浙江省考试院高考数学测试卷(理)

综合卷检测试题
一、选择题：本大题
共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．已知会合A＝{y|y＝2x，x∈R}，则RA＝
A．B．(－∞，0]C．(0，＋∞)
D．R
2．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的
A．充足不用要条件B．必需不充足条件
C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件
3．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则
A．函数f[g(x)]是奇函数B．函数g[f(x)]是奇函数
C．函数f(x)g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数4．设函数f(x)＝x3－4x＋a，0＜a＜2．若f(x)的三个零点
为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则精
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A．x1＞－1B．x2＜0C．x2＞0D．x3＞2精选文档采集整理
汇总
5．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则ACBD＝
A．b2－a2B．a2－b2D
C．a2＋b2D．ab C
6．设数列{an}．A B
(第6题图)
A．若a n2＝4n，n∈N*，则{a n}为等比数列
B．若an an+2＝a n21，n∈N*，则{an}为等比数列
C．若am a n＝2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列
D．若anan+3＝an+1an+2，n∈N*，则{an}为等比数列
7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是
3333
1/13
1212
正视侧视图正视图侧视图正视图侧视图正视侧视图
图图2121
俯视
图俯视图俯视图俯视图
A．B．C．D．精选文档采集整理汇
总
x y0,
8．若整数x，y知足不等式组2x y100,则
3x y530, 2x＋y的最大值是
A．11B．23C．26 D．30精选文档采集整理汇总
9．如图，
F
1，F2是双曲线C：
x
2y21＞，＞
0)F
1
a2b2(a0b
的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分
别交于A，B两点．若|AB|:|BF2|:|AF2|＝3:4:5，
则双曲线的离心率为精选文档采集整理汇总
A．13B．15
C．2D．3精选文档采集整理汇总
10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，
f n+1(x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为
y y
11
A．
－11－11 O x
B．O x －1－1
y y
11
－11－11
C．O x D．O x －1－1y
B
A
O F2x
(第9题图)
y
1
B
－11
x
A
－1C(第10题图)
2/13
非选择题部分
(共100分)
注意事项：
1．用黑色笔迹的署名笔或钢笔将答案写在答题纸上，不可以答在试题卷上。

2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确立后一定使用黑色笔迹的署名笔或钢笔描黑。

二、填空题：本大题共 7小题，每题
4分，共28分。

11．已知i 是虚数单位，a ∈R ．若复数
a
2i
的虚部
a 2i
开始
为1，则a ＝
．精选文档采集整理汇总
n ＝12,i ＝1
12．设公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若
a 2 2＋a 32＝a 4 2＋a 52
，则S 6＝
．
是
n 是奇数?
否
x )n
(n 为正偶数)的睁开式中第
13．若(x
5项的二
n
2
n ＝3n ＋1 n ＝ 2
项式系数最大，则第
5项是
．
i ＝i ＋1
14．若某程序框图如下图， 则该程序运转后输出的值
是 ．
15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已
知C ＝2A ，cosA ＝3
，b ＝5，则△ABC 的面积为
否
n ＝1? 是 输出i
4
结束
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(第14题图)
．
16．在△ABC 中，B(10，0)，直线BC 与圆Γ：x 2＋(y －5)2＝25
相切，切点为线段
BC 的中点．若△ABC 的重心恰巧为圆
D 1
C 1
A 1
A 的坐标为
B 1
Γ的圆心，则点 ．精选文档采集整理汇总
17．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2．若存在
各棱长均相等的四周体
P 1P 2P 3P 4，此中P 1，P 2，P 3，P 4
D
C
分别在棱AB ，A 1B 1，C 1D 1，CD 所在的直线上，则此长方 A
B
体的体积为
．精选文档采集整理汇总
(第17题图)
3/13
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(此题满分14分)已知函数f(x)＝3sin2ax＋3sinaxcosax＋2cos2ax的周期为π，其
中a＞0．精选文档采集整理汇总
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求f(x)的值域．
19．(此题满分14分)已知A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的6个极点，在极点取自A，B，C，
D，E，F的全部三角形中，随机(等可能)取一个三角形．设随机变
量X为拿出三角形的面积．精选文档采集整理汇总
(Ⅰ)求概率P(X＝3 )；
4
(Ⅱ)求数学希望E(X)．
4/13
B
C
20．(此题满分 15分)如图，平面 ABCD ⊥平面ADEF ，其 中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形，AF ∥DE ，AF ⊥FE ，
AF ＝AD ＝2DE ＝2．
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A
D
(Ⅰ)求异面直线EF 与BC 所成角的大小；
E
(Ⅱ)若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为
1
，求
AB 的长．
F
(第20题图)
3
21．(此题满分15 分)如图，F 1，F 2是离心率为
2
的椭圆精
y
2
B
品
文
档 收 集 整
理
汇
总 P
M
x
2
y
2
1 A
1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－
C ：
a 2
b 2 2
F 1
O
F 2x
将线段F 1F 2分红两段，其长度之比为 1:3．设A ，B 是C
上的两个动点，线段 AB 的中垂线与
C 交于P ，Q 两点，
－1
Q
x ＝
2
线段AB 的中点M 在直线l 上．精选文档采集整理汇总
(第21题图)
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)求F 2PF 2Q 的取值范围．
5/13
33
2
22．(此题满分14分)已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－3ax＋1，a＞0．
(Ⅰ)证明：关于正数a，存在正数p，使适当x∈[0，p]时，有－1≤f(x)≤1；
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的p的最大值为g(a)，求g(a)的最大值．
6/13
数学测试题(理科)答案及评分参照
说明:
一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参照，
假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分参照制定相应的评分 细则。

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二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后续部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分 数的一半；假如后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

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三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定地区内答题，每错一个地区扣卷面总分
1分。

一、选择题：此题考察基本知识和基本运算。

每题
5分，满分 50分。

1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C
7．D
8．B
9．A
10．D
二、填空题：此题考察基本知识和基本运算。

每题
4分，满分 28分。

11．2
12．0
13．
35
x 6
14．10
8
15．
15
7 16．(0，15)或(－8，－1) 17．4
4
三、解答题：本大题共 5小题，共 72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．此题主要考察三角函数的图象与性质、 三角变换等基础知识， 同时考察运算求解能力。

满分14分。

(Ⅰ)由题意得
f(x)＝3
(1－cos2ax)＋
3
sin2ax ＋(1＋cos2ax)
2
2
＝
3
sin2ax －1cos2ax ＋5
2
2
2
＝sin(2ax －
π 5
．
)＋
2 因为f(x)的周期为π，a ＞0，因此
a ＝1．
,,,,
7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
7/13
f(x)＝sin
π
(2x－)＋5，
62
因此f(x)的值域为[3
，
7
]．
22
,,,,14分
19．此题主要考察随机事件的概率和随机变量的散布列、数学希望等观点，同时考察抽象归纳、运算求解能力和应意图识。

满分14分。

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(Ⅰ)由题意得拿出的三角形的面积是3
的概率4
P(X＝3)＝6＝3．
4C6310
,,,,7分(Ⅱ)随机变量X的散布列为
X3333
424
P361
101010
因此E(X)＝3×3＋3×6＋33×1＝93．
41021041020
,,,,14分20．此题主要考察空间点、线、面地点关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间
向量的应用，同时考察空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

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(Ⅰ)延伸AD，FE交于Q．
因为ABCD是矩形，因此
B C
BC∥AD，
因此∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．
A H D Q
在梯形ADEF中，因为DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，
G E
DE＝1得F
∠AQF＝30°．
(第20题图)
,,,,7分(Ⅱ)方法一：
设AB＝x．取AF的中点G．由题意得
DG⊥AF．
8/13
因为平面 ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，因此
AB ⊥平面ADEF ， 因此
AB ⊥DG ． 因此
DG ⊥平面ABF ．
过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连接DH ，则DH ⊥BF ，因此∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．
在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得
DG ＝
3 ．
在直角△BAF 中，由
AB
＝sin ∠AFB ＝
GH
，得
BF
FG
GH ＝
1
，
x
x 2 4
因此
GH ＝
x
．
x 2
4
在直角△DGH 中，DG ＝
3，GH ＝
x ，得
x 2 4
DH ＝2
x 2 3 ．
x
2
4
因为cos ∠DHG ＝
GH ＝1
，得
DH
3
2
x ＝ 15，
因此
AB ＝
2
15
．
5
,,,,
15分
方法二：设AB ＝x ．
以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为 x 轴，y 轴成立空间直角坐标系 Fxyz ．则
F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(
3，0，0)，D(－1， 3，0)，B(－2，0，x)，
因此
9/13
DF＝(1，－3，0)，BF＝(2，0，－x)．
因为EF⊥平面ABF，因此平面 ABF的法向量可取n1＝(0，1，0)．设n2＝(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则
2x1z1x0,
x13y10,
z
B C
因此，可取n2＝(3，1，2
3)．
x
D
A
n1n21y
因为cos<n1，n2＝，得E
>＝
|n2|3
|n1|
F x
2
x＝15，
(第20题图)
因此
2
AB＝15．
,,,,15分21．此题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆的地点关系等基础知识，同时考察分析几
何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

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(Ⅰ)设F2(c，0)，则
c
1 2＝1
，
y
B
c
1
3
2
因此
c＝1．
M
A
F1
O
F2x
因为离心率e＝2
，因此
x＝－
1
22
a＝2．(第21题图)
因此椭圆C的方程为
x2y21．,,,,6分
2
(Ⅱ)当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1
，此时P(2，0)、Q(2,0) 2
F2PF2Q1．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－1
，m)(m≠0)，A(x1，y1)，
2
10/13
B(x2，y2)．精选文档采集整理汇总
x22
1y11,
2
由得
x22y221,
2
＋x
2)＋2(y1＋y y1
y
2＝0，
(x12)x1x2则
1＋4mk＝0，
故
k＝1．
4m
此时，直线PQ斜率为k14m，PQ的直线方程为
y m4m(x1)．
2
即y4mxm．
y4mx m
联立x2消去y，整理得
y21
2
(32m21)x216m2x2m220．因此
x1x216m2，x1x22m22．
32m2132m21于是
F2PF2Q(x1－1)(x2－1)＋y1y2
x1x2 (x1x2) 1 (4mx1m)(4mx2m)
(116m2)xx(4m21)(x x
2)1m2
121
(116m2)(2m22)(4m21)(16m2)1m2 32m2132m21
11/13
19m 2 1 ．
32m
2
1
令t ＝1＋32m 2，1＜t ＜29，则
F 2P F 2Q
19 51 ．
32 32t
1
又1＜t ＜29，因此
2 F 2PF 2Q 125．232
125
综上，F 2P F 2Q 的取值范围为
[
1，
）．
,,,,
15分
22．此题主要考察利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考察推理论证能力，分类讨
论等综合解题能力和创新意识。

满分 14分。

精选文档采集整理汇总 (Ⅰ)因为 f ′(x)＝3x 2＋3(1－a)x －3a ＝3(x ＋1)(x －a)，且a ＞0，
故f(x)在[0，a]上单一递减，在[a ，＋∞)上单一递加．
又
f(0)＝1，
f(a)＝－
1
a
3
－
3
a 2
＋1＝1
(1－a)(a ＋2)2－1．
2 2 2
当f(a)≥－1时，取p ＝a ．
此时，当 x ∈[0，p]时有－1≤f(x)≤1成立．
当f(a)＜－1时，因为f(0)＋1＝2＞0，f(a)＋1＜0，故存在p ∈(0，a)使得f(p)＋1＝0．
此时，当x ∈[0，p]时有－1≤f(x)≤1成立．
综上，关于正数a ，存在正数p ，使适当x ∈[0，p]时，有－1≤f(x)≤1．
7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0，＋∞)上的最小值为 f(a)．
当0＜a ≤1时，f(a)≥－1，则g(a)是方程f(p)＝1知足p ＞a 的实根，
2
即
2p+3(1－a)p －6a ＝0知足p ＞a 的实根，因此
3(a
1) 9a 2 30a 9
．
g(a)＝
4
12/13
又g(a)在(0，1]上单一递加，故g(a)max＝g(1)＝3．
当a＞1时，f(a)＜－1．
因为f(0)＝1，f(1)＝9
(1－a)－1＜－1，故
2
[0，p][0，1]．
此时，g(a)≤1．
综上所述，g(a)的最大值为3．
,,,,14分
13/13。