土中应力计算
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•大小 荷载条件： •方向 •分布 • 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深
基础条件:
• 土类 地基条件： • 密度 • 土层结构等
暂不考虑上部结构的 影响，用荷载代替上 部结构，使问题得以 简化
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0 (1)荷载均布时，p(x,y)=常数 基础变形能完全适应地基表面的变 形基础上下压力分布必须完全相同， 若不同将会产生弯矩，基础沉降中 间大，两头小 (2)如果要使柔性基础沉降趋于均匀， 显然就得增大基础边缘的荷载，减 小中间荷载，这是荷载和反力就应 该变为非均匀分布，p(x,y)常数
线弹性体 （应力较小时）
均质各向同性体 （土层性质变化不大）
线弹性
卸载
εp
εe
E、与位置和方向无关 理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
3.1 自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力
假定：
地基为均质的 变形是呈线性的 地基是半无限空间的
3P z 3 3p 0 z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
P p 0 dxdy
y
p0 x
L
b
z
B
0
L
0
d z z (p 0 , m , n )
z cp 0
z
M
m=L/b, n=z/b
(b荷载面的短边宽)
L z c F (b , L , z ) F ( , ) F (m , n ) b b
z t 1p 0
L z t1 F ( b , L , z ) F ( , ) F ( m , n ) b b
矩形面积竖直三角分布荷载角点1 下的应力分布系数(表3.6) 同理角点2下： z t 2 p 0 (表3.6)
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹塑性地基，圆形刚性基础
— 荷载较小 — 荷载较大 — 荷载很大 接近弹性解 马鞍型 倒钟型
砂性土地基
粘性土地基
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
2、基底压力的简化计算：
圣维南原理：
基底压力的 分布形式十 分复杂
在基底下一定深度处引起的地基附 加应力与基底荷载的分布形态无关， 只取决于荷载合力的大小、方向和 作用点位置
土中应力
几个常用名词
1、线弹性体（理想弹性体）
σ
从力学的概念来讲，理想
弹性体就是符合虎克定律
的物体，即物体受荷载作 用时，其应力与应变成直 线关系，卸荷时仍沿此直 线回弹。
ε
2、半无限空间
∞
向两边无限延伸的平面称为为无 限大平面；无限大平面以下的无 限空间称半无限空间 。
y ∞ x
∞
∞
z
∞
3、应力符号的规定
z
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数 c(表3.4)
3.3 基地压力 3、基底附加压力
矩形面积竖直均布荷载
任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应 力间满足 线性关系 叠加原理
B C a
A D b
角点计算公式
任意点的计算公式
A B C D • 矩形内： z ( c c c c ) p 0
z y x
3.1 自重应力
K0——静止侧压力系数，它是土体在侧限条件下 有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1 之比， K0与
土层的应力历史及土的类型有关。
正常固结粘土： K0 ＝1－sinφ
对一般地基K0 ＝0.5左右
3.1 自重应力
地面
3 、成层地基自重应力：
1 H1 2 H2 地下水 sz z
p max
p m in 0
P L
pmax
min
P 6e 1 A l
K e
b x
3K
b y p m in 0
K=L/2-e
出现拉力时， 应进行压力调 整，原则：基 底压力合力与 总荷载相等
p max
pmax
e<L/6gt;L/6: 出现拉应力区
1、基底压力分布 基底附加压力计算: 基底附加压力：由建筑物 建造后的基底压力中扣除基底 标高处原有的自重应力后，新 增加于基底的压力。
m 1h1 2h2 nhn / d
p0 p cz p m d
基底附加压力的计算
注意：地下水位以下的重度取有效重度
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
P
α r y M β z M
2 2 2
o
x
x
z zx yz y xy
R
y
2 2
x
z
2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
包括6个应力分量和3个方向位移的表达式 （教材P50-51）
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
o
P
α x R r
y M β z M
x
z zx yz y xy
x
y
z
其中，竖向应力z：
3P z 3 1 P P z 2 5 2 5/ 2 2 2 R 2 [1 ( r / z ) ] z z
3
多个集中力共 同作用，通过 叠加原理求解
0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力
集中荷载作用下，水平面上作用的竖向应力σz
12 9
z 6
3 0 4 2 y 0 -2 -4 -4 -2 0 x 2 4
例 3.2 z=3m平面上的竖向附加应力
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
均布矩形荷载的附加应力计算：
角点下的垂直附加应力：
条 形
b
p P b
P:单位长度上的荷载
b
Ph P Pv
基础形状与荷载条件的组合
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
M—作用在基础底面的力矩，kN.m
W—基础底面的抵抗矩，m3
P L
P
L
P Mx My p( x , y ) A Wx Wy
M x P ey ;
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
2、地基附加应力： 附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增 加的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑 物沉降的主要原因，即由基底附加压力引起。
• 集中荷载作用下的附加应力
• 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 叠加原理 基本解
暂不考虑上部结构的影响用荷载代替上部结构使问题得以简化32基地压力1基底压力分布基础变形能完全适应地基表面的变形基础上下压力分布必须完全相同若不同将会产生弯矩基础沉降中2如果要使柔性基础沉降趋于均匀显然就得增大基础边缘的荷载减小中间荷载这是荷载和反力就应该变为非均匀分布pxy常数条形基础竖直均布荷载弹性地基完全柔性基础32基地压力1基底压力分布1均布荷载下基础只能保持平面下沉不能弯曲根据柔性基础沉降均匀时基地反力不均匀的论述可以推断基底反力分布
• 圆形分布荷载作用下的附加应力
• 影响应力分布的因素
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固 体力学都有贡献。
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
竖直中心
P
竖直偏心
x P y o L b
倾斜偏心
P L b
矩 形
L
pP A
b
P M y M yx p( x, y ) x A Ix Iy
P Pv Ph
P
P
P b
P Mx p( x ) b I
cz2 cz1 2h2 7.85 17.8 2 43.45kN m 2
h3 43.45 18.3 9.8 2 60.45kN m 2 cz3 cz2 3
h4 60.45 16.5 9.8 6 100.65kN m 2 cz4 cz3 4
ab cd cBD cCD cD ) p 0 • 矩形外： z ( c
C
A c
D
B d
3.3 基地压力 3、基底附加压力
矩形面积竖直三角形分布荷载
z
b 0
P
p0
L
0
d z z (p 0 , m , n )
x p 0 dxdy b y
L
2P 3 Kb
矩形面积单向偏心荷载
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
其它荷载:
e P b P Ph Pv
pmax
min
P 6e 1 b b
分解为竖直向和水平向荷 载，水平荷载引起的基底 水平应力视为均匀分布
条形基础竖直偏心荷载
倾斜偏心荷载
3.3 地基附加应力
3.1 自重应力
1、均质土竖向自重应力：
σcz
天然地面
z
y
x
γz
z
1
z
3.1 自重应力
2、水平自重应力：
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还 作用有水平向的侧面自重应力。因为，假定荷载沿任一水平面 上均匀地无限分布，由此地基土在自重作用下只能产生竖向变 形，而不能侧向变形和剪切变形。
1H1 2H2
sz
2 H3
2H
3
分布规律
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布 自重应力在成层地基中呈折线分布 在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变
（水平应力）
3.2 基底压力
1、基底压力分布
上部 结构
建筑物 设计
基础结构 的外荷载 基底反力
基础
地基
材料力学中规定： 法向应力以拉为正，剪应力以顺时针为正； 土力学中规定： 法向应力以压为正，剪应力以逆时针为正。
4、应力状态
土内一点的应力状态是指土内一点各个方向上应力的大小。
5、侧限应力状态
侧向应变为零的一种应力状态，对于侧限应力状态有：
土中应力分类
按起因分
建筑物修建以前， 地基中由土体本身 的有效重量所产生 自重应力（有效） 的应力。
cz4 cz4 h3 h4 w 100.65 2 6 9.8 179.05kN m 2
cz5 cz4 5h5 179.0519.2 3 236.65kN m2
3.1 自重应力
地面
1 H1 2 H2 z 地下水 sz sy sx z
基底压力：基础底面传递给地基表面的
压力，也称基底接触压力。
基底压力 附加应力 地基沉降变形
基底压力既是计算地基中附加应力的外荷
载，也是计算基础结构内力的外荷载，上 部结构自重及荷载通过基础传到地基之中
3.2 基地压力 1、基底压力分布
基底压力的影响因素：
基底压力是地基和基 础在上部荷载作用下 相互作用的结果，受 荷载条件、基础条件 和地基条件的影响
cz i H i
3 H3
sy
sx
容重：地下水位以上用天然容重
地下水位以下用浮容重
3.1 自重应力
4、有不透水层时的自重应力：
3.1 自重应力
5、地下水位升降时自重应力的变化：
σcz
0
原地下水位
变动以后 地下水位
z
3.1 自重应力
例题
cz1 1h1 15.7 0.5 7.85kN m 2
建筑物修建以后，建筑 附加应力 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 总应力＝自重应力＋附加应力（引起变形） 重应力基础上增加的压 力。
土中应力
按土骨架和土中 孔隙的分担作用
有效应力
孔隙应力
应力计算时的基本假定：
碎散体 非线性 弹塑性 成层土 各向异性
加载
连续介质 （宏观平均）
x y
b
x
ey
ex
y
b
M y P ex
pP A
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
单向偏心，偏心距ex
pmax
min
6e x P 1 A l
矩形基础上的集中荷载
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
P
L e x y
p max
P L e b x y
p m in 0
条形基础，竖直均布荷载
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0 （1）均布荷载下，基础只能保持 平面下沉不能弯曲，根据柔性基础 沉降均匀时基地反力不均匀的论述， 可以推断基底反力分布： 中间小, 两端无穷大 （2）偏心荷载下，基础沉降为倾 斜面，基底反力为不对称分布。
集中力作用下的应力 分布系数(表3.1)
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
z
3 1 P P 2 [1 ( r / z ) 2 ]5/ 2 z 2 z2
P
σz呈轴对称分布
应力泡
0.1P 0.05P
P作用线上
在r﹥0的竖直线上 在某一水平面上 z等值线-应力泡
基础条件:
• 土类 地基条件： • 密度 • 土层结构等
暂不考虑上部结构的 影响，用荷载代替上 部结构，使问题得以 简化
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0 (1)荷载均布时，p(x,y)=常数 基础变形能完全适应地基表面的变 形基础上下压力分布必须完全相同， 若不同将会产生弯矩，基础沉降中 间大，两头小 (2)如果要使柔性基础沉降趋于均匀， 显然就得增大基础边缘的荷载，减 小中间荷载，这是荷载和反力就应 该变为非均匀分布，p(x,y)常数
线弹性体 （应力较小时）
均质各向同性体 （土层性质变化不大）
线弹性
卸载
εp
εe
E、与位置和方向无关 理论：弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法：解析方法优点：简单，易于绘成图表等
3.1 自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力
假定：
地基为均质的 变形是呈线性的 地基是半无限空间的
3P z 3 3p 0 z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
P p 0 dxdy
y
p0 x
L
b
z
B
0
L
0
d z z (p 0 , m , n )
z cp 0
z
M
m=L/b, n=z/b
(b荷载面的短边宽)
L z c F (b , L , z ) F ( , ) F (m , n ) b b
z t 1p 0
L z t1 F ( b , L , z ) F ( , ) F ( m , n ) b b
矩形面积竖直三角分布荷载角点1 下的应力分布系数(表3.6) 同理角点2下： z t 2 p 0 (表3.6)
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹塑性地基，圆形刚性基础
— 荷载较小 — 荷载较大 — 荷载很大 接近弹性解 马鞍型 倒钟型
砂性土地基
粘性土地基
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
2、基底压力的简化计算：
圣维南原理：
基底压力的 分布形式十 分复杂
在基底下一定深度处引起的地基附 加应力与基底荷载的分布形态无关， 只取决于荷载合力的大小、方向和 作用点位置
土中应力
几个常用名词
1、线弹性体（理想弹性体）
σ
从力学的概念来讲，理想
弹性体就是符合虎克定律
的物体，即物体受荷载作 用时，其应力与应变成直 线关系，卸荷时仍沿此直 线回弹。
ε
2、半无限空间
∞
向两边无限延伸的平面称为为无 限大平面；无限大平面以下的无 限空间称半无限空间 。
y ∞ x
∞
∞
z
∞
3、应力符号的规定
z
矩形竖直向均布荷载角点下的应力分布系数 c(表3.4)
3.3 基地压力 3、基底附加压力
矩形面积竖直均布荷载
任意点的垂直附加应力—角点法
荷载与应 力间满足 线性关系 叠加原理
B C a
A D b
角点计算公式
任意点的计算公式
A B C D • 矩形内： z ( c c c c ) p 0
z y x
3.1 自重应力
K0——静止侧压力系数，它是土体在侧限条件下 有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1 之比， K0与
土层的应力历史及土的类型有关。
正常固结粘土： K0 ＝1－sinφ
对一般地基K0 ＝0.5左右
3.1 自重应力
地面
3 、成层地基自重应力：
1 H1 2 H2 地下水 sz z
p max
p m in 0
P L
pmax
min
P 6e 1 A l
K e
b x
3K
b y p m in 0
K=L/2-e
出现拉力时， 应进行压力调 整，原则：基 底压力合力与 总荷载相等
p max
pmax
e<L/6gt;L/6: 出现拉应力区
1、基底压力分布 基底附加压力计算: 基底附加压力：由建筑物 建造后的基底压力中扣除基底 标高处原有的自重应力后，新 增加于基底的压力。
m 1h1 2h2 nhn / d
p0 p cz p m d
基底附加压力的计算
注意：地下水位以下的重度取有效重度
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
P
α r y M β z M
2 2 2
o
x
x
z zx yz y xy
R
y
2 2
x
z
2
R r z x y z
（P；x,y,z；R, α, β)
包括6个应力分量和3个方向位移的表达式 （教材P50-51）
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
o
P
α x R r
y M β z M
x
z zx yz y xy
x
y
z
其中，竖向应力z：
3P z 3 1 P P z 2 5 2 5/ 2 2 2 R 2 [1 ( r / z ) ] z z
3
多个集中力共 同作用，通过 叠加原理求解
0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力
集中荷载作用下，水平面上作用的竖向应力σz
12 9
z 6
3 0 4 2 y 0 -2 -4 -4 -2 0 x 2 4
例 3.2 z=3m平面上的竖向附加应力
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
均布矩形荷载的附加应力计算：
角点下的垂直附加应力：
条 形
b
p P b
P:单位长度上的荷载
b
Ph P Pv
基础形状与荷载条件的组合
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
M—作用在基础底面的力矩，kN.m
W—基础底面的抵抗矩，m3
P L
P
L
P Mx My p( x , y ) A Wx Wy
M x P ey ;
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
2、地基附加应力： 附加应力是由于修建建筑物之后在地基内新增 加的应力，它是使地基发生变形从而引起建筑 物沉降的主要原因，即由基底附加压力引起。
• 集中荷载作用下的附加应力
• 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 叠加原理 基本解
暂不考虑上部结构的影响用荷载代替上部结构使问题得以简化32基地压力1基底压力分布基础变形能完全适应地基表面的变形基础上下压力分布必须完全相同若不同将会产生弯矩基础沉降中2如果要使柔性基础沉降趋于均匀显然就得增大基础边缘的荷载减小中间荷载这是荷载和反力就应该变为非均匀分布pxy常数条形基础竖直均布荷载弹性地基完全柔性基础32基地压力1基底压力分布1均布荷载下基础只能保持平面下沉不能弯曲根据柔性基础沉降均匀时基地反力不均匀的论述可以推断基底反力分布
• 圆形分布荷载作用下的附加应力
• 影响应力分布的因素
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和固 体力学都有贡献。
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
简化计算方法： 假定基底压力按直线分布的材料力学方法
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
竖直中心
P
竖直偏心
x P y o L b
倾斜偏心
P L b
矩 形
L
pP A
b
P M y M yx p( x, y ) x A Ix Iy
P Pv Ph
P
P
P b
P Mx p( x ) b I
cz2 cz1 2h2 7.85 17.8 2 43.45kN m 2
h3 43.45 18.3 9.8 2 60.45kN m 2 cz3 cz2 3
h4 60.45 16.5 9.8 6 100.65kN m 2 cz4 cz3 4
ab cd cBD cCD cD ) p 0 • 矩形外： z ( c
C
A c
D
B d
3.3 基地压力 3、基底附加压力
矩形面积竖直三角形分布荷载
z
b 0
P
p0
L
0
d z z (p 0 , m , n )
x p 0 dxdy b y
L
2P 3 Kb
矩形面积单向偏心荷载
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
其它荷载:
e P b P Ph Pv
pmax
min
P 6e 1 b b
分解为竖直向和水平向荷 载，水平荷载引起的基底 水平应力视为均匀分布
条形基础竖直偏心荷载
倾斜偏心荷载
3.3 地基附加应力
3.1 自重应力
1、均质土竖向自重应力：
σcz
天然地面
z
y
x
γz
z
1
z
3.1 自重应力
2、水平自重应力：
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还 作用有水平向的侧面自重应力。因为，假定荷载沿任一水平面 上均匀地无限分布，由此地基土在自重作用下只能产生竖向变 形，而不能侧向变形和剪切变形。
1H1 2H2
sz
2 H3
2H
3
分布规律
分布线的斜率是容重 在等容重地基中随深度呈直线分布 自重应力在成层地基中呈折线分布 在土层分界面处和地下水位处发生转折或突变
（水平应力）
3.2 基底压力
1、基底压力分布
上部 结构
建筑物 设计
基础结构 的外荷载 基底反力
基础
地基
材料力学中规定： 法向应力以拉为正，剪应力以顺时针为正； 土力学中规定： 法向应力以压为正，剪应力以逆时针为正。
4、应力状态
土内一点的应力状态是指土内一点各个方向上应力的大小。
5、侧限应力状态
侧向应变为零的一种应力状态，对于侧限应力状态有：
土中应力分类
按起因分
建筑物修建以前， 地基中由土体本身 的有效重量所产生 自重应力（有效） 的应力。
cz4 cz4 h3 h4 w 100.65 2 6 9.8 179.05kN m 2
cz5 cz4 5h5 179.0519.2 3 236.65kN m2
3.1 自重应力
地面
1 H1 2 H2 z 地下水 sz sy sx z
基底压力：基础底面传递给地基表面的
压力，也称基底接触压力。
基底压力 附加应力 地基沉降变形
基底压力既是计算地基中附加应力的外荷
载，也是计算基础结构内力的外荷载，上 部结构自重及荷载通过基础传到地基之中
3.2 基地压力 1、基底压力分布
基底压力的影响因素：
基底压力是地基和基 础在上部荷载作用下 相互作用的结果，受 荷载条件、基础条件 和地基条件的影响
cz i H i
3 H3
sy
sx
容重：地下水位以上用天然容重
地下水位以下用浮容重
3.1 自重应力
4、有不透水层时的自重应力：
3.1 自重应力
5、地下水位升降时自重应力的变化：
σcz
0
原地下水位
变动以后 地下水位
z
3.1 自重应力
例题
cz1 1h1 15.7 0.5 7.85kN m 2
建筑物修建以后，建筑 附加应力 物重量等外荷载在地基 中引起的应力，所谓的 “附加”是指在原来自 总应力＝自重应力＋附加应力（引起变形） 重应力基础上增加的压 力。
土中应力
按土骨架和土中 孔隙的分担作用
有效应力
孔隙应力
应力计算时的基本假定：
碎散体 非线性 弹塑性 成层土 各向异性
加载
连续介质 （宏观平均）
x y
b
x
ey
ex
y
b
M y P ex
pP A
矩形面积中心荷载
矩形面积偏心荷载
单向偏心，偏心距ex
pmax
min
6e x P 1 A l
矩形基础上的集中荷载
3.2 基地压力 2、基底压力简化计算
P
L e x y
p max
P L e b x y
p m in 0
条形基础，竖直均布荷载
3.2 基地压力 1、基底压力分布
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0 （1）均布荷载下，基础只能保持 平面下沉不能弯曲，根据柔性基础 沉降均匀时基地反力不均匀的论述， 可以推断基底反力分布： 中间小, 两端无穷大 （2）偏心荷载下，基础沉降为倾 斜面，基底反力为不对称分布。
集中力作用下的应力 分布系数(表3.1)
3.3 地基附加压力 2、地基附加应力
竖直集中力－布辛奈斯克（Boussinesq）解答：
z
3 1 P P 2 [1 ( r / z ) 2 ]5/ 2 z 2 z2
P
σz呈轴对称分布
应力泡
0.1P 0.05P
P作用线上
在r﹥0的竖直线上 在某一水平面上 z等值线-应力泡