函数的单调性与导数 说课稿 教案 教学设计

导数在研究函数中的应用
一、教学目标：
知识与技能：
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
过程与方法：
能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
情感、态度与价值：
让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.
二、教学重点、难点
重点：掌握函数的单调性与导数的关系．
难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
（一）温故知新
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y ＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
（二）新知探究
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系
思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1
x2<0，y是减函数．
小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．
思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
例1已知导函数f′(x)的下列信息：
当1<x<4时，f′(x)>0；
当x >4，或x <1时，f ′(x )<0；
当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0.试画出函数f (x )图象的大致形状． 解 当1<x <4时，f ′(x )>0，可知f (x )在此区间内单调递增； 当x >4，或x <1时， f ′(x )<0，可知f (x )在这两个区间内单调递减；
当x ＝4，或x ＝1时，f ′(x )＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f (x )图象的大致形状如图所示．
反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状．
解 f ′(x )图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一． 例2 求下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(2)f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ；(4)f (x )＝3tx －x 3
单调递减区间是(－3,2)．
(2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π) (3)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2
x ＝2·3x 2－1x .
令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >3
3.
又∵x >0，∴x >3
3.令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x
<0，
解得x <－
33或0<x <33.又∵x >0，∴0<x <33
. ∴f (x )的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，3
3
)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2，
∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数的单调递增区间是[－t ，t ]． 令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，
函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
当t >0时，函数的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．
综上所述，当t ≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；
当t >0时，函数的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是
(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x .
又∵x >0，∴x >
22，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2
2，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－
22或0<x <22，又∵x >0，∴0<x <2
2
， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭
⎫
0，
22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．
由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－1
3
<x <1，
故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1
3
，1)．
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
例3如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
解(1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.
反思与感悟通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()
【答案】 D
（三）当堂达标
1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1
e ，6上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1
e ，6上是减函数 【答案】 A
【解析】 ∵f ′(x )＝1＋1
x
>0，∴函数在(0,6)上单调递增．
2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
【答案】 D
【解析】 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知D 正确．
3．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A
【解析】 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，
选A.
4．函数y ＝1
2x 2－ln x 的单调递减区间是( )．
A ．(0,1)
B ．(0,1)∪(－∞，－1)
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，＋∞)
【答案】 A
5．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为 6x －y ＋7＝0.
(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．
【解析】 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .
由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0， 知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩
⎪⎨⎪⎧
2b －c ＝－3b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.
(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.
故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)． 6．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；
(2)讨论函数f (x )的单调性．
(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x ) <0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；
当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 五、小结。