数学

福建省莆田市2015届中考数学模拟试卷（5月份）
一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题給出的四个选项中有且只有一个选项是符合要求的.答对得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1．（4分）下列各数中，比﹣2小的是（）
A．﹣1 B．0C．﹣3 D．π
2．（4分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于点D，∠CDE=150°，则∠C为（）
A．120°B．150°C．135°D．110°
3．（4分）某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．（4分）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是66，67，78，78，79，79，79，80，则这8人体育成绩的中位数是（）
A．77 B．78 C．78.5 D．79
5．（4分）若a、b为实数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么下列正确的是（）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
6．（4分）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）
A．12 B．14 C．16 D．18
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA的值是（）
A．B．2C．D．
8．（4分）若点A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）都在二次函数y=mx2（m＜0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
9．（4分）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）
A．3B．4C．3D．4
10．（4分）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得n=x+y+xy，则称n为“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数为（）A．1B．2C．3D．4
二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）=．
12．（4分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是事件（选填“随机”，“必然”或“不可能”）．
13．（4分）“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为．
14．（4分）若a x=2，a y=3，则a2x+y=．
15．（4分）已知圆锥的母线长是6cm，侧面积是12πcm，则圆锥侧面展开图的圆心角为．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN的最小值是．
三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：（+π）0﹣4sin60°﹣|4﹣2|．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）2﹣2a（b+1）﹣a2b÷b，其中a=，b=﹣2．
19．（8分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．（8分）在“中国莆田房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共200辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
（1）参加展销的D型号轿车有辆；
（2）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售的成交率最高？
（3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，把△ACD绕着A点顺时针旋转，使得AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE、CB相交于M点，延长EB、AD相交于N点．求证：AM=AN．
22．（8分）小红为班级数学课题学习小组的同学每人购买一盒学习用品，商场给出如下优惠条件：如果一次性购买不超过10盒，单价为3.8元；如果一次性购买多于10盒，那么每多一盒，所有的单价都降低0.2元，但不得低于3元；小红一次性购买这种学习用品付了40.8元．请问她购买了多少盒这种学习用品？
23．（8分）如图，直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=交于A（3，）、B（﹣5，a）
两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，判断四边形CBED的形状，并说明理由．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD=2，AB⊥CD于E点，延长AB到F，使得
BF=OB，连接CF，若CF是⊙O的切线．求：⊙O的半径．
25．（10分）（1）如图1，若点M、N分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，且∠MAN=45°，判断S△AMN、S△ABM、S△ADN之间的等量关系，并加以证明；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=45°且AD⊥BC于D，若BD=3，CD=10，求：
S△ABC．
26．（12分）抛物线C1：y=（x﹣m）2+m+1（m＞0）的顶点为A，抛物线C2开口向下且顶点B在y轴上，若A、B两点关于点P（1，2）对称．
（1）求m的值；
（2）若抛物线C2与x轴的正半轴的交点是C，当△ABC为直角三角形时，求抛物线C2的解析式．
福建省莆田市2015届中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、精心选一选：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题給出的四个选项中有且只有一个选项是符合要求的.答对得4分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分. 1．（4分）下列各数中，比﹣2小的是（）
A．﹣1 B．0C．﹣3 D．π
考点：实数大小比较．
专题：应用题．
分析：根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
解答：解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，
分析选项可得，只有C符合．
故选C．
点评：本题考查实数大小的比较，是基础性的题目，比较简单．
2．（4分）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，且交CD于点D，∠CDE=150°，则∠C为（）
A．120°B．150°C．135°D．110°
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB 的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．
解答：解：∵直线AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，
∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，
∴∠ABD=30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，
∵AB∥CD，
∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．
故选A．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．3．（4分）某种零件模型如图，该几何体（空心圆柱）的俯视图是（）
A．B．C．D．
考点：简单组合体的三视图．
分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：由上向下看空心圆柱，看到的是一个圆环，中间的圆要画成实线．
故选：D．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．（4分）在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是66，67，78，78，79，79，79，80，则这8人体育成绩的中位数是（）
A．77 B．78 C．78.5 D．79
考点：中位数．
分析：先把这些数据从小到大排列，再找出最中间的两个数的平均数，即可得出答案．解答：解：把这些数据从小到大排列为：66，67，78，78，79，79，79，80，最中间的数
是78，79的平均数，即=78.5，
则这8人体育成绩的中位数是78.5；
故选C．
点评：此题考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
5．（4分）若a、b为实数，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，那么下列正确的是（）
A．a+b＜0 B．a+b=0 C．a+b＞0 D．以上都不对
考点：绝对值．
分析：根据题意取a=2，b=﹣3，求出a+b=﹣1，再比较即可．
解答：解：∵|b|＞|a|，且a＞0，b＜0，
∴取a=2，b=﹣3，
∴a+b=﹣1，
故选A．
点评：本题有理数的大小比较的应用，采取了取特殊值法．
6．（4分）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）
A．12 B．14 C．16 D．18
考点：三角形中位线定理．
分析：根据三角形中位线定理，可得ED=FG=BC=4，GD=EF=AO=3，进而求出四边
形DEFG的周长．
解答：解：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED=BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED=FG=BC=4，
同理GD=EF=AO=3，
∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
7．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA的值是（）
A．B．2C．D．
考点：锐角三角函数的定义．
分析：根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据余弦函数的定义，可得答案．
解答：解：由勾股定理，得
AB=BC．
由余弦函数的定义，得
cosA===，
故选：D．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出BA与BC的关系，再利用余弦函数的定义．
8．（4分）若点A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）都在二次函数y=mx2（m＜0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）
A． c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离对称轴的远近得到a、b、c的大小关系．
解答：解：∵二次函数y=mx2（m＜0）
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
而抛物线开口向下，
∴b＞a＞c；
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
9．（4分）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）
A．3B．4C．3D．4
考点：垂径定理；勾股定理．
分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠D PB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选：C．
点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
10．（4分）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得n=x+y+xy，则称n为“好数”，例如：3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数为（）A．1B．2C． 3 D． 4
考点：有理数的混合运算．
专题：新定义．
分析：根据题意，由n=x+y+xy，可得n+1=x+y+xy+1，所以n+1=（x+1）（y+1），因此如果n+1是合数，则n是“好数”，据此判断即可．
解答：解：根据分析，
∵8=2+2+2×2，
∴8是好数；
∵9=1+4+1×4，
∴9是好数；
∵10+1=11，11是一个质数，
∴10不是好数；
∵11=2+3+2×3，
∴11是好数．
综上，可得
在8，9，10，11这四个数中，“好数”有3个：8、9、11．
点评：（1）此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右
的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
（2）此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n+1是合数，则n是“好数”．
二、细心填一填：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
11．（4分）=5．
考点：算术平方根．
分析：根据开方运算，可得一个正数的算术平方根．
解答：解：=5，
故答案为：5．
点评：本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．
12．（4分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是随机事件（选填“随机”，“必然”或“不可能”）．
考点：随机事件．
分析：根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．
解答：解：任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是随机事件，
故答案为：随机．
点评：考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
13．（4分）“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为2.5×104．
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将25000用科学记数法表示为2.5×104．
故答案为：2.5×104．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）若a x=2，a y=3，则a2x+y=12．
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
解答：解：∵a x=2，a y=3，
∴a2x+y=a2x•a y，
=（a x）2•a y，
=4×3，
=12．
点评：本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．
15．（4分）已知圆锥的母线长是6cm，侧面积是12πcm，则圆锥侧面展开图的圆心角为120°．
考点：圆锥的计算．
分析：直接利用扇形的侧面积公式计算即可确定本题的答案．
解答：解：设圆心角的度数为n°，根据题意得：
=12π，
解得：n=120，
所以圆心角为120°，
故答案为：120°．
点评：本题考查了圆锥的计算．牢记圆锥的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN的最小值是2．
考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
分析：首先利用菱形的性质和勾股定理求出菱形对角线BD为6，再作点M关于AC 的对称点M′，连接M′N交BD于P，此时MP+NP有最小值．然后根据勾股定理即可求出MP+NP=M′N=2．
解答：解：∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，
∴AC=6，BD=6，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交BD于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．
∵菱形ABCD关于BD对称，
∴BM′=BM，
又∵，∠ABC=60°，
∴△BMM′是等边三角形，
∴MM′=BM=AB﹣AM=6﹣2=4，
∵AB=AD，AM=AN，
∴MN∥BD，
∴===，
∴MN=×6=2，
∵MM′⊥BD，MN∥BD，
∴MM′⊥MN，
∴M′N==2
∴MP+NP=M′N=2，即MP+NP的最小值为2．
故答案为2．
点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质和勾股定理的运用，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
三、耐心做一做：本大题共10小题，共86分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（8分）计算：（+π）0﹣4sin60°﹣|4﹣2|．
考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
解答：解：原式=1﹣4×﹣4+2=﹣3．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：（a+b）2﹣2a（b+1）﹣a2b÷b，其中a=，b=﹣2．
考点：整式的混合运算—化简求值．
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答：解：原式=a2+2ab+b2﹣2ab﹣2a﹣a2
=b2﹣2a，
当，b=﹣2时，原式=．
点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
19．（8分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
分析：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
解答：解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
﹣11x≥11，
x≤﹣1，
在数轴上表示不等式的解集为：．
点评：本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，能求出不等式的解集是解此题的关键，难度适中．
20．（8分）在“中国莆田房•车生活文化节”期间，某汽车经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共200辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50%，其它型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
（1）参加展销的D型号轿车有50辆；
（2）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售的成交率最高？
（3）若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出A、B、C、D四种型号轿车的发票（一车一票）放到一起，从中随机抽取一张，求抽到A型号轿车发票的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．
分析：（1）根据展销总量乘以D类所占的百分比，可得答案；
（2）根据各类的成交量比上各类展销量，可得成交率，根据有理数的大小比较，可得答案；（3）根据A类的成交量比上总成交量，可得答案．
解答：解：（1）参加展销的D型号轿车有200×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=50（辆）
（2）A类的成交率，B类的成交率，D类的成交率，C类的成交率，
∵＞，
∴A型号的轿车销售的成交率最高．
（3）总成交量45+25+20+30=120，A类成交量的概率；
D类所占的百分比：1﹣35%﹣20%﹣20%=35，C类的展销量200×20%=40（辆），
C类的成交量40×50%=20，
补充如图：
．
点评：本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，把△ACD绕着A点顺时针旋转，使得AC与AB重合，点D落在点E处，延长AE、CB相交于M点，延长EB、AD相交于N点．求证：AM=AN．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：由旋转可以得出∠AEM=∠ADM=90°，就可以得出∠M=∠N，∠MAB=∠NAB就可以得出△ABM≌△ABN，由全等三角形的旋转就可以得出结论．
解答：证明：∵AB=AC，AD⊥BC于D点，
∴∠ACD=∠ABD，∠CAD=∠BAD，∠ADC=ADB=90°．
∵△AEB是由△A DC旋转得到的，
∴△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=90°，∠MAB=∠CAD．
∴∠AEB=∠ADB=90°．∠MAB=∠NAB
∴∠M+∠MAD=90°，∠N+∠EAN=90°，
∴∠M=∠N．
在△ABM和△ABN中
，
∴△ABM≌△ABN（AAS），
∴AM=AN．
点评：本题考查了旋转的旋转的运用，直角三角形的旋转的运用，全等三角形的判定及旋转的运用，解答时证明三角形全等是关键．
22．（8分）小红为班级数学课题学习小组的同学每人购买一盒学习用品，商场给出如下优惠条件：如果一次性购买不超过10盒，单价为3.8元；如果一次性购买多于10盒，那么每多一盒，所有的单价都降低0.2元，但不得低于3元；小红一次性购买这种学习用品付了40.8元．请问她购买了多少盒这种学习用品？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：根据题意表示出购买这种学习用品的数量，进而利用单价×数量=总钱数，进而求出即可．
解答：解：设小红购买x盒学习用品．
根据题意得：x[3.8﹣0.2（x﹣10）]=40.8
解得：x1=12，x2=17
当x=12时，单价为：3.8﹣2×0.2=3.4，
当x=17时，单价为：3.8﹣7×0.2=2.4＜3（不合题意舍去），
所以小红购买了12盒学习用品．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．23．（8分）如图，直线AB与x轴交于点C，与双曲线y=交于A（3，）、B（﹣5，a）
两点，AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E，判断四边形CBED的形状，并说明理由．
考点：菱形的判定；反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
解答：解：四边形CBED是菱形．
∵双曲线过A（3，），
∴k=20．
把B（﹣5，a）代入，
得a=﹣4．
∴点B的坐标是（﹣5，﹣4）．
∵AD⊥x轴于D，
∴D（3，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，将A（3，）、B（﹣5，﹣4）代入得：
解得：．
∴直线AB的解析式为：．
∴点C的坐标是（﹣2，0）．
∵BE∥x轴，∴点E的坐标是（0，﹣4）．
而CD=5，BE=5，且BE∥CD．
∴四边形CBED是平行四边形．
在Rt△OED中，ED2=OE2+OD2，
∴ED==5，
∴ED=CD．
∴□CBED是菱形．
点评：本题考查了反比例函数综合题及菱形的判定的知识．解答此题时，利用了反比例函数图象上点的坐标特征．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD=2，AB⊥CD于E点，延长AB到F，使得
BF=OB，连接CF，若CF是⊙O的切线．求：⊙O的半径．
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
分析：首先证得△COF∽△EOC，再由BF=OB，得出OE与OC的比，进一步求得CE，在
直角三角形OEC中利用勾股定理求得答案即可．
解答：解：∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°，
∴∠OCF=∠OEC，
∵∠COF=∠EOC
∴△COF∽△EOC，
∴
∵，
∴，
∴，
∵AB⊥CD于E，
∴，
设OE=2x，则OC=3x．
∵OC2=OE2+CE2，
∴，
∴⊙O的半径为3．
点评：此题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂径定理，注意结合图形，灵活利用数据解决问题．
25．（10分）（1）如图1，若点M、N分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，且∠MAN=45°，判断S△AMN、S△ABM、S△ADN之间的等量关系，并加以证明；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=45°且AD⊥BC于D，若BD=3，CD=10，求：
S△ABC．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：（1）如图1，在CD上截取DE=MB，连接AE由正方形的性质就可以得出
Rt△ABM≌Rt△ADE，就可以得出AM=AE，∠DAE=∠BAN，进而得出△ANM≌△ANE就可以得出结论；
（2）以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ=BD，就可以得出△ABD≌△AQF，得出∠CAQ=45°，∠BAC=∠CAQ，就有△BAC≌△QAC，从而得出BC=CQ=13，设AD=x，则QE=x ﹣3，CE=x﹣10．由勾股定理就可以求出x的值，得出AD的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．
解答：解：（1）如图1，在CD上截取DE=MB，连接AE．
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=AD，∠ABC=∠D=90°
在△ABM和△ADE中
，
∴△ABM≌△ADE（SAS），
∴∠BAM=∠DAE，AM=AE
∵∠MAN=45°
∴∠DAE+∠BAN=45°．
即∠NAE=45°．
在△ANM和△ANE中
，
∴△ANM≌△ANE（SAS），
∴S△AMN=S△AEN．
∵S△ADN=S△AEN+S△ADE，
∴S△ADN=S△ANE+S△ADE=S△AMN+S△ABM；
（2）以AD为边作正方形ADEF，在EF上截取FQ=BD．
在△ABD和△AQF中
，
∴△ABD≌△AQF（SAS），
∴AB=AQ，∠BAD=∠FAQ
∵∠BAC=45°
∴∠BAD+∠DAC=45°
∴∠DAC+∠FAQ=45°
即∠CAQ=45°
∴∠BAC=∠CAQ．
在△BAC和△QAC中
，
∴△BAC≌△QAC（SAS），
∴BC=CQ=BD+CD=13．
设AD=x，则QE=x﹣3，CE=x﹣10．
在Rt△CQE中，∠E=90°
∵CE2+QE2=CQ2
∴（x﹣10）2+（x﹣3）2=132
解得：x1=15，x2=﹣2（不合舍去）
∴AD=15
∴．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
26．（12分）抛物线C1：y=（x﹣m）2+m+1（m＞0）的顶点为A，抛物线C2开口向下且顶点B在y轴上，若A、B两点关于点P（1，2）对称．
（1）求m的值；
（2）若抛物线C2与x轴的正半轴的交点是C，当△ABC为直角三角形时，求抛物线C2的解析式．
考点：抛物线与x轴的交点．
分析：（1）由C1：y=（x﹣m）2+m+1（m＞0），可求得顶点A（m，m+1），由于点B在y轴上，根据对称即可解得m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）根据勾股定理可得AB2=（2﹣0）2+（3﹣1）2=8由抛物线C2的顶点B（0，1）在y轴上得到抛物线C2的解析式为y=ax2+1设点C坐标为（c，0），根据勾股定理得到AC2=（2﹣c）2+32=c2﹣4c+13；BC2=c2+1由于△ABC是直角三角形，进行分类讨论即可求出结果．
解答：解：（1）∵C1：y=（x﹣m）2+m+1（m＞0）
∴顶点A（m，m+1），
∵点B在y轴上，
∴设B（0，b），
又A、B关于点P（1，2）对称，
∴，解得：m=2；
（2）由（1）知A（2，3）、B（0，1）
∴AB2=（2﹣0）2+（3﹣1）2=8
∵抛物线C2的顶点B（0，1）在y轴上
∴抛物线C2的解析式为y=ax2+1
设点C坐标为（c，0），
∴AC2=（2﹣c）2+32=c2﹣4c+13；BC2=c2+1
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC=90°时，AC2=BC2+AB2，
即c2﹣4c+13=（c2+1）+8，解得：c=1
∴C1（1，0），
将点C1坐标代入y=ax2+1得：a+1=0；解得：a=﹣1，
∴抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+1，
②当∠BAC=90°时，BC2=AC2+AB2，
即c2+1=（c2﹣4c+13）+8，解得：c=5，
∴C2（5，0），
将点C2坐标代入y=ax2+1得：25a+1=0，解得：a=﹣，
∴抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+1，
综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+1或y=﹣x2+1．
点评：本题考查了抛物线与X轴的交点，关于点对称，正确理解关于点对称是解题的关键．。