高考数学试卷压轴小题

一、（本大题共15分，每小题5分）
已知函数$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$，求证：对于任意的$x \neq 2$，都有$f(x) + \frac{1}{f(x)} = 4$。

证明：
首先，将函数$f(x)$进行化简，得到：
$$f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)^2}{x - 2} = x - 2$$
因为$x \neq 2$，所以$x - 2 \neq 0$。

接下来，我们证明$f(x) + \frac{1}{f(x)} = 4$：
$$f(x) + \frac{1}{f(x)} = (x - 2) + \frac{1}{x - 2}$$
为了方便计算，我们设$t = x - 2$，那么上式可以写为：
$$t + \frac{1}{t}$$
根据基本不等式，对于任意的正数$t$，都有：
$$t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$$
等号成立当且仅当$t = 1$，即$x - 2 = 1$，解得$x = 3$。

因此，对于任意的$x \neq 2$，都有$f(x) + \frac{1}{f(x)} = 4$。

二、（本大题共15分，每小题5分）
已知函数$y = \ln(x + 1)$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，且$y =
\frac{1}{x}$在区间$(0, +\infty)$上单调递减。

（1）求函数$y = \ln(x + 1) - \frac{1}{x}$的极值。

（2）若存在实数$a$，使得对于任意的$x > 0$，都有$y = \ln(x + 1) -
\frac{1}{x} > a$，求$a$的取值范围。

解答：
（1）首先，求函数$y = \ln(x + 1) - \frac{1}{x}$的导数：
$$y' = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x^2}$$
令$y' = 0$，解得$x = -1$或$x = -\frac{1}{2}$。

因为$x > 0$，所以$x = -\frac{1}{2}$不是函数的定义域内的值，因此$x = -
1$不是函数的极值点。

接下来，考虑$x = 0$和$x \to +\infty$的情况：
当$x \to 0^+$时，$y' \to +\infty$，说明函数在$x = 0$附近是单调递增的；
当$x \to +\infty$时，$y' \to 0$，说明函数在$x \to +\infty$时是单调递减的。

因此，函数$y = \ln(x + 1) - \frac{1}{x}$在$x = 0$处取得极大值，且极大值
为$y(0) = \ln(1) - \frac{1}{0} = -\infty$。

（2）由于函数$y = \ln(x + 1) - \frac{1}{x}$在$x = 0$处取得极大值$-
\infty$，且在$x \to +\infty$时单调递减，所以对于任意的$x > 0$，都有$y > -\infty$。

因此，$a$的取值范围为$(-\infty, -\infty]$。

综上，我们得到了本题的解答。