衡阳市八中高三第三次月考试题卷.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
衡阳市八中2017届高三第三次月考试题卷
理科数学
(考试内容: 集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数、向量、复数、数列)
命题人：赵永益 审题人：仇武君
考生注意：本试卷满分150分，考试用时120分钟 。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数z 满足2iz =,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ ）。

A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 2．“=
6
π
α”是
3
tan 3
α=“”（ ）条件。

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 D. 既不充分也不必要 3.下列函数中,在区间(1,+¥)上为增函数的是( )
A ．21x
y =-+ B ．1x
y x
=
- C ．
12
log (1)y x =- D ．2(1)y x =--
4．已知正项数列{}n a 中，222
121161,2,2(2),n n n a a a a a n a +-===+?则等于 ( )。

A ．16
B ．8
C ．22
D ．4
5.若向量,3
a b p 的夹角为，且2,a =1,b =则a a b 与+2的夹角为（ ）。

A.6p B. 3
p
C. 23p
D. 56p
6．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式
x x f x f 2)()(+-<的解集为（ ）。

A ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-
122
022|x x x 或 B ．⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122
221|x x x 或 C ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<-
<≤-220221|x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且7. 在函数2222sin sin
cos sin cos 3322
x x
y x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为( )。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8.设函数21()l o g ,21x f x x =
+-定义121
()()(),n n S f f f n n n
-=++
+其中n N ?，
2n ³,则n S 等于（ ）。

A.
(1)2n n - B. 21
log (1)2n n --- C. 12n - D. 21log (1)2
n n -+-
9.已知点A ，B ，C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB BC ^.若点P 的坐标为（2，0），则
PA PB PC ++的最大值为（ ）。

A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
10.已知函数()sin()(,,f x A x A w j w j =+均为正的常数）的最小正周期为p ，当
23
x p
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）。

A.(2)(2)(0)f f f <-< B.(0)(2)(2)f f f <<- C. (2)(0)(2)f f f -<< D.(2)(0)(2)f f f <<-
11.已知函数2
()ln(1)f x
a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p,q,且p q ¹
，不等式
(1)(1)
2f p f q p q
+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）。

A. (12,30]
B.(,18]-?
C. [18,)+?
D.(12,18]-
12．已知2
()ln (01).x
f x a x x a a a =+->?且若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ ）。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．2±
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13.已知sin 2cos 0x x +=，则2
sin 1x +=________________.
14．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，
大鼠日一尺，小树也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？题意是：”有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则
n S =______________尺.
15．已知函数()cos ,(
,3)2
f x x x π
π=∈,若方程()f x m =有三个不同的实根,且从小到大依
次成等比数列,则m 的值为_____________ .
16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ÎR,都有
()()()f x y xf y yf x =+g 成立。

数列{}n a 满足()3()n n a f n N +=?,且13,a =则数列的
通项公式为n a =_________.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.）
17.（本小题满分10分）已知函数()(,,01)x
f x k a k a a a 为常数且的-=>?
g 图像过点A
（0，1），B （3，8）. (1)求实数k,a 的值； （2）若函数()1
(),()1
f x
g x f x -=+试判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由.
18．（本小题满分12分）已知A ,B ,C 三点的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，(cos ,sin )C αα，
其中3(,)22
ππ
α∈．（1）若AC BC =，求角α的值；
（2）若1AC BC =-，求tan()4
π
α+的值．
19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，122,3a a ==，且1123(2)n n n a a a n +-=+? （1）设1n n n b a a +=+，证明{}n b 是等比数列。

(2)求数列{}n a 的通项公式。

20．（本小题满分12分）如图1，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB ，设其长度为d ，在A 点处测得P 点的仰角为α，在B 点处测得P 点的仰角为β。

(1)若AB ＝40, α＝30︒,β＝45︒,且∠AOB ＝30︒， 求建筑物的高度h ；
(2)经分析若干测得的数据后，发现将基线AB 调整到 线段AO 上(如图２), α与β之差尽量大时，可以 提高测量精确度，设调整后AB 的距离为d ， tan β＝
4
d
，建筑物的实际高度为21，试问d 为何值时， β－α最大？
21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中 每一行的第一个数1247,,,,a a a a K 构成等差数列{}n b ，n S 是n b 的前n 项和，且
1151,15.b a S ===
(1) 若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列， 且公比相等，已知916,a =求50a 的值； 1a (2) 设1
2
2111
...,.n n n n n
T T S S S ++=
+
++
求 2a 3a β
α
O
A
B
P
图1
图2
α
β
A
O
P
B
4a 5a 6a
22．（本小题满分12分）已知二次函数2
()(,r x x ax b a b =++为常数，,)a R b
R 挝的一
个零点是a -，函数()ln ,g x x =e 是自然对数的底数，设函数()()().f x r x g x =- （1）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，证明切点的横坐标为1； （2）令()
(),x f x F x e
=若函数()F x 在区间（0,1〕上是单调函数，求a 的取值范围。