西南名校联盟高考适应性月考卷理科数学试题有答案

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云南师大附中2019届高考适应性月考卷（八）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．由题意知：集合[33]A =
-，，集合(
2)B =-∞，
，则A B I
[3
2)=-，
，故选D ．
2．在复平面内，z 的轨迹是以(11)，为圆心，1为半径的圆，由数形结合可知，||z 1，所以2||3z =-，故选
B ．
3．由数列
{}
n a 为等差数列，设其公差为
d
，所以
246135()()
33a a a a a a d ++-++==，即1d =，故选
A ．
4．设
a
r
与
b
r 的夹角为
θ
，由
|2|a b +=r r
所以1cos 2
θ=-，则a r 与b r
的夹角为2π3
，故选A ．
5．由题意可知圆柱的高为2，所以球心到底面的距离为1，又由底面的半径为1表面积为8π，故选C ．
6．由函数()f x 的最大值为4，则选项A 不满足；由π23
⎛⎫
⎪⎝⎭
，为其一个对称
中心，即π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，选项D 不满足；由12()()2f x f x ==，且12min π
||2
x x -=，
即函数的最小正周期为π，选项C 不满足；而B 选项均满足，故选
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B ．
7．如图1，在Rt ABC △中，15CA =，
8CB =，则2217AB CA CB +=，
设点I 为ABC △内切圆的圆心，设其内切圆的半径为r ，
由
ABC AIB BIC CIA
S S S S =++△△△△，所以
111
222
ABC S r AB r BC r CA =++=
g g g △
1()2r AB BC CA ++g ，故而2158381517
ABC S r AB BC CA ⨯===++++△，所以其 内切圆的直径为6步，故选B ．
8．由x y z ，，均为大于1的正数，
令235log log log x y z m ===，则0m >，且2m x =，3m
y =，
5m
z =，所以
(2)m
x =，
33
(3)m
y =，
5
5(5)m
z =．又由
663(2)89(3)=<=323，由10105(2)3225(5)=>=525函数m y x =(0)m >53
z x y
<
，故选B ．
9．由程序框图可知，当n k =时，运算前的a 值记为k a ，则程序输出的是
6a ，
即61a =，由程序框图可知，当输入的a 为正整数时，对任意的k ，k a 均为正整数，而61a =，则必有52a =，此时，
图1
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41213254123121()33216587()2344211()30()a a a a a a a a a a a a a ⎧=⎪⎪
⎧⎪⎧=⎧=⇒⎪⎨⎪⎪=⎪⎩⎪⎪=⇒⎨
⎪⎪⎪⎪⎪==⇒⎨⎪⎩⎪⎪=⇒⎨
⎪⎧=⎧⎪⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩⎩⎩
舍，，
，舍，，舍，舍， 故而，a 的可能取值为4532，，，故选C ．
10．如图2，设1PF m =，2PF n =，12F PF θ∠=，由题意知：22
22
2162cos 4m n mn m n mn θ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，
，
所以
6
1cos mn θ
=
+，又1
2
1sin sin 33tan 321cos 2
F PF
S mn θθ
θθ===+△ 所以π3
θ=．由正弦定理可知，三角形的外接
圆的直径为
122ππ3sin sin 33
F F ==4
π3，故选A ．
11．当0a ≤时，()|1|f x x =-满足题意；当03a <≤时，(2)(4)3f f -==，要满足题意需满
足(1)23f a =≤，即302
a <≤；当3a >时，(1)26f a =>，不合题意．综上
所述，a 的取值范围是32
a ≤，故选C ．
12．如图3，设点E 为D 点在平面ABC 内的投影，
图2
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若DA DB DC ==，则由DEA △，DEB △，DEC △两两全 等，所以EA EB EC ==，故选项A 正确；
若DA BC ⊥，DB AC ⊥，由DA BC ⊥，DE BC ⊥，所以BC ⊥
平面ADE ，即AE BC ⊥，同理BE AC ⊥，所以D 在平面ABC
内的投影为三角形ABC 的垂心，故选项B 正确； 若AB CD =，AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 可以放 在长方体内，如图4，则每组对棱的中点可以看成棱所在面
的中心，故而每组对棱中点的线段互相垂直平分，故选项C 正确；
若三棱锥各棱长均为2，则三棱锥为正四面体，到三棱锥的四个顶点距离相等的截面，如图5有两种情况：
第一种情况，如图5甲，截面为边长为1的
3
，故所有的截面为
3
第二种情况，如图乙，截面为边长为1的正方形，其面积为1，故所有截面为正方形的面
积和为3，所以所有的截面面积和为33，故选项
D 错误；
综上所述，故选D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
图3
图4 图5
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题号 13
14 15 16
答案 4
40
1
8068
【解析】
13．作出不等式组313x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩
≥，
≥，≤表示的平面区域，
如图6中
阴影部分所示，作出直线20x y +=，平移直
线
20x y +=，当直线经过点(12)A ，时，2z x y =+取得最小
值4，所以2z x y =+的最小值为4．
14．令1x =，则23162n ⨯=，所以4n =，当第一个括号取x 时，第二个括号
内要取含x 的项，即34
C (2)x ；当第一个括号取1
x
时，第二个括号内要取含3x 的项，即134C (2)x ，所以2x 的系数为31
442C 8C 40+=．
15．设11()A x y ，，22()B x y ，，0(4)Q y ，，则切点为A 的椭圆C 的直线方程为：
11143
x x y y
+=，切点为B 的椭圆C 的直线方程为：2214
3
x x y y +=．由两切
线均过点Q ，故而有：10120213
13y y x y y x ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，
所以直线AB 的方程为013y y x +=，
则直线AB 过定点(10)，，所以原点到直线AB 的距离的最大值为1．
图6
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16．由题意知：213a a -=，325a a -=，又由123(4)n n n n a a a a n n ----=-∈Z ≥，，则
22213n n a a ++-=，
2125(4)n n a a n n +-=∈Z ≥，，所以2228()n n a a n +-=∈Z ，又
1008
201822221
()10088n n n a a a a +==-+=⨯∑
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可知： 所以sin 2cos sin C A C -=，因为sin 0C ≠， 而(0π)A ∈，，则1cos 2
A =-，所以
2π
3
A =
．…………………………………………（6分）
（Ⅱ）如图7，由2b c ==及（Ⅰ）知ABC
△是顶角
为2π
3
的等腰三角形，则π6
ABC ∠=，
所以2222π2cos 63
BC b c bc =+-=，即6BC ，
又2AD DC =，所以123
3
BD BC BA =+u u u r
u u u r
u u u r
，
则222π9||||4||4||||cos 266
BD BC BA BA BC =++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g ，
所
以
图7
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BD =
．…………………………………………………………………
……（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）2×2列联表补充如下：
………………………………………………………………
……………………（2分）
（Ⅱ）由题意知：2
2
100(40252015)8.25 6.63555456040
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为数学与物理的学习情况有关．………………………………（6分）
（Ⅲ）由题意知，每名即将被询问的同学数学与物理都优秀的概率为
4021005
=， 随机变量X 所有可能的取值为：3456，，，，
所
以
X
的期望
872432213316998
()3456125625312531253125
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=
．……………（12分）
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19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图8，连接AC BD ，交于点O ，连接MO ，NO ，所以
AC BD ⊥，
又AM ⊥平面ABCD ，AM BD ⊥且AC AM A =I ，
所以BD ⊥平面ACNM ，则有MO BD ⊥，
NO BD ⊥，
故而MON ∠为二面角M BD N --的平面角， 由1CN =，3AM =，ABCD 是边长为2的菱形，且
2π
3
ABC ∠=
，可得23MO =，2NO =，
又由4MN =，即222MN MO NO =+， 所以π2
MON ∠=，所以平面MDB ⊥平面
NDB ．………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：如图9，取MN 的中点P ，则OP ⊥平面ABCD ，
由（Ⅰ）知，建立以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴的空
间直角坐标系， 则(
303)M ，，，(301)N -，，，(010)B ，，，(010)D -，，，
所以(2302)NM =u u u u r ，，，(313)BM =-u u u u r ，，，(313)DM =u u u u r ，，， 设平面BMN 的一个法向量为1111()n x y z =u u r
，，，
图8
图9
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则1100n NM n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u r g u u r u u u u r g ，，
即111112030z y z ⎧+=⎪-+=，，
令1z =，则11x =-
，1y =
1(1n =-u u r
，， 设平面DMN 的一个法向量为2222()n x y z =u u r
，，，
则2200n NM n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u u r
g u u r u u u u r g ，
，
即222222030z y z ⎧+=⎪++=，，
令2z =21x =-
，2y =-
2(1n =--u u r
，，
设锐二面角B MN D --的平面角为θ，则1212||1cos 2
||||n n n n θ==u u r u u r
g u
u r u u r ， 所以锐二面角B MN D --的余弦值为
1
2
．……………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设圆心M 的坐标为()x y ，，则0x >．
由题意知：||1x +=
24y x =(0)x >．………………………（4
分）
（Ⅱ）设AB 所在的直线的倾斜角为(0)θθ≠， 则直线AB 的方程为tan (1)y x θ=-，
与抛物线的方程联立得：2222(tan )(2tan 4)tan 0x x θθθ-++=， 设A B ，的横坐标分别是12x x ，，
则有：22122222tan 4tan 14
||224tan tan sin AB x x θθθθθ
++=++=+==
，
同理：2244
||πcos sin 2CD θ
θ=
=
⎛
⎫± ⎪
⎝
⎭，
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所以四边形的面积22214432
322sin cos sin (2)
S θθθ=⨯⨯=≥，
当且仅当π4
θ=或3π4
θ=时，不等式取等号，所以四边形面积的最小值
为32．……（12分） 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由0a b +=，则()ln f x x ax a =-+， 所以1()f x a x
'=-．
若0a ≤，则1()0f x a x
'=->，即函数()f x 为定义域上的增函数，由(1)0f =，
不合题意；
若01a <<，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为10a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，上的增函数，且
1
01a
<<
，由(1)0f =，不合题意； 若1a >，则11()ax f x a x x -'=-=，所以()f x 为1a
⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭，上的减函数，
且11a
>，由(1)0f =，不合题意；
若1a =，()ln 1f x x x =-+，11()1x f x x
x
-'=-=，所以()f x 为(01)，上的增函数，
为(1)+∞， 上的减函数，所以()(1)0f x f =≤，满足题意． 综上所述，满足题意的
1a =．…………………………………………………………（5
分）
（Ⅱ）由()0f x ≤恒成立，则0a >，
又由()0f x ≤，等价于ln x ax b +≤，即等价于函数ln y x =的图象不在函数y ax b =+图象的上方，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最
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小，需使直线y ax b =+与函数ln y x =的图象相切，此时，设切点为
11(ln )x x ，且10x >，
则切线方程可以表示为1111ln ()y x x x x -=-，即11
1
ln 1y x x x =+-， 所以11
1
ln 1a b x x +=
+-． 令1()ln 1(0)g x x x x
=+->，则22
111
()x g x x
x
x
-'=-+=， 所以()g x 为(01)，上的减函数，为(1)+∞，上的增函数，则()(1)0g x g =≥， 所以a b +的最小值为0．
由ln e ()x x f x -≤，等价于e x ax b +≥，即等价于函数e x y =的图象不在函数y ax b =+的图象的下方，同理，对于每一个大于零的a ，要使得a b +的值最大，需使直线y ax b =+与函数e x y =的图象相切，此时，设切点为2
2(e )x x ，，
则切线方程可以表示为2
22e e ()x x y x x -=-，即：2222e e e x x x y x x =+-，
所以2
22222e e (2)e x
x x a b x x +=-=-(0)x >．
令()(2)e x h x x =-，则()(1)e x h x x '=-，
所以()h x 为(01)，上的增函数，为(1)+∞，上的减函数，则()(1)e h x h =≤， 所以a b +的最大值为e ． 综
上
所
述
，
a b
+的取值范围是
[0e]，．………………………………………………（12
分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
，，π02θθ⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭其中为参数，，， 所以曲线C 的普通方程为：2
214
x y +=，00x y ≥，≥．
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又由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为：22
24
cos 4sin ρθθ
=+，π02θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，，
直线l 的极坐标方程为：
4sin cos ρθθ
=
+．……………………………………………（5分）
（Ⅱ）如图10，由题意知：
1π1π
=sin sin 2626
ABCD BOC AOD S S S OB OC OA OD =-⨯⨯-⨯⨯△△，
由（Ⅰ）知，2
2
4
7
31422OA =
=
⎛⎫⎛⎫
+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
31
31
OC =
=
++，
所以，
1491
()8(23)4ABCD S OB OC OA OD =⨯-⨯=10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：由()2|1||2|f x x x =-++， 所以31()4[21)32x x f x x x x x ⎧⎪
=-∈-⎨⎪-<-⎩
，≥，
，，，，，则函数()f x 的图象如
图11，
则函数()f x 的最小值为3，即3m =．……………（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，3a b c ++=，
图10
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所以1116a b c a
b
c
+++++≥， 当且仅当1a b c ===时不等式取等号，所以
111
3a b c
++≥．………………………（10分）
图11。