人教版七年级数学下册同步导学案：《二元一次方程组》的复习

《二元一次方程组》的复习
课题：二元一次方程组课型：复习课
导学目标：
1、举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例,抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键,找到相等关系,熟练建模；
2、进一步掌握二元一次方程与一次函数的联系。

导学重难点：
重点：
1、二元一次方程组的解法：加减消元法
2、列二元一次方程组解决实际生活问题；
难点：1、列二元一次方程组解决实际生活问题；
2、几种数学思想——化归思想、方程思想和数形结合思想。

导学环节：
一.自主先学
1．创设教学情景（或知识链接）
直接列方程组解应用题
例一：（2005年北京市人教）夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。

某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃,结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍,而甲种空调节电量不变,这样两种空调每天共节电405度。

求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？
分析：本题有四个未知量：调高温度后甲空调节电量、调高温度后乙空调节电量、清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后乙空调节电量。

相等关系有调高温度后甲空调节电量－调高温度后乙空调节电量＝27、清洗设备后乙空调节电量＝1.1×调高温度后乙空调节电量、调高温度后甲空调节电量＝清洗设备后甲空调节电量、清洗设备后甲空调节电量＋清洗设备后乙空调节电量＝405。

甲种空调每天节电x度,乙种空调每天节电y度,根据前第二个和第三个相等关系可以表示出另外两个未知量,然后根据第一个和第四个相等关系列出两个二元一次方程组成方程组即可
2、典型例题导析：
利用二元一次方程求线段长
例二：（2005年北京市丰台区）用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面,地砖的拼放方式及相关数据如图所示,求每块地砖的长与宽。

分析：本题的未知量有两个,就是每块地砖的长和宽,根据矩形长为60可得一个方程,由于矩形的上下两个对边相等,所以又能得到一个方程,从而组成一个方程组。

2．学法指导分析
利用二元一次方程组解信息题
例三：(2005年日照市)市政府根据社会需要,对自来水价格举行了听证会,决定从今年4月份起对自来水
价格进行调整． 调整后生活用水价格的部分信息如下表：
已知5月份小晶家和小磊家分别交水费19元、31元,且小磊家的用水量是小晶家的用水量的1.5倍． 请你通过上述信息,求出表中的x.
分析：通过小晶家和小磊家所交的水费可知,他们两家用水量都超过 5 m 3,而且用水量不知,因此我们先设小晶家5月份用水y m 3,则小磊家5月份用水1.5y m 3。

可列方程组⎩⎨⎧=-⨯=-⨯31)55.1(2519)5(25y x y x ＋＋,这实际上是一个关于xy 和x 的二元一次方程组,可以解得 ⎩⎨⎧==324x xy ,进而解得⎩
⎨⎧==83y x 。

3．自主学习
利用二元一次方程解不等关系
例四：（2005年湖州市）某高速公路收费站,有m （m>0）辆汽车排队等候收费通过。

假设通过收费站的车
流量（每分钟通过的汽车数量）保持不变,每个收费窗口的收费检票的速度也是不变的。

若开放一个收费窗口,则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口,则只需8分钟也可将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。

若要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过,并使后来到站的汽车也随到随时收费通过,请问至少要同时开放几个收费窗口？
分析：本题有三个未知量：每分钟可收费通过的汽车辆数、每分钟的车流量、需要开放的收费窗口数,而
相等关系只有两个,那就是“若开放一个收费窗口,则需20分钟才可能将原来排队等候的汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过；若同时开放两个收费窗口,则只需8分钟也可将原来排队等候的
汽车以及后来接上来的汽车全部收费通过。

” 题目中还有一个不等关系,那就是：“要求在3分钟内将排队等候收费的汽车全部通过,并使后来到站的汽车也随到随时收费通过”,因此我们可以列出一个由两个二元一次方程和一个一元一次不等式组成的组合。

由两个方程解出两个未知数的值,最后代入不等式,求出收费窗口数的取值范围。

解：设每个收费窗口每分钟可收费通过x 辆汽车,每分钟的车流量为y 辆,又设需要开放n 个收费窗口,才
能在3分钟内将排队等候的汽车全部收费通过,根据题意得：
⎪⎩
⎪⎨⎧•≤+⨯=+=+③②①x n y m x y m x y m 338282020 由①、②可得：m x 403=,m y 401=④ 将④代入③得：m n m m 409403•≤+
∵ m > 0,∴n ≥9
43,n 取最小正整数,∴ n ＝ 5 答：至少要开放5个收费窗口。

4．组内交流质疑
利用二元一次方程解决一次函数问题
例五：(2005年黑龙江)某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池,将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入
乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式；
(2)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3)求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．
分析：(1)我们可以设y 甲=k 1x+b 1．把(O,2)和(3,0)代人,解得k l =-23,b l =2,∴ y 甲=-23
x+2,设y 乙=k 2x+b 2． 把(0,1)和(3,4)代入, 解得k 2=1,b 2=1,∴ y 乙=x+1
(2)要求甲、乙两个蓄水池水的深度相同,实际上是求两个一次函数的交点坐标,将两个一次函数联
立起来组成一个二元一次方程组,方程组的解就是两个一次函数的交点坐标。

方程组为：
⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=1
232x y x y 解得x=35．所以注水35小时甲、乙两个蓄水池中水的深度相同 (3)我们可设甲蓄水池的底面积为S 1,乙蓄水池的底面积为S 2,t 小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．根据题意,得2S l =3×6, (4-1)S 2=3×6,从而解得S l =9、
S 2=6,又因为S 1（-23
t+2）=S 2（t+1）,所以解得t=1。

从而 注水1小时甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同
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二.展示后教
1．小组汇报交流,展示质疑问题
一个通讯员骑摩托车要在规定的时间内把文件送到目的地.如果他骑摩托车的速度是每小时36千米,结果将早到20分钟,如果他骑摩托车的速度是每小时30千米,就要迟到12分钟.求规定时间是多少？这段路程是多少？
2．教师精讲点拨,解决质疑问题
一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车,已知过去租用这两种货车的情况如下表：
现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付费30元计算,问：货主应付运费多少元？
三.检测反馈
1．课堂达标练习
1)有一个专项加工轴杆和轴承的车间,一个工人每天平均可以加工轴杆12根,或者加工轴承15个,车间共有90人,应怎样分配人力,才能使每天生产的轴杆和轴承正好配套？
2)有一批机器零件共418个,若甲先做2天,乙再加入合作,则再做2天可超产2个；若乙
先做3天,然后两人再共做2天,则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？
3).某厂第二车间的人数比第一车间的人数的5
4少30人.如果从第一车间调10人到第二车间,那么第二车间的人数就是第一车间的
4
3.问这两个车间各有多少人？ 2．学习小结提升
1）．本节课你学习了什么？
2）．这节课你有哪些收获？应注意哪些问题？。