一元二次方程基础讲义

一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：
2
0(0)ax bx c a ++=≠。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项注意：1）只含有一个未知数；2）所含未知数的最高次数是2；3）整式方程。

专题一：一元二次方程定义及一般形式1、下列方程，是一元二次方程的是（）①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③x 2-
1
x
=4，④x 2=0，⑤x 2-
3
x
+3=0A．①②
B ．①④⑤
C ．①③④
D ．①②④⑤
2、方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）
A ．3、2、5
B ．2、3、5
C ．2、﹣3、﹣5
D ．﹣2、3、5
专题二：应用一元二次方程的定义求字母参数的方法3、若关于x 的方程()2m 110
x mx -+-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）
A ．m 1≠.
B ．m 1=.
C ．m 1
≥D ． m 0≠.4、若()2
2
23a a x --=是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（
）A ．0
B ．2
C ．-2
D ．±2
专题三：一元二次方程的根的应用方法韦达定理（根与系数关系）
我们将一元二次方程化成一般式ax 2
+bx+c＝0（a ≠0，Δ≥）之后，设它的两个根是1x 和2x ，
则1x 和2x 与方程的系数a，b，c 之间有如下关系：
1x +2x ＝b a -；1x ∙2x ＝
c a
1、关于x 的一元二次方程240x x m -+=的两实数根分别为1x 、2x ，且1235x x +=，则m 的值为（）
A ．
74
B ．
7
5
C ．
76
D ．0
2、已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（）
A ．-7
B ．0
C ．7
D ．11
3、若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b+6的值为（）
A ．9
B ．3
C ．0
D ．﹣3
专题四：一元二次方程根的判别式的应用方法一元二次方程
20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式：2
4b ac
∆=-0∆>⇔方程有两个不相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程有两个相等的实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点
1、关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（）A ．1
a ≥B ．1a >且5
a ≠C ．1a ≥且5
a ≠D ．5
a ≠2、已知关于x 的一元二次方程2230x kx -+=有两个相等的实根，则k 的值为（）
A ．±
B ．
C ．2或3
D
3、关于x 的一元二次方程x 2-2x -（m -1）=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（
）
A ．0m >且1m ≠
B ．0
m >C ．0m ≥且1
m ≠D ．0
m ≥练习：
1、下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（）
A ．x ﹣1=0
B ．x 2+3x ﹣5=0
C ．x 3+x=3
D ．ax 2+bx+c=0
2、若方程()()2
1
1120m m x m x +--+-=是一元二次方程，则m 的值为（
）
A ．0
B ．±1
C ．1
D ．–1
3、关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x +m 2﹣3m +2＝0的常数项为0，则m 等于（）
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
4、一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值是（）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
5、若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3
2
ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（）
A ．－1或4
B ．－1或－4
C ．1或－4
D ．1或4
6、若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是（）
A ．k≥1
B ．k ＞1
C ．k ＜1
D ．k≤1
7、方程(−2)2−3−B +14
=0有两个实数根，则的取值范围（）
A ．>
52
B ．≤5
2
且≠2
C ．≥3
D ．≤3且≠2
专题五：解一元二次方程
1、直接开平方法：形如
2
()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平
方得x a +=或者x a +=，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。

例一：
32−27=0
23−1
2
=8
练习一：
−2
2
−5=922－16=0
2、配方法：配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
用配方法解一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2
()(0)x m n n +=≥的形式；
【注意】：1）当0n <时，方程无解
2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。

例题二：
练习二：
2+2−2=042＋8r1=0配方法的应用：
一：
二：
三：
3、公式法：用公式法解一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤： 把方程化为一般形式，确定a、b、c 的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); 求出b 2-4ac 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;
如果b 2
-4ac≥0,将a、b、c 的值代入求根公式：2b x a
-±=
最后求出x 1，x 2
例题三：
2−43＋10=0122+12＋18=0
3、因式分解
灵活运用提公因式法，平方差公式和完全平方公式
例题四：
习题四：
4、十字相乘法：
例题五：
练习五：
练习六：
专题六：用一元二次方程解决平均增长率问题
1、某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（）
A ．560（1＋x ）2＝315
B ．560（1－x ）2＝315
C ．560（1－2x ）2＝315
D ．560（1－x 2）＝315
2、某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．48（1﹣x ）2=36
B ．48（1+x ）2=36
C ．36（1﹣x ）2=48
D ．36（1+x ）2=48
3、某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是()
A ．()()2120%1115%x -+=+
B ．()2
115%(1)120%
x ++=-C ．()()2115%1120%
x ++=-D ．()2
120%(1)115%
x -+=+专题七：用一元二次方程解决“每每型”问题
1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定釆取降价措施，调查发现，每件衬衫，每降价1元，平均每天可多销售2件，若商场每天要盈利1200元，每件衬衫应降价（）
A ．5元
B ．10元
C ．20元
D ．10元或20元
2、宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为x 元时，宾馆当天的利润为10890元.则有()
A ．(18020)501089010x x ⎛⎫
+--
= ⎪⎝
⎭
B ．1805050201089010x x -⎛⎫
-
-⨯= ⎪⎝
⎭
C ．180(20)5010890
10x x -⎛
⎫--= ⎪⎝⎭D ．(180)50502010890
10x x ⎛
⎫+--⨯= ⎪⎝
⎭3、一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
专题八：用一元二次方程解决几何图形问题
1、如图，有一张矩形纸片，长10cm ，宽6cm ，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm 2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm ，根据题意可列方程为（
）
A ．10×6﹣4×6x=32
B ．（10﹣2x ）（6﹣2x ）=32
C ．（10﹣x ）（6﹣x ）=32
D ．10×6﹣4x 2=32
2、如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（
）
A ．32×20﹣2x 2＝570
B ．32×20﹣3x 2＝570B ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570
D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝570
3、在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（
）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000
x x --=D ．2653500
x x --=专题九：用一元二次方程解决传播问题
1、某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（）
A ．x (x +1)=1035
B ．x (x -1)=1035
C ．
1
2x (x +1)=1035D ．
1
2
x (x -1)=10353、某校羽毛球队有若干名队员，任意两名队员之间进行一场友谊赛，共进行了36场比赛.如果全队有x 名队员，根据题意下列方程正确的是（）
A ．(1)36
x x -=B ．(1)36
x x +=C ．
(1)
362x x -=D ．
(1)
362
x x +=。