2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.2 抛物线的简单几何性质

2.3.2 抛物线的简单几何性质
[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.
知识点一 抛物线的几何性质
标准方程
y 2＝2px (p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
图形
性 质
范围
x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
x ∈R ，y ≥0
x ∈R ，y ≤0
对称轴 x 轴
x 轴
y 轴
y 轴
顶点 (0,0) 离心率
e ＝1
知识点二 焦点弦
直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p
2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.
题型一 抛物线的几何性质
例1 已知双曲线方程是x 28－y 2
9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物
线的准线方程.
解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p
2
＝22，且抛物线的焦点在x 轴正
半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.
反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.
跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)当抛物线的焦点在y 轴上时， 设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－1
2.
∴抛物线的标准方程为x 2＝－1
2
y .
故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－1
2y .
准线方程为x ＝－1或y ＝1
8.
题型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝5
2
p ，求AB 所在的直线方程.
解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫
p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <5
2p ，不满足题意.
所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －p
2，k ≠0.。