高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)课时提升作业1 新人教A版必修4

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·天津高一检测)若tanα=3，tanβ=，则tan(α-β)=( )
A.-3
B.-
C.3
D.
【解析】选D.tan(α-β)===.
【补偿训练】已知tanα=，tanβ=，并且α，β均为锐角，则α+2β的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为tanα=<1，tanβ=<1，且α、β均为锐角，所以0<α<，0<β<.所以0<α+2β<.又tan2β==，所以tan(α+2β)
===1.所以α+2β=.
2.已知tan=2，tan=，则tan(α+β)=( )
A.8
B.
C.12
D.
【解析】选C.因为tan=2，tan=，
所以tan(α+β)=tan
===12.
3.tan10°tan20°+(tan10°+tan20°)的值等于( )
A. B.1 C. D.
【解析】选B.因为=tan30°=，
所以tan10°+tan20°=(1-tan10°tan20°).
所以原式=tan10°tan20°+1-tan10°tan20°=1.
【补偿训练】已知tanα+tanβ=2，tan(α+β)=4，则tanα·tanβ=________.
【解析】因为tan(α+β)=，
所以1-tanαtanβ===，
所以tanα·tanβ=1-=.
答案：
4.(2015·绵阳高一检测)设向量a=(cosα，-1)，b=(2，sinα)，若a⊥b，则tan等于( )
A.-
B.
C.-3
D.3
【解析】选B.因为a⊥b，所以a·b=(cosα，-1)·(2，sinα)=2cosα-sinα=0，所以tanα==2，
所以tan===.
5.在△ABC中，若0<tanBtanC<1，则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状不能确定
【解题指南】可借助公式T(α±β)，也可以采用切化弦求解.
【解析】选B.由条件知，tanB>0，
tanC>0，1-tanBtanC>0，
所以tan(B+C)=>0.
所以B+C为锐角，从而A为钝角.
【一题多解】选B.因为0<tanBtanC<1，
所以B，C均为锐角，
所以<1，所以cos(B+C)>0，
所以cosA<0，所以A为钝角.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.tan105°=________.
【解析】tan105°=tan(60°+45°)
======-2-.
答案：-2-
【补偿训练】=________.
【解析】原式=
=
=tan(45°-15°)=tan30°=.
答案：
7.(2015·江苏高考)已知tanα=-2，tan(α+β)=，则tanβ的值为________. 【解题指南】将β作为β=(α+β)-α，利用两角差的正切公式求解.
【解析】tanβ=tan[(α+β)-α
]=.因为tanα=-2，tan(α+β
)=，所以上式
==3.
答案：3
【补偿训练】若tan(α+β)=，tan =，则tan=________.
【解析】因为α+=(α+β)-，所以
tan =tan
=
tan()tan()
4
1tan()tan()
4
π
α+β-β-
π+α+ββ-
==.
答案：
8.在平面直角坐标系xOy中，已知以x轴非负半轴为始边的角α，β的终边分别经过点(-4，3)，(3，4)，则tan(α+β)=________.
【解析】由题意结合三角函数的定义可得
tanα=-，tanβ=，由两角和的正切公式可得
tan(α+β)===.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.已知sinα=，α为第二象限角，且tan(α+β)=1，求tanβ的值. 【解析】由sinα=，α为第二象限角，
得cosα=-，则tanα=-，
所以tanβ=tan[(α+β)-α]
===7.
10.已知tan(π+α)=-，tan(α+β)=.
(1)求tan(α+β)的值.(2)求tanβ的值.
【解析】(1)因为tan(π+α)=-，所以tanα=-，
因为tan(α+β)==，
所以tan(α+β)==.
(2)因为tanβ=tan[(α+β)-α]=，
所以tanβ==.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.若α=20°，β=25°，则(1+tanα)(1+tanβ)的值为( )
A.1
B.2
C.1+
D.1+
【解析】选B.因为tan 45°=tan(20°+25°)
==1，
所以tan 20°+tan 25°=1-tan 20°tan 25°，
所以(1+tanα)(1+tanβ)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=1+1-tan 20°tan 25°+tan 20°tan 25°=2.
2.若tanα=lg(10a)，tanβ=lg，且α+β=，则实数a的值为( )
A.1
B.
C.1或
D.1或10
【解析】选C.因为tan(α+β)=1，
所以==1.
所以lg10+lga -lga=1-(lg10+lga)(-lga)
所以(lga)2+lga=0，
所以lga=0或lga=-1，即a=1或.
【误区警示】解答本题容易因为对数运算性质应用不当导致运算错误.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.(2015·开远高一检测)已知cosθ=-，θ∈，则tan=________. 【解析】因为cosθ=-，θ∈，
所以sinθ=-=-，
所以tanθ==.
所以tan===-.
答案：-
4.若α+β=，tanα+(tanαtanβ+c)=0(c为常数)，则tanβ=________.
【解析】因为α+β=，
所以tan(α+β)==，
所以tanα+tanβ+tanαtanβ=，
所以tanα+tanαtanβ+c=-tanβ+c=0，
所以tanβ=(c+1).
答案：(c+1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·吉林高一检测)设α，β∈，tanα，tanβ是一元二次方程x2+3x+4=0的两个根，求α+β的值.
【解析】由根与系数的关系得：
所以tan(α+β)===.
又由α，β∈，且tanα<0，tanβ<0(因为tanα+tanβ<0，
tanαtanβ>0)得α+β∈(-π，0)，所以α+β=-.
6.已知tan=2，tanβ=，
(1)求tanα的值.
(2)求的值.
【解题指南】(1)利用两角和的正切公式将tan=2左边展开，转化为关于tanα的方程求tanα.
(2)先用两角和的正弦和余弦公式展开化简原式，然后利用同角三角函数的商关系转化为两角差的正切，并用公式求值.
【解析】(1)因为tan=2，
所以=2，
所以=2，解得tanα=.
(2)
=
==
=tan===.。