四川省双流中学高三数学一诊模拟(12月月考)试题 理

双流中学高2014级一诊模拟考试
数学（理科）试题
考生注意：
1.本试题共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试时间120分钟.
2.所有试题的答案都必须写到答题卡相应位置.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．设集合{}{}2,ln ,,A x B x y ==，若{}0A
B =，则y 的值为
A ．0
B ．1
C ．e
D ．1e
2．已知复数2
1z i
=
-+，则 A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z = D ．z 的虚部为1- 3. 中国古代内容丰富的一部数学专著《九章算术》中有如下问题：今有女子擅织，日增等尺，七日织四十九尺，第二日、第五日、第八日所织之和为二十七尺，则第九日所织尺数为
A. 11
B. 13 C ．17 D ．19
4. 图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图， 则该几何体的体积为 A ．
323π
B ．3π
C ．163π
D ．83
π
5．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到准线的距离为 A ．
3
2
B ．2
C ．3
D ．4
6. 已知条件:p k =；条件:q 直线2y kx =+与圆221x y +=相
切. 则p ⌝是q ⌝成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7. 已知b 为如图所示程序框图输出的结果，则二项式6
的展开式的常数项是
A ．20-
B ．540-
C ．20
D ．540
8. 平面直角坐标系中，点()3,1和(),4t 分别在顶点为原点始边为x 轴的非负半轴的角α和
045α+的终边上，则实数t 的值为
A ．
1
2
B ．2
C ．3
D ．8 9．函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=+++><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且()()f x f x -=, 则 A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递增 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 C ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增 D ． ()f x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增
10.在平面直角坐标系中，记抛物线2
y x x =-与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直 线y kx =（0k >)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A
内的概率为
8
27
，则k 的值为 A.1
3
B.23
C.12
D.34
11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为12,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则12e e ⋅的取值范围是（ ）
A ．10,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
12. 定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得()()f x t t f x +=-恒成立，则称()f x 是一个“关于t 函数”.有下列“关于t 函数”的结论：
①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”； ②“关于
1
2
函数”至少有一个零点； ③2()f x x =是一个“关于t 函数”. 其中正确结论的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上． 13．已知向量(),3,(1,2)a m b ==，且//a b ，则a b ⋅的值为 . 14．我校在高三11月月考中约有1000名理科学生参加考试，数学考试成绩()2100,N a ξ
（0a >，满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人 数的60%，则此次月考中数学成绩不低于120分的学生约有 人. 15. 设第一象限内的点(,)x y 满足约束条件260
20x y x y --≤⎧⎨
-+≥⎩
，若目标函数z ax by =+（0,a >
0b >）的最大值为40，则
51
a b
+的最小值为 . 16．,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，4a c +=，sin (1cos )(2cos )sin A B A B +=-，则
ABC ∆面积的最大值为____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 中，266a a +=，n S 为其前n 项和，5353
S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令11211(2),3,n n n n n
b n b T b b b a a -=≥==++
+，若n T m <对一切*n N ∈成立，求最
小正整数m 的值.
18.（本小题满分12分）
如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AC AB ==E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且EF BC ⊥.现沿EF 将BEF ∆折起到PEF ∆的位置，使PF CF ⊥，点D 在PC 上，且
1
2
PD DC =.
（Ⅰ）求证：//AD 平面PEF ； （Ⅱ）求二面角A PC F --的余弦值.
19.（本小题满分12分）
据四川省民政厅报告，2013年6月29日以来，四川省中东部出现强降雨天气过程，局地出现大暴雨. 暴雨洪涝灾害已造成遂宁、德阳、绵阳等12市34县(市、区)244万人受灾，共造成直接经济损失85502.41万元.
适逢暑假，小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成[0,2000]，（2000,4000]，（4000,6000]，（6000,8000],(8000,10000]五组，并作出频率分布直方图（如图）.
（Ⅰ）小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议. 现请你解决下列两个问题：
①若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这2户不在同一分组的概率；
②若从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望.
（Ⅱ）洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的50户居民的捐款情况如下表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
20.（本小题满分12分）
已知圆M ：2
2
2
((0)x y r r +=>，若椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右顶点为圆M
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，与圆M 分别交于
G 、H 两点，点G 在线段AB 上，且||||AG BH =，求圆C 的半径r 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
设函数x a bx x x f ln )(2
-+=
（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是)(x f 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+ 且n N ∈，求n 的值；
（Ⅱ）若对任意[]1,2--∈b , 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围.
▲ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分. 22．（本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程是2
sin 8cos 0ρθθ-=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x
轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xoy . 在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l 过点(2,0)P . （Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）设点Q 和点G 的极坐标分别为()32,
,2,2
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于,A B 两点，求GAB ∆的面积.
23.（本小题满分10分）
已知函数|1|)(-=x x f
（Ⅰ）解不等式()(4)8f x f x ++≥；
双流中学高2014级一诊模拟考试 数学（理科）试题答案及参考评分标准
一、选择题答案：
二、填空题答案：13.
2 14.200 15. 4
三、解答题参考解答及评分标准： 17.（满分12分）
18.（满分12分）注意：第1问可用非向量方法，注意推理.
19. （满分12分）
20．（满分12
分）
21. （满分12分） 解：（Ⅰ）()2a f x x b x '=+-
，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)42
a f
b '=+-. ∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=，
由40
210
a b b ⎧
+-=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1a b ==-. ……………………………………………………2分
∴2
()6ln f x x x x =--,6()21f x x x
'=--
， 令2626
()210,
02x x f x x x x x x
--'=--=>>∴>，
令()0f x '<得02x <<，
所以()f x 在(0,2)上单调递减；在(2,)+∞上单调递增.……4分 故函数()f x 至多有两个零点，其中01(0,2),(2,)x ∈∈+∞，
因为(2)(1)0f f <<，(3)6(1ln 3)0f =-<,2
(4)6(2ln 4)6ln 04
e f =-=>，
所以0(3,4)x ∈，故3n =． ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）令2
()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立，则
2max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)x e ∈有解，
令2
()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可，
由于22()21a x x a
h x x x x
--'=--=，
令2
()2,(1,)x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，
∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ϕϕ>=-，………………………………9分 ①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，
∴()(1)0h x h >=，不符合题意.
② 当10a -<，即1a >时，(1)10.a ϕ=-<2
()2e e e a ϕ=--
若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意. 若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1，e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.
综上，当1a >时，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.…………12分
11
22.（满分10分）注：本题解法较多，请大家多探究！
23.（满分10分）
解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，
4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．
当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5；
当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立；
当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．………………………………………………………4分 所以，不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．………………………………………5分 （Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( b
a )，即|a
b －1|＞|a －b |． ……………………………………………………6分 ∵因为|a |＜1，|b |＜1，
∴|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2
－1)＞0，
所以，|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．……………………………………………10分。