近年高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第2课时演练文(2021年整理)

2019高考数学一轮复习第9章平面解析几何第5讲椭圆第2课时分层演练文
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第5讲 椭圆 第2课时
一、选择题
1．设P 是椭圆错误!＋错误!＝1上一点，M ,N 分别是两圆:(x ＋4)2＋y 2
＝1和（x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN ｜的最小值和最大值分别为（ )
A ．9,12
B ．8，11
C ．8，12
D ．10，12 解析：选C ．如图,
由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知｜PA |＋｜PB |＝2a ＝10,连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM ｜＋|PN ｜最小，最小值为｜PA ｜＋｜PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长,分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN ｜最大，最大值为|PA ｜＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8，12．
2．设A 1、A 2分别为椭圆错误!＋错误!＝1(a 〉b >0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P ，使得kPA 1·kPA 2〉－错误!，则该椭圆的离心率的取值范围是（ )
A ．（0，错误!）
B ．（0，错误!)
C ．（错误!,1）
D ．(错误!，1）
解析：选C ．椭圆错误!＋错误!＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(－a ，0)、A 2(a ，0），设P (x 0,y 0），根据题意，kPA 1·kPA 2＝错误!〉－错误!，而错误!＋错误!＝1，所以a 2－x 错误!＝错误!,于是错误!〈错误!,即错误!〈错误!，1－e 2
〈错误!,所以e >错误!,又e 〈1，故错误!<e <1，选C ． 3．（2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2
a 2＋错误!＝1（a ＞
b ＞0)的左焦点,A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x
轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）
A．1
3
B．错误!
C．错误!D．错误!
解析：选A．设E(0，m）,则直线AE的方程为－错误!＋错误!＝1，由题意可知M错误!,错误!和B(a,0）三点共线，则错误!＝错误!，化简得a＝3c，则C
的离心率e＝c
a
＝错误!．
4．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2,椭圆C上点
A满足AF
2
⊥F1F2．若点P是椭圆C上的动点,则错误!·错误!的最大值为( ) A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析：选B．设向量错误!，错误!的夹角为θ．由条件知｜AF2｜＝错误!＝3
2
，则错误!·错误!＝错误!｜错误!|cos θ,于是错误!·错误!要取得最大值，只需错误!在向量错误!上的投影值最大,易知此时点P在椭圆短轴的上顶点，所以错误!·错误!＝错误!｜错误!｜cos θ≤错误!,
即F1P，→·错误!的最大值为错误!．
二、填空题
5．已知椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a〉b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点,M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，
k
2
，若｜k1·k2|＝错误!,则椭圆的离心率为________．
解析：设M（x0,y0），则N（x0，－y0）,｜k1·k2｜＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，
从而e＝错误!＝错误!．
答案:错误!
6．已知椭圆C：错误!＋y2＝1，过椭圆C的右顶点A的两条斜率之积为－错误!的直线分别与椭圆交于点M，N，则直线MN恒过的定点为________．
解析：直线MN 过定点D ．当直线MN 的斜率存在时，
设MN :y ＝kx ＋m ，
代入椭圆方程得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．
设M (x 1，y 1），N （x 2，y 2），
则x 1＋x 2＝－错误!，x 1x 2＝错误!．
根据已知可知错误!·错误!＝－错误!,
即4y 1y 2＋（x 1－2）（x 2－2）＝0，
即（1＋4k 2)x 1x 2＋（4km －2）（x 1＋x 2）＋4m 2＋4＝0，
所以(1＋4k 2）·错误!＋（4km －2)错误!＋4m 2＋4＝0，
即（4km －2）（－8km )＋8m 2（1＋4k 2）＝0，
即m 2＋2km ＝0,得m ＝0或m ＝－2k ．
当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D （0，0）．
由于AM ,AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点(2,0），故不可能．
当MN 的斜率不存在时,点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为错误!，－错误!，此时M ,N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点(0，0)．
综上可知，直线MN 过定点D (0,0)．
答案：（0,0)
三、解答题
7．已知点M 是椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且｜F 1F 2｜＝4，∠F 1MF 2＝60°,△F 1MF 2的面积为错误!．
(1)求椭圆C 的方程；
(2）设N (0，2)，过点P (－1，－2）作直线l ,交椭圆C 异于N 的A ，B 两点,直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．
解：（1）在△F 1MF 2中,由12
|MF 1｜｜MF 2｜sin 60°＝错误!，得|MF 1｜|MF 2｜＝163
．
由余弦定理，得｜F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2｜MF1|·｜MF2|cos 60°＝(｜MF
1
｜＋|MF2|)2－2｜MF1｜|MF2｜·（1＋cos 60°），
解得｜MF1|＋｜MF2｜＝4错误!．
从而2a＝｜MF1|＋｜MF2|＝4错误!，即a＝2错误!．
由|F1F2｜＝4得c＝2，从而b＝2，
故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1．
(2）证明：当直线l的斜率存在时,设斜率为k，则其方程为y＋2＝k(x ＋1）,
由错误!得（1＋2k2)x2＋4k（k－2)x＋2k2－8k＝0．
设A（x1,y1)，B(x2,y2），则x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!．
从而k1＋k2＝错误!＋错误!＝错误!＝2k－（k－4)·错误!＝4．
当直线l的斜率不存在时，可得A(－1，错误!),
B（－1,－错误!），得k
1
＋k2＝4．
综上，k1＋k2为定值．
8．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的右焦点为F(1，0）,右顶点为A，且｜AF｜＝1．
(1）求椭圆C的标准方程;
（2)若动直线l:y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q,是否存在点M(t，0）使MP，→·错误!＝0成立？若存在,求出t的值；若不存在，说明理由．
解：(1）由c＝1，a－c＝1，得a＝2,
所以b＝错误!，
故椭圆C的标准方程为x2
4
＋错误!＝1．
(2)由错误!
消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
所以Δ＝64k2m2－4（3＋4k2)（4m2－12）＝0，即m2＝3＋4k2．
设P(x P，y P），则x P＝－
4km
3＋4k2
＝－错误!,
y P＝kx P＋m＝－错误!＋m＝错误!，
即P错误!．
因为M(t,0),Q(4，4k＋m)，
所以错误!＝错误!,
错误!＝(4－t,4k＋m）,
所以错误!·错误!＝错误!·（4－t)＋错误!·（4k＋m)＝t2－4t＋3＋错误!（t －1）＝0恒成立,故错误!
即t＝1．
所以存在点M(1,0)符合题意．
9．已知椭圆x2
a2
＋错误!＝1(a>b〉0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴
的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足PM，→＝λ1错误!，错误!＝λ2错误!．
(1）求椭圆的标准方程；
（2)若λ1＋λ2＝－3,试证明:直线l过定点并求此定点．
解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且（2a)2＋（2b)2＝2(2c)2，又a2＝b2＋c2，所以a2＝3．
所以椭圆的方程为错误!＋y2＝1．
(2）由题意设P（0，m），Q(x0,0),M(x1，y1），N（x2，y2），设l方程为x ＝t(y－m)，
由错误!＝λ1错误!知(x1，y1－m）＝λ1（x0－x1，－y1),
所以y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0,
所以λ1＝错误!－1．
同理由错误!＝λ2错误!知λ2＝错误!－1．
因为λ1＋λ2＝－3，所以y1y2＋m(y1＋y2）＝0，①
联立错误!得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0,
所以由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)（t2m2－3)〉0，②
且有y1＋y2＝错误!，y1y2＝错误!，③
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
所以（mt)2＝1，
由题意mt<0，所以mt＝－1，满足②，
得直线l方程为x＝ty＋1，过定点（1，0),即Q为定点．
10．如图，已知椭圆错误!＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx ＋错误!对称．
（1)求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
解：（1)由题意知m≠0，
可设直线AB的方程为y＝－错误!x＋b．
由错误!消去y，得
错误!x2－错误!x＋b2－1＝0．
因为直线y＝－错误!x＋b与椭圆错误!＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋错误!>0．①
将线段AB中点M错误!代入直线方程y＝mx＋错误!解得b＝－错误!．②由①②得m<－错误!或m〉错误!．
（2)令t＝错误!∈错误!∪错误!,
则｜AB|＝错误!·错误!，
且O到直线AB的距离为d＝错误!．
设△AOB的面积为S(t)，所以
S（t）＝错误!｜AB｜·d＝错误!错误!≤错误!，
当且仅当t2＝错误!时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为错误!．
1．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0）的左、右焦点分别为F1（－1，0），F2（1,0），点A错误!在椭圆C上．
(1）求椭圆C的标准方程．
（2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝错误!上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足错误!＝NQ→？若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：（1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
因为A错误!在椭圆C上，
所以错误!＋错误!＝1,又a2＝b2＋c2，
所以a＝错误!，b＝c＝1．
故椭圆C的标准方程为x2
2
＋y2＝1．
（2)设直线l的方程为y＝2x＋t,
设M(x1，y1），N（x2,y2)，P错误!，Q（x4,y4)，
MN的中点为D（x
，y0），
由错误!消去x,
得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝错误!且Δ＝4t2－36(t2－8）>0，
故y0＝错误!＝错误!且－3<t〈3，
由错误!＝错误!，知四边形PMQN为平行四边形,
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，所以y0＝错误!＝错误!，可得y4＝错误!，
又－3〈t〈3,可得－错误!〈y4<－1，
因此点Q不在椭圆上，
故不存在满足题意的直线l．
2．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0）的离心率为错误!，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，｜AB|＋｜CD|＝32．
（1)求椭圆的方程；
(2)求以A,B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．
解:(1）由题意知，e＝错误!＝错误!，
则a＝2c,b＝c．
当直线AB的斜率为0时,|AB｜＋|CD｜＝2a＋2b2
a
＝2错误!c＋错误!c＝3
错误!，所以c＝1．
所以椭圆的方程为错误!＋y2＝1．
(2）①当直线AB与直线CD中有一条的斜率为0时,另一条的斜率不存在．由题意知S四边形＝错误!｜AB|·|CD|＝错误!×2错误!×错误!＝2．
②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1）,B（x2，y2),直线AB的方程为y＝k（x－1），则直线CD的方程为y＝－错误!(x－1）．将直线AB的方程代入椭圆方程，并整理得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!，
所以｜AB|＝错误!｜x1－x2｜
＝k2＋1·错误!＝错误!．
同理,|CD｜＝错误!＝错误!．
所以S四边形＝错误!·|AB｜·｜CD｜
＝错误!·错误!·错误!
＝错误!
＝错误!
＝2－错误!．
因为2错误!错误!＋1≥2错误!错误!＋1＝9，当且仅当k＝±1时取等号，
所以S四边形∈错误!．
综合①与②可知，S四边形∈错误!．。