江苏省镇江市镇江一中2020届高三上学期期初考试数学试题 Word版含解析

江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试
数学试卷
2019．9
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}
2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A I B ＝ ． 答案：{0，1} 考点：集合的运算 解析：∵2x <， ∴22x -<< ∴A ＝{}
22x x -<< ∵B ＝{﹣2，0，1，2} ∴A I B ＝{0，1}
2．已知i 是虚数单位，则复数2
12i
(2i)2i
++-对应的点在第 象限． 答案：二 考点：复数 解析：∵2
12i (12i)(2i)
(2i)44i 2i (2i)(2i)
++++
=-+=-+--+， ∴该复数对应点在第二象限
3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2
）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ． 答案：0.4
考点：方差与标准差
解析：这组样本数据的平均数为：x ＝
1
5×(9.4＋9.2＋10＋10.6＋10.8)＝10 ∴这组样本数据的方差为：S 2＝15
×[(9.4﹣10)2＋(9.2﹣10)2＋(10﹣10)2
＋(10.6﹣
10)2
＋(10.8﹣10)2
]＝0.4
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．
答案：10
考点：伪代码（算法语句）
解析：模拟程序的运行过程，得：s=1，i=1，满足条件i ≤5，执行循环s=1+1=2，i=3满足
条件i ≤5，执行循环s=2+3=5，i=5满足条件i ≤5，执行循环s=5+5=10，i=7此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出s=10．故答案为：10．
5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2
＝9相交”发生的概率为 ． 答案：
34
考点：几何概型
解析：∵直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2
＝9相交
3<
解得3344
k -
<< 则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2＋y 2
＝9相交”发生的概率P ＝3
22＝34
．
6．已知函数ln 20
()0x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩
，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝ ．
答案：﹣1
考点：分段函数，函数求值
解析：2(())(1)1a f f e f a ==-=-+，求得a ＝﹣1．
7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨>⎩
是命题q ：3
3x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不
必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）
答案：必要不充分条件 考点：简易逻辑，充要条件
解析：本题p 推不出q ，但q ⇒p ，所以p 是q 的必要不充分条件．
8．已知函数1(12)31
()21x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩
，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ．
答案：[0，
12
) 考点：函数的值域
解析：要使原函数值域为R ，则1201231
a a a ->⎧⎨-+≥⎩，解得0≤a ＜1
2．
9．若a ＝21.4
，b ＝80.2
，c ＝2log 4
1
()
2
-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．
答案：c ＞a ＞b
考点：指数函数
解析：a ＝21.4
，b ＝80.2
＝20.6
，c ＝2log 4
1()
2
-＝24
，因为4＞1.4＞0.6，所以c ＞a ＞b ．
10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2
()
5
a f m --＞2
(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．
答案：112
m ≤<
考点：单调性与奇偶性相结合
解析：由函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，得2﹣a ＋3＝0，所以a ＝5． 所以2
()5
a f m --＞2(22)f m m -+-，即2(1)f m --＞2
(22)f m m -+- 由偶函数()f x 在[﹣3，0]上单调递增，而2
1m --＜0，2
22m m -+-＜0
∴22
223103220122
m m m m m m ⎧-≤--≤⎪-≤-+-≤⎨⎪-->-+-⎩
，解得112m ≤<．
11．已知P 是曲线211ln 42y x x =
-上的动点，Q 是直线3
24
y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ． 答案：
62ln 25
- 考点：导数与切线 解析：当曲线211ln 42y x x =
-在点P 处的切线的斜率为34，且PQ ⊥直线3
24
y x =-时，PQ 最小，由213
24x y x -'==，解得x ＝2（负值已舍），此时切点P(2，1﹣ln 22)，求得点P 到直线324y x =-的距离为62ln 25-，所以PQ 的最小值为62ln 25
-． 12．若正实数m ，n ，满足22
6m n m n
+++=，则mn 的取值范围为 ．
答案：[1，4]
考点：基本不等式
解析：设mn ＝t
，则226t t m t m +++=≥，解得1≤t ≤4，其中当m ＝n
时取“＝”．
13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范
围是 ．
答案：(0，
132
) 考点：函数与方程
解析：思路一：原方程可转化为2
232
11452301x x x a x x x
-⎧-≥⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩, , 恰有4个不同的正根，根据数
形结合画图后即可求得0＜a ＜
1
32
． 思路二：原方程可转化为211
2(
)40x x a x x
---+=恰有4个不同的正根，从而转化为方程2
240t t a -+=在(0，1)有两个不等的根，则有1320
40140a a a ->⎧⎪>⎨⎪+>⎩
，解
得0＜a ＜
132
． 14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·()g x '＜0在区间I 上恒成
立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数3
1()2(0)3
f x x ax a =
->与()g x =2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．
答案：
12
考点：利用导数研究函数的性质，不等式 解析：∵3
1()2(0)3
f x x ax a =
->，()g x =2x 2bx +， ∴2
()2f x x a '=-，()22g x x b '=+；由题意得()f x '·()g x '＜0在(a ，b )上恒成
立，∵a ＞0，∴b ＞a ＞0，∴22x b +＞0恒成立，∴2
2x a -≤0恒成立，
即x
0＜a ＜x ＜b ，∴b
0＜a
0＜a ≤2；则b ﹣a
a
＝2122-+，当a ＝12取最大值12
． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
己知集合A ＝{}
2
320x x x -+≤，集合B 为函数2
2y x x a =-+的值域，集合C ＝
{x }240x ax --≤．命题p ：A I B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．
（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围． 15．
16．（本小题满分14分）
已知函数2()(0)1
x
f x x x =
>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数； （2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；
（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为4
3
-，求实数a 的值． 16．
（3）实数a
27
． 17．（本小题满分14分）
已知函数1
()212
x
x f x =+
-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；
（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围． 17．解：（1）∵()(2)f x f x ≥
∴2211212122x
x
x x
+
-≥+- 化简得：211(2)(2)2022x x
x x +-+-≤
即11(22)(21)022x x
x x +-++≤
∵1212x
x ++＞0
∴1222
x
x +-＜0
即2(21)0x -≤，又2(21)0x -≥，∴2
(21)0x -=，∴x ＝0 ∴不等式()(2)f x f x ≥的解集为{1}． （2）要使不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，
则222112112(2)922112222x x
x x x x x x
k +
-+++<=
++恒成立， 令122x
x t =+，t ≥2，则min 9()6k t t
<+=（当且仅当t ＝3时取“＝”）
∴实数k 的取值范围是k ＜6．
18．（本小题满分16分）
设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，
()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．
（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值； （2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围． 18．
（1）
所以3
()f x x x =-，则2
()31f x x '=-，令()0f x '=
求得3α=
，33
β=- ∴()f α·3333334
()[(
)][()]333327
f β=--+=-． （2）
19．（本小题满分16分）
下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且点P 对两塔顶的视角为135°．
（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
19．
20．（本小题满分16分）
已知函数()x
f x e =，()
g x ax b =+，a ，b ∈R ．
（1）若(1)0g -=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2
()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围． 20．。