人教版九年级数学上册《24章 圆 小结 习题训练》优质课教案_4

利用扇形公式求阴影部分的面积
（教学设计）
教材分析
本节课的教学内容是义务教育课程标准人教版九年级下册第24章《圆》中的“扇形的面积”基础上进行的一节拓展延伸课。

本课运用扇形面积公式求阴影部分的面积，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。

近年来各地中考中频频出现求阴影部分面积的考题。

这类试题主要考查同学们的观察分析能力、图形变换能力和综合运用知识的能力，不少同学对此类问题往往展不开思路，因找不到图形之间的关系而无法解答。

学情分析
初三学生有一定的知识水平和自主学习、解决问题能力，在此基础上通过教师引导，学生自主发现探索利用扇形面积计算公式求阴影部分的面积，运用公式解决由静态的面积问题到动点的面积问题。

由易到难，逐层深入，培养学生的抽象逻辑推理的数学核心素养。

教学目标
1、知识与技能：利用扇形面积公式学会求阴影部分面积的一般方法，并且灵活运用“和差法”、“拼凑法”和“转化法”。

过程与方法：
2、通过扇形面积公式的灵活运用学会求不规则图形的面积的一般方法，发展学生分析问题、解决问题及计算的能力。

情感态度和价值观：
3、深入的理解化归的数学思想，体会到数学的灵活性、多变性,以不变应万变，发展学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力。

教学重点和难点
教学重点：利用扇形面积公式学会求阴影部分面积的一般方法
教学难点：如何灵活运用扇形面积公式求阴影部分面积
教学准备：多媒体课件
教学过程
一、课前练习
1、已知扇形的半径为6cm,圆心角为150°，则此扇形的弧长为，扇形面积为
2、已知扇形的半径为3，面积为3π，则扇形的圆心角为，扇形的弧长为
3、如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框
ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝
的粗细），则所得的扇形ABD的面积为
师：今天我们来介绍利用扇形面积公式求阴影部分的面积的几种方法，这部分知识点在中考中，一般出现在填空题的最后一题或者七分题的最后一问。

那我们先来回顾一下上节课的知识点。

设计意图：让学生明确知识点在中考中的地位与分值，做到心中有数。

二、知识回顾
1、弧长公式：L=
2、扇形的面积公式: S = =
师：那我们先来讲解一下刚才课前的那几道练习题。

设计意图：充分利用课前五分钟，课前热身，为新课的学习做准备。

那我们先来看一道例题。

三、讲授新课
方法一：和差法
例1、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，
以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积
是 ____________ （结果保留π）
师生总结：1、将不规则的面积转换为规则图形的面积
2、和差法（注意：大面积-小面积）
师：现在，我们就利用“和差法”来做一道练习题。

练习1、例1、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
AC=1，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部
分的面积是______
（结果保留π）．
设计意图：从直观的图形入手，培养学生的直接观察能力。

通过例题的讲解和练习题的巩固，熟练掌握和差法以及使用和差法要注意的问题。

方法二：拼凑法
师：另一道有关直角三角形与扇形面积有关的题目，看看能不能用刚才的方法来求解呢?还是有另外更加快捷的方法呢？
例2、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4，点D是线
段AC的中点，分别以点A，C为圆心，AD为半径画弧，
分别交AB，BC于点E，F．则阴影部分面积为________
（结果保留π）．
师提出问题:
问题1、两个扇形相加，其实就是将两个阴影部分的面积加
起来，那这道题除了这种方法，还有没有其他方法。

问题2、若过点A做直线l //BC，然后将下面这块扇形移到上面去，我们发现
2。

这两块扇形拼成了一个大扇形，圆心角是90°，半径为2
问题3、若∠B不再是90°了呢？而是80°，两个扇形的半径相等，那这两个扇形能否进行拼凑呢？
设计意图：通过教师的层层引导，学生自主探究，从原有的和差法中找到拼凑法，培养了学生的分析解决能力，也体现了数学的化归思想。

师:那接下来，我们来考考大家的眼力。

观察这3个扇形有什么相同的地方？
生：半径相等
师:那半径相等，需不需要单独算
练习2、如图,A、B、 C两两不相交,且半径都是1cm,
则图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和为____
（结果保留π）
师：以此类推，下面这个四边形例的四个小扇形是否也可以进行拼凑呢？
(我们之前学过四边形的内角和为360°)
练习3、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交，
且半径都是2cm，则图中阴影部分的面
积为______（结果保留π）
设计意图：通过教师的层层引导，学生自主探究，从原有的和差法中找到拼凑法，培养了学生的分析解决能力，也体现了数学的化归思想。

师：接下来我们来看一道难道稍微高一点的题，
这是一道13年的广东中考题。

3个扇形有什么相同之处。

生：半径相等，都为1.
师：求阴影部分的面积需不需要单独算出来？
那不需要的话，你要怎么做？
练习4、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是_____ ．（结果保留π）
师：那这节课，我们已经学习了2种求阴影部分面积的方法，一种是加减法，一种是和差法。

那现在我们就用这两种方法来求下面这个阴影部分的面积。

那现在先分析一下这道题。

这 3个扇形有什么特点？圆心角···
设计意图：在教师问题引导下，通过两种方法的综合运用，
让学生明白解决数学问题的灵活性，从而解决本节课的重
难点，并体会到学习数学知识，解决数学问题的乐趣。

练习5、如图，正三角形ABC的边长为2, D,E,F分别为BC、CA、AB的中点，以A,B,C三点为圆心，1为半径做圆，则图中阴影部分的面积为 ___________（结果保留π）
连接AD由“三线合一”知，AD⊥ BC，所以BD=1，由勾股定理得AD=3。

师：通过这道题，我们知道，这道题既用了加减法，又用了拼凑法，有时候一道题可以综合多种方法求解，甚至还可以寻求更为简捷但又合理的方法。

那现在我们来看下一道例题，除了使用刚才的两种方法外，还有没有第3种方法呢？甚至更多的方法呢？
师提出问题：
问题1：阴影部分是不是扇形？由组成圆心角的2条半径和圆心角组成的图形叫做扇形。

问题2：要求的阴影部分规不规则，不规则那怎么办，
生：可以转换为规则的图形，可以切割为一个弓形和一个三角形。

问题3：弓形怎么算？三角形呢？
问题4：△ACD与△CDO有什么联系？
由弧相等推得圆心角相等，圆周角相等
方法三：转换法
例3、己知直径AB=10，点C、D是半圆的三等分点，则阴
影部分的面积是_______.
（结果保留π）
根据平行线间的距离“相等”，再利用“同底等高”的三角形面积相等进行转化求值。

变式：
练习6、己知直径AB=10，点C、D是半圆的三等分点.P为直径
AB上一动点,则点P在运动的过程中，图中阴影部分的面积的
大小会有变化吗?若有变化，怎么变化？若没有变化，那阴影
部分的面积是多少？
生：因为CD 与 AB平行，所以直径AB上的点到CD的距离相等，所以点P到CD 距离与O点到CD的距离相等，所以△PCD与△COD是同底等高。

师：P在直径AB上运动，也就是P点是在圆内运动。

那这个点运动到圆外呢，变式的结论还成立吗？
练习7、如图，A是半径为1的⊙O外一点，且OA=2，AB
是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积
为 .
设计意图：利用“同底等高”的三角形面积相等进行转化求出阴影部分的面积。

通过例题中阴影部分面积的转换再到练习中的动点面积的变化，由静态的面积的转换到动态的面积的转换，既培养了学生的数学观察分析能力，又培养了学生的逻辑推理能力，从而提高了学生的数学素养。

四、课堂小结
1、 法
2、 法
3、 法
注意： 在求阴影部分图形的面积问题时，要善于 ，具体问题具体分析，从而选取一种 、 的方法。

五、作业
1、课本P113 练习第2题 、 P115 练习第4题
2、练习册《新课程》P75 “中考链接”
六、板书设计
§24．利用扇形面积公式求阴影部分的面积
一、回顾知识 例1、
弧长公式：
扇形的面积公式： 例2、
S 扇＝360n πR 2 =12
lR 二、新课 例3、
求阴影部分面积的方法：
和差法、拼凑法、转换法
三、作业
七、教学反思
（一）背景分析：近年来各地中考中频频出现求阴影部分面积的考题。

这类试题主要考查同学们的观察分析能力、图形变换能力和综合运用知识的能力，不少同学对此类问题往往展不开思路，因找不到图形之间的关系而无法解答。

（二）设计意图：这堂课是安排在学习了扇形的弧长公式和扇形的面积公式之后，针对B 班的学生计算能力薄弱、图形观察、整合能力较差的学情，专门设计的一
节课拓展延伸课。

虽然这堂课的知识点在中考中只是在填空题的最后一题或者7分题的第2问，分值为3-4分。

但我们学习数学不单单是为了应试，为了中考的几分题而上课。

应是着力于培养学生的数学能力，提高学生抽象逻辑推理能力，从而响应素质环境下提出的数学核心素养。

基于我校实行分层教学，将学生按照1:2：1的比例分为A、B、C三层。

我目前教的是B班，班里学生最高分有90分，最低分为45分，平均分大概是60~70分之间（满分是120分），这个知识点对于他们来说已经挺难的了。

而我从学生的实际学习能力出发，争取将这个知识点吃透，所以为他们量身定做了这样的一节课。

（三）不足之处：
1.由于安排的内容较多，时间较赶，没能多下去走动，未能充分地学生指导学生。

2.教室黑板还有可以利用的地方，可以多一点板书，特别是几何语言的板演。

3.同一类题目不用讲得太详细，这样可以为后面节省时间。

4.例1与例2都选取了直角三角形，可以选取一个特殊三角形和一个一般的三角形，作为对比。

5.例3因为提问学生，花的时间比较多，得出“同底等高”的结论，可以直接利用到练习中，顺水推舟，可以节省时间留给练习。