新苏科八年级苏科初二下学期数学期末考试卷及答案

新苏科八年级苏科初二下学期数学期末考试卷及答案
一、解答题
1．如图，平行四边形ABCD中，已知BC＝10，CD＝5．
（1）试用无刻度的直尺和圆规在AD边上找一点E，使点E到B、D两点的距离相等（不要求写作法，但要保留清晰的作图痕迹）；
（2）求△ABE的周长．
2．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
3．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
4．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证：△ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
5．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100
150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m
23
31
60
130
203
251
摸到黑球的频率
m n
0.23
0.21
0.30
0.26
0.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ；（精确到0.01） （2）估算袋中白球的个数．
6．化简求值：221211x
x x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭
，其中31x =- 7．如图，反比例函数k
y x
=
的图像经过第二象限内的点(1,)A m -，AB x ⊥轴于点B ，AOB ∆的面积为2.若直线y ax b =+经过点A ，并且经过反比例函数k
y x
=的图像上另一
点(,2)C n -.
（1）求反比例函数k
y x
=
与直线y ax b =+的解析式； （2）连接OC ，求AOC ∆的面积；
（3）不等式0k
ax b x
+-≥的解集为_________
（4）若()11,D x y 在k
y x
=(0)k ≠图像上，且满足13y ≥-，则1x 的取值范围是_________.
8．某种油菜籽在相同条件下的发芽实验结果如表：
（1）a ＝ ，b ＝ ；
（2）这种油菜籽发芽的概率估计值是多少？请简要说明理由；
（3）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
9．先化简，再求代数式（1﹣32x +）÷21
2
x x -+的值，其中x ＝4．
10．（发现）
（1）如图1，在▱ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：△AOE ≌△COF ；
（探究）
（2）如图2，在菱形ABCD 中，点O 是对角线的交点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若AC ＝4，BD ＝8，求四边形ABFE 的面积． （应用）
（3）如图3，边长都为1的5个正方形如图摆放，试利用无刻度的直尺，画一条直线平分这5个正方形组成的图形的面积．（要求：保留画图痕迹） 11．（方法回顾）
（1）如图1，过正方形ABCD 的顶点A 作一条直l 交边BC 于点P ，BE ⊥AP 于点E ，DF ⊥AP 于点F ，若DF ＝2.5，BE ＝1，则EF ＝ ．
（问题解决）
（2）如图2，菱形ABCD 的边长为1.5，过点A 作一条直线l 交边BC 于点P ，且∠DAP ＝90°，点F 是AP 上一点，且∠BAD +∠AFD ＝180°，过点B 作BE ⊥AB ，与直线l 交于点E ，若EF ＝1，求BE 的长． （思维拓展）
（3）如图3，在正方形ABCD 中，点P 在AD 所在直线上的上方，AP ＝2，连接PB ，PD ，若△PAD 的面积与△PAB 的面积之差为m （m ＞0），则PB 2﹣PD 2的值为 ．（用含m 的式子表示）
12．为更有效地开展“线上教学”工作，某市就学生参与线上学习的工具进行了电子问卷调查，并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人； （2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中表示观点B 的扇形的圆心角度数为 度； （4）在扇形统计图中表示观点E 的百分比是 ．
13．如图，为6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均为格点，在图中已标出线段AB ，A ，B 均为格点，按要求完成下列问题．
（1）以AB 为对角线画一个面积最小的菱形AEBF ，且E ，F 为格点； （2）在（1）中该菱形的边长是 ，面积是 ；
（3）以AB 为对角线画一个菱形AEBF ，且E ，F 为格点，则可画 个菱形．
14．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点
E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点
F ，在AF 的延长线上截取F
G BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =； （2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长． 15．如图1，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且BD:AD:CD=2:3:4， (1)试说明△ABC 是等腰三角形； (2)已知ABC
S
=160cm²，如图2，动点M 从点B 出发以每秒2cm 的速度沿线段BA 向点A
运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止，设点M 运动的时间为t(秒)， ①若△DMN 的边与BC 平行，求t 的值；
②若点E 是边AC 的中点，问在点M 运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（2）15；见解析． 【分析】
（1）连接BD 作线段BD 的垂直平分线MN 交AD 于点E ，点E 即为所求． （2）证明△ABE 的周长＝AB +AD 即可． 【详解】
解：（1）如图，点E 即为所求．
（2）解：连接BE
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝5 又由（1）知BE ＝DE ∴15ABE
AB AE BE AB AE ED AB C
AD +++++＝＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的作法及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（1）150人；（2）见解析；（3）192人 【分析】
（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形； （3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可． 【详解】
（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；
（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：
（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×24
150
×100%=192（人）． 【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 3．见解析 【分析】
先根据平行四边形的性质，得出ED ∥BF ，再结合已知条件∠ABE ＝∠CDF 推断出EB ∥DF ，即可证明． 【详解】
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠ADF ＝∠DFC ，ED ∥BF ， ∵∠ABE ＝∠CDF ，
∴∠ABC －∠ABE ＝∠ADC －∠CDF ，即∠EBC ＝∠ADF ， ∴∠EBC ＝∠DFC ， ∴EB ∥DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题关键． 4．（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析. 【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；
（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ， ∴∠ABE=∠CDF ，
∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE=
12OB ，DF=1
2
OD ， ∴BE=DF ，
在△ABE 和△CDF 中，
AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ABE CDF SAS ∴≅
（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： ∵AC=2OA ，AC=2AB ， ∴AB=OA ， ∵E 是OB 的中点， ∴AG ⊥OB ， ∴∠OEG=90°， 同理：CF ⊥OD ， ∴AG ∥CF ， ∴EG ∥CF ，
∵EG=AE ，OA=OC ， ∴OE 是△ACG 的中位线， ∴OE ∥CG ， ∴EF ∥CG ，
∴四边形EGCF 是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF 是矩形． 【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 5．（1）0.25；（2）3个． 【分析】
（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）列用概率公式列出方程求解即可． 【详解】
解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； （2）设袋中白球为x 个， 1
1x
+＝0.25，解得x ＝3． 答：估计袋中有3个白球， 故答案为：（1）0.25；（2）3个． 【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
6．
11x +；3
【分析】
通分合并同类项，再约分，代入求值． 【详解】
原式22211
1
(1)x x x x x x -=⋅=+-+
代入得原式
3
==
． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
7．（1）4y x -=；22y x =-+ （2）3 （3）1x ≤-或02x <≤ （4）4
3
x ≥或x ＜0 【分析】
（1）根据k 的几何意义即可求出k ；求出k 后利用交点C 即可求出一次函数 （2）利用割补法即可求出面积
（3）根据A ，C 的坐标，结合图象即可求解； （4）先求出3y =-时，4
3
x =，再观察图像即可求解. 【详解】
（1）∵点(1,)A m -在第二象限内， ∴AB m =，1OB =， ∴122ABO S AB BO ∆=
⋅=即：1
122
m ⨯=，解得4m =， ∴(1,4)A -，
∵点(1,4)A -，在反比例函数k
y x
=的图像上， ∴41
k
=
-，解得4k =-， ∵反比例函数为4y x
-=， 又∵反比例函数4
y x
-=的图像经过(,2)C n -， ∴4
2n
--=
，解得2n =， ∴(2,2)C -，
∵直线y ax b =+过点(1,4)A -，(2,2)C -， ∴422a b
a b
=-+⎧⎨
-=+⎩解方程组得22a b =-⎧⎨=⎩，
∴直线y ax b =+的解析式为；22y x =-+； （2）24y x =-+
当0y =时，220x -+=，1x =， ∴22y x =-+与x 轴的交点坐标为(1,0) 设直线22y x =-+与x 轴的交点为E ， 则1OE = ∴AOC
AOE
COE
S
S
S
=+
11
141222
=⨯⨯+⨯⨯ 3=
（3）由题：k ax b x
+≥
由图像可知：当1x ≤-或02x <≤时，符合条件； 故答案为：1x ≤-或02x <≤； （4）3y =-时，43x =，结合图像可知：当13y ≥-，则1x 的取值范围是4
3
x ≥或x ＜0． 故答案为：4
3
x ≥或x ＜0． 【点睛】
本题主要考查了反比例函数，待定系数法求函数解析式，综合性较强，但只要细心分析题目难度不大．
8．（1）0.70，0.70；（2）0.70，理由见解析；（3）6300棵． 【分析】
（1）用发芽的粒数m ÷每批粒数n 即可得到发芽的频率
m n
； （2）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.70，所以估计当n 很大时，频率将接近0.70，由此即可得出答案； （3）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%即可得． 【详解】 （1）5600.70800a =
=，700
0.701000
b == 故答案为：0.70，0.70；
（2）这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70
理由：由表可知，这6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.70，则种子发芽的频率为0.70
由频率估计概率可得：这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70； （3）这种油菜籽发芽的种子数为100000.707000⨯=（粒） 则700090%6300⨯=（棵）
答：在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵． 【点睛】
本题考查了频率的计算、利用频率估计概率等知识点，掌握频率的相关知识是解题关键． 9．
1
1x +；15
【分析】
首先把括号内的分式进行通分、相减，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入数值计算即可． 【详解】
解：原式＝()()
232211x x x x x +-+⋅++- ()()12211x x x x x -+=
⋅++- 11
x =+ 当x ＝4时，原式＝
15． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
10．（1）见解析 （2）8 （3）见解析
【分析】
（1）根据ASA 证明三角形全等即可．
（2）证明S 四边形ABFE ＝S △ABC 可得结论．
（3）利用中心对称图形的性质以及数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）．
【详解】
（1）【发现】证明：如图1中，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AO ＝OC ，AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠FCO ，
在△AOE 和△COF 中，
EAO FCO AO CO
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ）．
（2）【探究】解：如图2中，由（1）可知△AOE ≌△COF ，
∴S △AOE ＝S △COF ，
∴S 四边形ABFE ＝S △ABC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴S △ABC ＝12
S 菱形ABCD ， ∵S 菱形ABCD ＝12•AC •BD ＝12
×4×8＝16， ∴S 四边形ABFE ＝
12×16＝8． （3）【应用】
①找出上面小正方形的对角线交点，以及下面四个小正方形组成的矩形的对角线交点，连接即可；
②连接下面左边数第二个小正方形右上角和左下角的顶点；
③分别找出第二列两个小正方形的对角线交点，并连接，与最上面的小正方形最上面的边
交于一点，把这个点与图形底边中点连接即可．
如图3中，直线l 即为所求（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定、菱形的性质以及中心对称图形的性质，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
11．（1）1.5；（2）58；（3）4m ． 【分析】
（1）【方法回顾】如图1，利用“AAS ”证明ABE ADF ≌，则BE AF =，AE DF =，然后利用EF AE AF =-得到DF BE EF -=．
（2）【问题解决】证明()DAF ABE ASA △≌△，推出1DF AE AF EF AF ==+=+，AF BE =，再利用勾股定理构建方程解决问题即可．
（3）【思维拓展】如图3中，过点P 作PN BA ⊥交BA 的延长线于N ，PM DA ⊥交DA 的延长线于M ，设PN x =，PM y =．设==AB AD a ，由PAD PAB S S m -=△△，推出1122
ay ax m -=，可得2ay ax m -=，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】
解：（1）【方法回顾】如图1中，
四边形ABCD 为正方形，
AB AD ∴=，90BAD ∠=︒，
90BAE DAF ∠+∠=︒，90BAE ABE ∠+∠=︒，
ABE DAF ∴∠=∠，
()ABE ADF AAS ∴△≌△，
BE AF ∴=，AE DF =，
EF AE AF =-， 2.5DF =，1BE =
2.51 1.5EF DF BE ∴=-=-=．
故答案为1.5．
（2）【问题解决】如图2中，
四边形ABCD 是菱形，
AB AD ∴=，
BE AB ⊥，
90ABE DAF ∴∠=∠=︒，
180BAD AFD ∠+∠=︒，即180BAP FAD AFD ∠+∠+∠=︒，
180ADF FAD AFD ∠+∠+∠=︒，
BAP ADF ∴∠=∠，
()DAF ABE ASA ∴△≌△，
1DF AE AF EF AF ∴==+=+，AF BE =，
90DAF ∠=︒，
222AF AD DF ∴+=，
2223()(1)2
AF AF ∴+=+． 58
AF ∴=， 58
BE AF ∴==． （3）【思维拓展】如图3中，过点P 作PN BA ⊥交BA 的延长线于N ，PM DA ⊥交DA 的延长线于M ，设PN x =，PM y =．
90PMA MAN PNA ∠=∠=∠=︒，
∴四边形PMAN 是矩形，
PN AM x ∴==，PM AN y ==，
四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，设==AB AD a ，
PAD PAB S S m -=△△， ∴1122
ay ax m -=，
2ay ax m ∴-=， 222222()[()]222()4PB PD x a y y a x ay ax ay ax m ∴-=++-++=-=-=，
故答案为4m ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
12．（1）5000；（2）条形统计图见解析；（3）18；（4）4%．
【分析】
（1）根据选A 的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数；
（2）根据（1）中的结果，可以求得选C 的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据选B 的人数为250，调查的总人数为5000，即可计算出在扇形统计图中表示观点B 的扇形的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中表示观点E 的百分比．
【详解】
解：（1）本次调查的总人数是：2300÷46%＝5000（人），
故答案为：5000；
（2）选用C 的学生有：5000×30%＝1500（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
（3）在扇形统计图中表示观点B 的扇形的圆心角度数为：360°×
2505000＝18°， 故答案为：18；
（4）在扇形统计图中表示观点E 的百分比是：
2005000
×100%＝4%， 故答案为：4%．
【点睛】 本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（1）见解析；（2）10，6；（3）3
【分析】
（1）根据菱形的定义以及已知条件画出满足条件的菱形即可．
（2）利用勾股定理，菱形的面积公式计算即可．
（3）画出满足条件的菱形即可判断．
【详解】
解：（1）如图，菱形AEBF 即为所求．
（2）AE ＝223+1=10，菱形AEBF 的面积＝
12
×6×2＝6， 故答案为10，6．
（3）如图备用图可知：可以画3个菱形，
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查了格点作图和菱形的性质应用，涉及了勾股定理等，正确理解，准确利用网格的特点是解题的关键．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =； （2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥
又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关键是证明四边形BGFD 是菱形．
15．（1）证明见详解；（2）①5或6；②9或10或
496． 【分析】
（1）设BD=2x ，AD=3x ，CD=4x ，则AB=5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；
（2）由△ABC 的面积求出BD 、AD 、CD 、AC ；①当MN ∥BC 时，AM=AN ；当DN ∥BC 时，AD=AN ；得出方程，解方程即可；
②根据题意得出当点M 在DA 上，即4＜t≤10时，△MDE 为等腰三角形，有3种可能：如果DE=DM ；如果ED=EM ；如果MD=ME=2t-8；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
（1）证明：设BD=2x ，AD=3x ，CD=4x ，
则AB=5x ，
在Rt △ACD 中，AC=5x ，
∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，AB=5x ，CD=4x ，
∴S △ABC=
12
×5x×4x=160cm 2，而x ＞0， ∴x=4cm ，
则BD=8cm ，AD=12cm ，CD=16cm ，AB=AC=20cm ．
由运动知，AM=20-2t ，AN=2t ，
①当MN ∥BC 时，AM=AN ，
即20-2t=2t ，
∴t=5；
当DN ∥BC 时，AD=AN ，
∴12=2t ，
得：t=6；
∴若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6．
②存在，理由：
Ⅰ、当点M在BD上，即0≤t＜4时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE；Ⅱ、当t=4时，点M运动到点D，不构成三角形
Ⅲ、当点M在DA上，即4＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．∵点E是边AC的中点，
∴DE=1
2
AC=10
当DE=DM，则2t-8=10，
∴t=9；
当ED=EM，则点M运动到点A，∴t=10；
当MD=ME=2t-8，
如图，过点E作EF垂直AB于F，
∵ED=EA，
∴DF=AF=1
2
AD=6，
在Rt△AEF中，EF=8；
∵BM=2t，BF=BD+DF=8+6=14，
∴FM=2t-14
在Rt△EFM中，（2t-8）2-（2t-14）2=82，
∴t=49
6
．
综上所述，符合要求的t值为9或10或49
6
．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论．。