ABC 和△DBE 中，
5
3
AB BC
DB BE
==，且∠DBA＝∠CBE．
（1）若△ABC 与△DBE 的周长之差为10cm，求△ABC 的周长；
（2）若△ABC 与△DBE 的面积之和为170cm2，求△DBE 的面积．
【变式训练2】如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE ＝1：3，求S△DOE：S△AOC 的值．
相似与投影的应用
1. 相似三角形的应用
【例1】如图，身高1.6 米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2 米，BC=8 米，则旗杆的高度是米.
【变式训练1】如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
【变式训练2】随着人们对生活环境的要求逐渐提高，环境保护问题受到越来越多人的关注，环保宣传也随处可见．如图，小云想要测量窗外的环保宣传牌AB 的高度，她发现早上阳光恰好从窗户的最高点C 处射进房间的地板F 处，中午阳光恰好从窗户的最低点处射进房间的地板E 处，小云测得窗户距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF ＝3m．请根据以上测量数据，求环保宣传牌AB 的高度．
2. 图形的位似
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤
注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图
形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图
形）
③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
【例1】如图，△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，
6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）
（1）画出△ABC 向下平移5 个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1 的坐标；
（2）以点O 为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似比为1：2，直接写出点C2 的坐标和△A2B2C2 的面积．
【变式训练1】在坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1；
（2）以M 点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1 按照2：1 放大后的位似图形△A2B2C2；
（3）△A2B2C2 面积为．（直接写出答案）
【变式训练2】在如图的方格中，∆OAB 的顶点坐标分别为O(0, 0) 、A(-2, -1) 、B(-1,-3) ，△O1 A1B1 与∆OAB 是关于点P 为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P 的位置，并写出点的坐标及△O1 A1B1 与∆OAB 的相似比；（2）以原点O 为位似中心，在y 轴的左侧画出∆OAB 的一个位似△OA2 B2 ，使它与∆OAB 的位似比为2 :1，并写出点B 的对应点B2 的坐标；
中的对应点M2 的坐标．。