等差数列的定义与通项公式

小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
a1 3d 10 a1 6d 19
解之得：
a1 1 d 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
二、等差数列的判定：
例2、已知数列{an}的通项公式为 an 6n 1 问：这个数列是等差数列吗？若是等差数列 ，其首项与公差分别是多少？
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。
（2）等差数列通项公式： an=a1 +(n-1)d
作业：
1、已知数列an ，满足
a
1
2, a n 1
（1）数列
1 an
a
2 an
n
2
是否是等差数列？说明理由。
（2）求数列 an 通项公式
1 1 1 是等差数列， (n 1) 3 1 (n 1) 3 an a1 an
1 an 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法， 可由复杂变为简单，使问题得以解决.
课堂小结：
（1）等差数列定义：
a
d 或 d （n>1) a a a n1 n n n1
等差数列的定义及通项 公式
复习：
1、等差数列的概念：
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一 项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。 2、等差数列的定义式： d=an-an-1 3、等差数列的通项公式。
an=a1 +(n-1)d
p 0, 即d 0时，等差数列为常数 列， 即在常值函数y q的图像上，是平行 于x轴（或x轴）的直 线上的均匀分布 的一群孤立的点
公差d与等差数列单调性的关系：
（1）当d>0时， {an}是单调增数列； （2）当d<0时， {an}是单调减数列； （3）当d=0时， {an}是常数列。
4 1 (n 1). 记 bn an1 an 2
（Ⅰ）求证：数列 {bn } 是等差数列 ； （Ⅱ）求数列 {an } 的通项公式
an1 例 5、 an , a1 1 求数列 an 的通项公式. 3 an1 1
1 3 an1 1 1 1 1 解：取倒数： 则 3 3 an an1 an1 an an1
如何判断一个数列为等差数列
(1)定义法：a n a n 1 d(常数）（n 1) {a n }为等差数列
(2)等差中项法： 2an 1 a n a n 2 (n 1) {a n }为 等差数列
(3)通项法：a n为n的一次函数 {a n }为等差数列
例 3、已知数列 {an }满足a1 4且an 4
例1 在等差数列{an}中，已知
a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .
a12 a1 11d 31
解：由题意得： a5 a1 4d 10
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组， 解之得： a 2
1 d 3
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
an=3n+5 y=3x+5 a1=8，d=3
17 14 11
an=12-2n a1=10，d=-2
10 8 6
y=12-2x
8
1 2 3 4
4
1 2 4
an a1 (n - 1)d dn (a1 d)， 设p d, q (a1 d), 则an pn q
p 0，即d 0时，an是关于n的一次函数， 即（n, an )在一次函数y px q的图像上, 是均匀排开的一群孤点
等差中项
a，A，b为等差， ab 则A为a，b的等差中项且A 2
思考.若在a, b中插入一个数A，使a，A，b成 等差数列，那么A应该满足什么条件？
1、数列1，3，5，7，9，11，13……中7是 那些项的等差中项？ 2、求下列两个数的等差中项： （1）30与18； （2）-13与9。 3、在-1与9之间顺次插入a，b，c三个数， 使这五个数成等差数列，求插入的三个数和 等差数列的公差？