小学奥数4-5-1 长方体与正方体(一).专项练习及答案解析

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
c
b
a H G
F E
D C
B A
①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．
(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)
②长方体的表面积和体积的计算公式是：
长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；
长方体的体积：V abc =长方体．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．
如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．
板块一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
左面
【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后
看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1例题精讲
长方体与正方体（一）
个面．所以共有1112218
+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618
++=(条)．
【答案】8个面，18条棱
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答
【解析】9个面，21条棱．
【答案】9个面，21条棱
【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．
【答案】600
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．
【答案】15000
【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．
【答案】12
【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【关键词】奥林匹克，初赛，10题
【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分
之八．
【答案】百分之八
【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图
中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部
分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．
【答案】120
【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体
的边长是多少厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答
【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2
个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里
面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，
可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长
是3厘米．
【答案】3
【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为
1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1
2
厘米的正方形
小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1
4
厘米，那么最后得到的立体图
形的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，
1 2⨯
1
2
⨯4=1(平方厘米)，
1
4
⨯
1
4
⨯4=
1
4
(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：
816
++4+1+1
4
=
1
29
4
(平方厘米).
【答案】
1 29
4
【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【关键词】小学生数学报
【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；
按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；
按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4
【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；
按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；
按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 图4
【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、
5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】解答
【关键词】迎春杯
【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各
截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表
面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？
【答案】1252
【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下
图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米．
6
8
7
6
6
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：
87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．
也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．
【答案】292
【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可
能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起
见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求. 剩下的体积应是()
33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.
【答案】1107
【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，
每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面
积之和是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增
加的面数．
原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，
6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．
【答案】18
【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，
所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方
米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．
【答案】24
【巩固】一个表面积为2
56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2
cm．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，六年级，初赛
【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2
⨯=．
563168(cm)
【答案】168
【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方
厘米？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．
【答案】600
【例 13】 有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正
方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶
部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘
米，那么n 为多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方
体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．
所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以 (3096362)14421n =-⨯÷=．
【答案】21
【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它
两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.
【答案】502
【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.
设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.
【答案】54
【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分
【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=
【答案】26
【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

涂上红色的
部分，面积是（ ）平方厘米
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】走美杯，3年级，初赛，第12题
【解析】 注意底面放在桌子上，不能被染到。

从上向下看有10个：从左向右看有6个；从
前向后看有7个。

因此被染色的面有()1067236++⨯=个面
【答案】36
【例 18】 用6块右图所示(单位：cm )的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其
中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？
1
2
3
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图⑴的拼接方式新的长方体长为5，宽为
4，高为3，所以表面积为2(343334)266(cm )⨯+⨯+⨯⨯=；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图⑵所示，长为18，宽为2，高为1，所以最大的表面积为2(18118212)2112(cm )⨯+⨯+⨯⨯=
(1)
【答案】112
【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方
体的表面积最小是多少?
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证
10⨯2个7⨯5的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将7⨯5面做底面，而后将10个长方体连排，衔接的面选用3⨯5的面(衔接的面将不能成为表面积)，这
样得到的长方体表面积最大．
同样要想最小，可把7⨯5面做衔接的面，可得到10个长方体的连排，但此时我们还可以再制造出衔接面，如图：此时增加了2个5⨯7的面，减少了10个3⨯7的面，总体来讲表面积减少了．表面积是：2⨯(7⨯15+15⨯10+10⨯7)=650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积．
【答案】650
【例 19】 要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包
后表面积最小，该如何打包？
⑴当 b =2h 时，如何打包？
⑵当 b <2h 时，如何打包？
⑶当 b >2h 时，如何打包？
【考点】长方体与正方体 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈
大表面积越大，图2的正面周长是8h +6b ，图3的周长是12h +4b .两者的周长之差为2（b -2h ）.
当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b <2h 时，按图2打包；当b >2h 时，按图3打包.
图3
图2图1h
b
a
【答案】当b =2h 时，图2和图3周长相等，可随意打包；
当b <2h 时，按图2打包；
当b >2h 时，按图3打包.
图3
图2图1h
b
a
【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：
第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.
第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法.
其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为
1034.
【答案】1034
【例 20】 如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长
方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积
比： ： ： 。

【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第11题
【解析】 体积比为3:8:13
【答案】3:8:13
【例 21】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个
立体图形的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正
方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214++=(平方分米)．
【答案】214
【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、
4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是22212421++=平方米，从上面观
察到的面积是2416=平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是
21416100
⨯+=平方米． 【答案】100
【例 22】 如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则
所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第7题，5分
【解析】 (法1)四个正方体的表面积之和为：2222(1235)6396234+++⨯=⨯=(平方厘
米)，
重叠部分的面积为：22222222213(221)(321)(321)39141440⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)，
所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)．
(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为225334+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．
表面积为()3834252194++⨯=(平方厘米)．
【答案】194
【例 23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角
线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。

当堆积
完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小
正方体？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】希望杯，五年级，复赛，第18题，10分
【解析】 白色正方体的体积占总体积的93.75%，即占整个的1516
，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15，观察可知，每一层黑色正方体有4个，则白色正方体有60个，所以每一层共有64个正方体，则正方体的边长为1，则共有8层，所以一共用了4×8=32个小的黑色的正方体。

【答案】32
【例 24】 边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个
立体图形的表面积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的2倍. 该立体图
形的上下、左右、前后方向的表面面积都是15平方厘米，该图形的总表面积为90立方厘米．
【答案】90
【巩固】按照上题的堆法一直堆到N 层(3N >)，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，
则N 的最小值是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 每增加一层，每一个“大面”就增加到
(1)2
N N +个小面，总表面积是6个“大面”，所以就增加到3(1)N N +个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3(1)N N +是一个完全平方数，N 的最小值是几(3)N >？”因为N 和1N +互质，所以N 和1N +必须有一个是完全平方数，一个是平方数的3倍，但1N +不能是平方数的3倍，因为如果1N +是平方数的3倍，设213,N n +=231N n =-此时N 被3除余2，不可能是完全平方数，所以N 是平方数的3倍，1N +是完全平方数，开始试验： 当2313N =⨯=，不符合题意；
当23212N =⨯=，113N +=，不是完全平方数；
当23327N =⨯=，128N +=，不是完全平方数；
当23448N =⨯=，149N +=，是完全平方数，所以N 的最小值是48，即堆到第48层时，总表面积是完全平方数，为23484984⨯⨯=.
【答案】48
【例 25】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，
求这个立体图形的表面积．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形
的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．
上下面 左右面 前后面
【答案】54
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，初赛，第12 题
【解析】 该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．
该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．
【答案】46
【例 26】 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个
长宽为1厘米高为3厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图
形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体
图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积．
例：
侧
前上
侧面所看到的图形
前面所看到的图形上面所看到的图形
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 从前面看到的和从侧面看到的图形都只有3层，说明叠成的图形只有3层． 从上面看到的图形中可以确定2个高为3厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1层；从而可以确定另一个高为3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示．
从上面和下面看到的形状面积都为9平方厘米，共18平方厘米；
从两个侧面看到的形状面积都为7平方厘米，共14平方厘米；
从前面和后面看到的形状面积都为6平方厘米，共12平方厘米；
隐藏着的面积有2平方厘米．
一共有181412246
+++=(平方厘米)．
【答案】46
【例27】将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【关键词】清华附中，培训题
【解析】长：3+1+1=5厘米；宽：1+1+1=3厘米；高：1+1+1=3厘米；
所以原长方体的表面积是：（3⨯5+3⨯5+3⨯3）3⨯2=78平方厘米．
【答案】78
【例28】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】44(1234)456
⨯++++⨯=(平方米)．
【答案】56
【例29】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且
该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个
数至少是________．
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为22228⨯+⨯=，
它的每个侧面的面积应该超过()39847.75-÷=．
最底层的正方体的单个侧面面积为224⨯=，往上依次为2，1，12，14
，…… 前五层正方体的单个侧面面积和为114217.7524
++++=， 所以要想超过7.75，至少应该是6个．
【答案】6
【例 30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包
括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体
比有两面涂上红色的小正方体多______ 块．
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【解析】 三面涂上红色的小正方体有：425428⨯+⨯=个，两面涂上红色的小正方体有：
341416⨯+⨯=个，
所以三面涂红色的比两面涂红色的多281612-=块．
【答案】12
【例 31】 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图
1所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了 块木块．
图1
图2
【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9题
【解析】 这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响,认为图2中每一格都
要至少放一块．其实,有些格不放,看起来也是这样的．如下图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23
【答案】23块
【例32】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．
图2图3
【考点】长方体与正方体【难度】4星【题型】填空
【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7题
【解析】这道题很多同学认为答案是31块．这是受思维定势的影响，认为图2中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如图5，带阴影的5块不
放时，小正方体块数最少，为26块．
图5
【答案】26块
【例33】右图是456
⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答
【解析】三面涂红色的只有8个顶点处的8个立方体；
两面涂红色的在棱长处，共(42)4(52)4(62)436
-⨯+-⨯+-⨯=块；
一面涂红的表面中间部分：(42)(52)2(42)(62)2(52)(62)252
-⨯-⨯+-⨯-⨯+-⨯-⨯=块．【答案】52
【例34】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的
取值是________．
【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空
【解析】沿着长边等距离切5刀，可切为516
+=
+=块；沿着宽边等距离切4刀，可切为415块；沿着高边等距离切n刀，可切为1
n+块．由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有1面(或2面、或3面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共。