高考数学二轮教师用书：第七章第1节 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积 Word版含解析

第1节 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积
1．多面体的结构特征 名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
结构 特征
①有两个面互相 平行且全等
其余各个面都是 平行四边形
②每相邻两个四边形的公共边都
互相 平行 .
有一个面是 多边形 ，其
余各面是有一个公共顶点
的 三角形 的多面体
用一个平行于棱锥
底面的平面去截棱
锥， 截面 和 底面 之间的部分 侧棱 平行且相等
相交于 一点 但不一定
相等
延长线交于 一点 侧面形
状 平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
3.三视图与直观图
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
5.空间几何体的表面积与体积公式
1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”⎩⎪⎨⎪
⎧
坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，
图形改变.
“三不变”⎩⎪⎨⎪
⎧
平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，
相对位置不改变.
3．直观图与原图形面积的关系 S 直观图＝
24S 原图形
(或S 原图形＝22S 直观图)．
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)球的任何截面都是圆．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (4)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝3
2
a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [小题查验]
1．下列命题中正确的是( )
A ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
B ．平行四边形的直观图是平行四边形
C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
D ．正方形的直观图是正方形
解析：B [用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
平行四边形的直观图是平行四边形；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；正方形的直观图是平行四边形，故选B.]
2．[教材改编]已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A ．1 cm
B ．2 cm
C ．3 cm
D.32
cm 解析：B [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2.]
3．(·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )
A ．217
B ．2 5
C ．3
D ．2
解析：B [先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M ，N 的位置如图①所示．
圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中
MN 即为M 到N 的最短路径．ON ＝1
4×16＝4，OM ＝2，∴MN ＝
OM 2＋ON 2＝ 22＋42＝2 5.
故选B.]
4．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ________ .
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×
1
2c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝47
48
abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶47
5．正△AOB 的边长为a ，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是 ________ .
解析：画出坐标系x ′O ′y ′，作出△OAB 的直观图O ′A ′B ′(如图)．D ′为O ′A ′的中点．易知D ′B ′＝12DB (D 为OA 的中点)，∴S △O ′A ′B ′＝12×22S △OAB ＝24×34a 2＝616
a 2.
答案：
616
a 2
考点一 空间几何体的三视图与直观图(自主练透)
[题组集训]
1．(·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
解析：A[由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.]
2．(·济南一模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的正投影可能是()
A．①②B．①④
C．②③D．②④
解析：B[P点在上下底面投影落在AC或A1C1上，所以△P AC在上底面或下底面的投影为①，在前面、后面以及左面，右面的投影为④，故选B.]
3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
解析：B[由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何
体为三棱柱．]
4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A ．2＋ 2
B ．1＋ 2
C ．4＋2 2
D ．8＋4 2
解析：D [由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，∴这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2
＝8＋42，故选D.]
已知三视图，判断几何体的技巧
①一般情况下，根据正视图、俯视图确定是柱体、锥体还是组合体．
②根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置． ③综合三视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体． ④一定要熟记常见几何体的三视图．
考点二 空间几何体的表面积与体积(多维探究)
直观想象在空间几何体的表面积与体积中的应用
直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，在空间几何体中通过三视图直观感知几何体的形状与相关度量，计算表面积或体积．
[命题角度1] 求简单几何体的表面积与体积
1．(·南京师大附中考前模拟)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1
上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是 ______ .
解析：由题可得VD －A 1BC ＝VA 1－BCD ＝13·S BCD ·A 1D ＝13×2×2×12×3＝233.
答案：23
3
[命题角度2] 以三视图为背景的表面积与体积
2．(·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
解析：B [(补形法) 由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×
12
＝63π.故选B.]
3．(·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1.挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ________ g.
解析：此题牵涉到的是3D 打印新时代背景下的几何体质量，忽略问题易致误，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．由题意得，四棱锥O －EFGH 的底面积为4×6－4×1
2×2×3 cm 2＝12 cm 2，其高为点O 到底面BB 1C 1C 的距离为3 cm ，则此四棱
锥的体积为V 1＝1
3×12×3 cm 3＝12 cm 3.又长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2＝4×6×6 cm 3
＝144 cm 3，所以该模型体积为V ＝V 2－V 1＝(144－12) cm 3＝132 cm 3，其质量为0.9×132 g ＝118.8 g.
答案：118.8
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
[跟踪训练]
1．某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144 cm 3，则d ＝( )
A ．14 cm
B ．13 cm
C ．12 cm
D ．11 cm
解析：C [根据已知的三视图，作出直观图如下：
由已知有AB ⊥平面BCD ，且∠CBD ＝90°，且AB ＝8，BD ＝9，BC ＝d ，由三棱锥的体积计算公式V ＝13Sh ＝13×1
2
×9×d ×8＝144，求出d ＝12 cm ，故选C.]
2．如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )
A ．3 B.3
2 C ．1
D.32
解析：C [如题图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝
3
2
AB ＝3，又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，∴V A －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12
×2×3×3＝
1.]
3．(·天津十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 __________ .
解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为1，高为2，体积为12×13×π×12×2＝π3；球半径为1，体积为14×4
3π×12
＝π3，所以，该几何体的体积为π3＋π3＝2π
3
. 答案：2π3
考点三 空间几何体与球的切、接问题(子母变式)
[母题] 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )
A.3172
B ．210 C.132
D ．310
[解析] C [如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝1
2BC
＝52，OM ＝1
2
AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝⎛⎭⎫522＋62＝132
.故选C.]
[子题1]
本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r .
又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝4
3π×(23)3＝323π，
V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π
3.
[子题2]
本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2
的比值为多少？
解：正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2
＝3a 2，其内切球半径r 为正
四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2
＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26
＝63π
.
[子题3]
本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？
解：依题意，得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6，高为
(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62
＝
3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
“切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
解决旋转体、多面体的内切球问题时首先要找准切点，通过作截面来解决．截面过球心． (2)“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[跟踪训练]
1．(·开封模拟)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为43，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为 ______ .
解析：设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝4 3. 底面三角形外接圆的半径为r ，则a sin 60°＝2r ，
∴r ＝33a 所以R 2＝
⎝⎛⎭⎫b 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝b 24＋a 2
3
≥2b 24·a 23
＝2
4812
＝4. 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×4＝16π. 答案：16π
2．(·全国Ⅲ卷)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )
A ．12 3
B ．18 3
C ．24 3
D ．54 3
解析：B [由等边△ABC 的面积为93可得34
AB 2
＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝
3
3
AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝
16－12
＝2.
所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为1
3
×93×6＝18 3.故选B.]
1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A ．圆面
B ．矩形面
C ．梯形面
D ．椭圆面或部分椭圆面
解析：C [将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；
将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.]
2．(·金华十校高二期末)以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是( ) A ．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥
B ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱
C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
D ．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台 解析：D [以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A 错误．
有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B 错误．
有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C 错误．根据棱台的定义，可得D 正确．故选D.]
3．(·济南模拟)中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”，已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示，则该“堑堵”的侧视图的面积为( )
A ．18 6
B ．18 3
C ．18 2
D.27
2
2 解析：C [由三视图可知，该几何体为直三棱柱， 底面直角三角形斜边的高为6×3＝
3 2
该“堑堵”的侧视图的面积为32×6＝182，故选C.]
4．(·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()
A．122πB．12π
C．82πD．10π
解析：B[设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝22，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.]
5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为()
A．24＋(2－1)πB．24＋(22－2)π
C．24＋(5－1)πD．24＋(23－2)π
解析：B[根据三视图可得该几何体是由棱长为2的正方体挖去两个底面半径为1，母线长为2的圆锥所得如图所示的组合体，则该组合体的侧面积为S1＝4×2×2＝16, 两个底面的面积为S2＝2×(2×2－π×12)＝8－2π，两个圆锥的侧面积为S3＝2×π×1×2＝22π，所以该组合体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝16＋8－2π＋22π＝24＋(22－2)π，故选B.]
6．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________.
解析：因为直观图的面积是原图形面积的2
4
倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.
答案：2 2
7．若某多面体的三视图如图所示(单位：cm)，则此多面体的体积是 ________ cm 3.
解析：根据三视图得该几何体是由棱长为1 cm 的正方体ABCD －EFGH 沿相邻三个侧面的对角线截去一个三棱锥E －AFH 得到一个多面体(如图所示)，所以此多面体的体积V ＝1－
1
3×12×1×1×1＝5
6
(cm 3)．
答案：56
8．长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ________ .
解析：∵长方体的顶点都在球O 的球面上， ∴长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径． 设球的半径为R ，则2R ＝
32＋22＋12＝14.
∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛
⎭
⎫1422
＝14π.
答案：14π
9．如图，△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.求此几何体的体积．
解：解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．
由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝1
2×8×6×3＝72.
四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝1
3×S 梯形MNEF ×DN
＝13×1
2
×(1＋2)×6×8＝24， 则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.
解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝1
2
×24×8＝96.
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .
解：由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．
(1)V ＝1
3
×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥的两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝
VO 2＋OE 2＝4 2.
同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622
＝5.
∴S 侧＝2×⎝⎛⎭
⎫12×6×42＋1
2×8×5＝40＋24 2.。