2022年四川省遂宁市高考数学三诊试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则z在复平面内对应的点是( )
A. B. C. D.
3.游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”．某市青少年健康管理委员会对该市下学年度青少年上网打《王者荣耀》的情况进行统计，作出如下人数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是( )
A. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数呈周期性变化
B. 这半年中，青少年上网打《王者荣耀》的人数不断减弱
C. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，10月份的方差小于11月份的方差
D. 从青少年上网打《王者荣耀》人数来看，12月份的平均值大于1月份的平均值
4.下列说法正确的是( )
A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B. 若是R上的奇函数，则的图象的对称中心是
C. 已知a，b为实数，则的充要条件是
D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”
5.若的展开式中的系数为，则( )
A. 2
B.
C.
D.
6.若变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. B.
C.
D.
8.等差数列的公差为正数，记前n 项和为
，若
，
，则( )
A.
B.
C.
D.
9
.已知双曲线E ：
的左、右焦点分别为
、
，直线
与E 两条渐近线的左、
右交点分别为A ，B ，若四边形的面积为11ab ，则双曲线的离心率为( )
A. B. C.
D.
10.已知，则( )
A.
B.
C.
D.
11.图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，
则该几何体的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
12.已知x ，y 满足，
其中e 是自然对数的底数，则( )
A.
B.
C.
D. e
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知平面向量，
，若
，则
______.
14.正方体
中，点H 为的中点，则AH 与
所成角的正弦值是______.
15.德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，
就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对
…
的求和运算中，提出了倒
序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯
算法，现有函数，设数列满足
，若存在使不等式
成立，则k的取值范围是______.
16.已知抛物线C：的焦点F与圆E：的圆心重合，直线l与C交于
、两点，且满足其中O为坐标原点且A，B均不与O重合，对于下列命题：
①，；
②直线l恒过定点；
③A，B中点轨迹方程：；
④面积的最小值为
以上说法中正确的有______
三、解答题：本题共7小题，共82分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题12分
2022年3月“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义，遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查每位市民只能参加
一次，随机抽取年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，
其分组区间为：把年龄落在区间和内的人
分别称为“青少年人”和“中老年人”．
若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的列联表，根据列联表，判定是
否有的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
由结果，从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取6人，从这6人中选3人进行专访，这3人关注两会人数为X，求X的分布列和期望．
关注不关注合计
青少年人15
中老年人
合计5050100
附：
18.本小题12分
已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①：的最小值为；
条件②：图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点；
求的解析式；
在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，求周长的最大值．
19.本小题12分
如图1所示，四边形CDMN为梯形，且，，E为AD中点，，
，现将平面沿AD折起，沿BC折起，使平面平面ABCD，且
M，N重合为点如图2所示
证明：平面平面PBC；
求二面角的余弦值．
20.本小题12分
已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，左顶点、下顶点分别为A、B，离心率，坐标原点O到直线AB的距离为，过且斜率为的直线l与C交于P，Q两点．求C的标准方程；
令P，Q的中点为N，若存在点，使得，求k的取值范围．
21.本小题12分
已知函数为的导函数
讨论单调性；
设，是的两个极值点，证明：
22.本小题10分
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程：为参数以坐标原点为极点，x轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：，P点极坐标为且在l上．求C的普通方程和l的直角坐标方程；
若l与C交于A，B两点，求
23.本小题12分
已知函数
求不等式的解集；
若在上恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，解一元二次不等式，是基础题．
求出集合A，利用交集定义能求出
【解答】
解：集合，
又，
则
故选：
2.【答案】B
【解析】解：，
在复平面内对应的点是
故选：
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D
【解析】解：对于A，由走势图可得，青少年上网打《王者荣耀》的人数没有周期性变换，故A错误，对于B，从2月开始，青少年上网打《王者荣耀》的人数上升，故B错误，
对于C，去年10月份波动较大，方差大，去年11月波动较小，
故去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误，
对于D，由走势图可得，12月份的平均值大于1月份的平均值，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合走势图，即可依次求解．
本题主要考查走势图的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故A错误；
对于B：若是R上的奇函数，函数的图象关于对称，
则的图象的对称中心是对称，故B正确；
对于C：已知a，b为实数，则的充分不必要条件是，故C错误；
对于D：命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”，故D错误；
故选：
利用命题的否定和否命题的关系，奇函数的性质，充分条件和必要条件，判断各选项即可．
本题考查的知识要点：命题的否定和否命题的关系，奇函数的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：的展开式的通项公式为，
所以的系数为，解得
故选：
由二项展开式的通项公式可得的系数，再根据的系数为，求出a的值．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
联立，解得
作出直线，由图可知，平移直线至A时，有最小值为，
至B时，有最大值为
的取值范围为
故选：
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7.【答案】D
【解析】解：，，，
，，
故选：
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8.【答案】C
【解析】解：设等差数列的公差为，
由，，得，即，
又，所以，
所以，
所以
故选：
根据，可得，进一步利用，，可求出该数列首项与公差d的值，再求出
本题考查等差数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设，则，即，
因为四边形的面积为11ab，所以，
整理得，
则，，
解得或舍，
因为，
所以
故选：
设，由得出，再由梯形的面积公式得出，最后由离心率公
式求解即可．
本题考查了双曲线的离心率，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：
，
设，则，则，
则
，
故原式，
故选：
利用换元法以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的三角公式以及倍角公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
11.【答案】D
【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2和3，高为3的四棱锥．
如图所示：
故外接球的半径R满足；
解得：，
所以；
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出四棱锥的外接球半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：由，可得，即，
由，可得，即，
，，
，是方程的根，即，是方程的根，
设，则在上单调递增，
，即，
整理得，即，
，
故选：
由，可得，由，可得，则，是方程的根，再由的单调性可知，最后结合对数的运算性质即可求出结果．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：平面向量，，，
，，
故答案为：
由题意，利用两个向量垂直的性质，列方程求出m的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：正方体中，的中点即为对角线与的交点，
如图：
因此AH与所成角即与所成的角，即，
由于平面，平面，所以，
，
故答案为：
在正方体中找到AH与所成的角，然后在直角三角形中求解．
本题考查异面直线所成角的求法，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
，
…，
，，
不等式，即不等式，化为的最小值，
，
经过计算，时，取得最小值，，
，
的取值范围是
利用倒序相加法可得，再利用基本不等式即可得出k的取值范围．
本题考查了倒序相加法、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】①②④
【解析】解：由题意圆E：的标准方程是，圆心为，半径为1，所以抛物线的焦点为，，，抛物线方程为，
直线AB斜率不为0，设方程为，
由，得，，即，
所以，，
，
或否则直线AB过原点，
所以，
直线l方程为，过定点，
设AB中点为，
则，，消去参数t得，
，
原点O到直线AB的距离为，
所以，
所以时，为最小值．正确答案有①②④，
故答案为：①②④．
求出圆心坐标得抛物线焦点坐标，从而得抛物线方程，直线AB斜率不为0，设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得n，然后可得，并能得出直线l所过定点坐标，设AB中点为，结合韦达定理的结论可求得中点轨迹方程，由两点间距离公式求得
，再求得原点到直线l的距离d可得三角形面积，从而得最小值．
本题主要考查轨迹方程的求解，抛物线中的定值问题，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
17.【答案】解：依题意可知：“青少年人”共有人，
“中老年人”共有人，完成的列联表如下：
关注不关注合计
青少年人153045
中老年人352055
合计5050100
结合列联表的数据得：
，
因为，，
所以有超过的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会；
依题意，青年人关注两会15人，不关注两会30人，
抽取6人，关注两会2人，不关注两会4人，
所有X的可能值为0，1，2，
所以，
故随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以
【解析】根据题目所给数据，填写好表格，根据公式计算，再判断即可；
由分层抽样的性质得出关注两会2人，不关注两会4人，得出所有X的可能值，再计算相应概率，列出分布列计算数学期望即可．
本题考查了独立性检验，频率分布直方图的应用和离散型随机变量及其分布列与期望，属于中档题．
18.【答案】解：因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期，
所以，
选择条件①②：
由的最小值为，知，
又图象的一个对称中心为，
所以，所以，，
因为，所以，
故的解析式为
选择条件①③：
由的最小值为，知，
又的图象经过点，
所以，所以或，，
解得或，，
因为，所以，
故的解析式为
选择条件②③：
因为图象的一个对称中心为，
所以，所以，，
因为，所以，
又的图象经过点，所以，即，所以，
故的解析式为
由知，
所以，
由余弦定理知，，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故周长的最大值为
【解析】易知最小正周期，由，可得，
条件①②：由的最小值可得，由，代入运算，可得的值，得解；
条件①③：由的最小值可得，由，代入运算，可得的值，得解；
条件②③：由，代入运算，可得的值，再由，可得A的值，得解；
利用中的解析式可求得，再结合余弦定理与基本不等式，即可得解．
本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，余弦定理，以及基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：，，E为AD 的中点，
是等腰三角形，且，即，
平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，
平面ABCD，又平面ABCD，，
，且，四边形BCDE是正方形，，
，平面PBE，
平面PBE，平面平面PBC；
以E为坐标原点，EA，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，
设平面PAC的一个法向量为，
则，令，则，
平面PAD的一个法向量为，
则，
二面角的余弦值为
【解析】先证明，再由平面平面ABCD，得到平面ABCD，则，再由
四边形BCDE是正方形，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
以E为坐标原点，EA，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：椭圆的离心率，整理得：，
坐标原点O到直线AB的距离为，
由的面积公式可知：，
，即，即，
即，解得，则，
椭圆C的方程为；
设，，，直线PQ的方程为，，
由得，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，，，
，，
整理得，由解得k的范围是
【解析】根据椭圆离心率和面积列出两个方程，再结合a、b、c关系即可求出椭圆方程；
设，，，直线PQ的方程为，联立直线方程与椭圆方程，
利用韦达定理和中点坐标公式用m、k表示出N点坐标，根据得，由此得到m和k
的关系，用k表示出m，根据m的范围即可解出k范围．
本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：，
定义域是，，
，令，，
①当时，恒成立，所以在单调递增，
②当时，令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减，
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减；
，是的两个极值点，
，是的两根，且，
，，
，
，
要证，只需证明，
即证明，
即证明，
即证明，
即证明，
不妨设，
则，
令，则，
令，
则，
在单调递增，
，
成立，即成立，
原结论成立．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．
求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
求出，问题转化为，设，问题转化为，令
，则，令，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．
22.【答案】解：曲线C的参数方程：为参数，转换为普通方程为
；
直线l的极坐标方程：，根据，转换为直角坐标方程为
；
点P极坐标为转换为直角坐标为，故直线l的参数方程为为参数，
代入，
得到；
所以
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：因为，
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，此时不等式无解；
当时，不等式等价于，解得
故不等式的解集为
在上恒成立，
即在恒成立，
对，
当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减，
又在区间上是连续函数，
故，
故，
即a的取值范国为
【解析】根据x的取值范围的不同，分段求解不等式即可；
分离参数，再求在区间上的最小值，即可求得a的取值范围．
本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．。