天津市和平区2019届高三下学期二模考试数学(文)试卷(含答案)

(A) 5 14
(B) 1 3
(C) 27 56
(D) 3 10
(4) 下列结论错误的是
(A) 命题：“若 x2 3x 2 0 ，则 x 2 ”的逆否命题是“若 x 2 ，则 x2 3x 2 0 ”
(B) “ a b ”是“ ac2 bc2 ”的充分不必要条件 (C) 命题：“ x R ， x2 x 0 ”的否定是“ x R ， x2 x 0 ” (D) 若“ p q ”为假命题，则 p, q 均为假命题
(18) (本小题满分 14 分)
x2 设椭圆
a2

y2 b2
1 (a b 0) 的左、右焦点分别 F1 、 F1 ，右顶点为 A ，上顶点为 B .已
知 AB
3 2 F1F2 .
(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ) 设 P 是椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 ，且经过原
由 F 是 CD 的中点，∴ FG // DE ，且 FG 1 DE . 2
又 AB // DE ，且 AB 1 DE . 2
∴ AB // FG ，且 AB FG .
∴ ABGF 是平行四边形.
…… (2 分)
从而 AF // BG . 又 AF 平面 BCE ， BG 平面 BCE ， 因此， AF // 平面 BCE . (Ⅱ) 证明: ∵ AD AC ， F 是 CD 的中点，
(17) (本小题满分 13 分) 如图,已知 AB 平面 ACD ， AB // DE AD AC DE 2AB 2 ， 且 F 是 CD 的中点， AF 3 .
(Ⅰ) 求证： AF // 平面 BCE ；
(Ⅱ) 求证：平面 BCE 平面 CDE ； (Ⅲ) 求 CB 与平面 CDE 所成角的正弦值.
(Ⅰ) 求 k 的值；
(Ⅱ) 求函数 f (x) 的单调区间；
(Ⅲ) g(x) 1 e2 .
设 g(x) (x2 x) f (x) ,其中 f (x) 为 f (x) 的导函数.证明：对任意 x 0 ，
和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第二次质量调查 数学（文）学科试卷参考答案
…… (2 分)
即 2 sin A cos B sin C cos B sin B cos C = sin(B C)
…… (3 分)
由 ABC 中， sin(B C) sin A . 得 2 sin A cos B sin A
……(4 分)
由 sin A 0 ，得 cos B 2 .故 B .
所以， a c 的最小值为 4 2 .
……… (13 分)
(16) (本题 13 分) (Ⅰ) 解: 学校总数为 21 14 7 42 ，分层抽样的比例为 6 42 1
7
… (2 分)
计算各类学校应抽取的数目为： 21 1 3 ，14 1 2 ， 7 1 1 . (3 分)
∴ AF CD .
∵ AB 平面 ACD ， AB // DE .
∴ DE 平面 ACD 又 AF 平面 ACD ，∴ DE AF . 而 DE CD C ， ∴ AF 平面 CDE . 由 AF // BG 知 BG 平面 CDE . ∵ BG 平面 BCE ， ∴平面 BCE 平面 CDE . (Ⅲ) 解: 由(Ⅱ) 知 BG 平面 CDE .
(5)
已知函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 对称，当 x (0,) 时， f (x) log2 x ，若
a f (3) ， b f ( 1 ) ， c f (2) ，则 a,b,c 的大小关系是 4
(A) a b c
(B) b a c
(C) c a b (D) a c b
2
4
所以， cos(2B


)

cos(


)

sin


3 .
3
23
32
…… (6 分) …… (8 分)
(Ⅱ) 解:由题知
S ABC

1 2
ac sin
B

2
2
，解得 ac 8
……… (10 分)
a c 2 ac 4 2 ，当且仅当 a c 时等号成立.
……… (12 分)
a2 b2
c
交于点 P ， POF 的面积为 a 2 (O 为原点），则抛物线 y 2 2b x 的准线方程为
a
(A) y 1 2
(B) x 1
(C) x 1
(D) x 2
2
(8) 在 ABC 中， AB 2AC 6 ， BA BC BA ，点 P 是 ABC 所在平面内的一点，则当

x
1 1

3，
x (1，
0]，
且函数 g(x)
f
(x) mx m 在 (1， 1] 内有且
3x， x (0， 1]，
仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是
.
三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分 13 分)
1 an
1 bn
,记数列{cn} 的前 n 项和 Sn .
①求 Sn ； ②求正整数 k ，使得对任意 n N ，均有 Sk Sn .
(20) (本小题满分 14 分)
已知函数
f
(x)

ln
x ex
k
(k 为常数）.曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.
(C) x 1 x 1 (D) x x 1
x 2y 4
(2)
已知 x,
y
满足约束条件
2x
x
y 1
4
则
z

2x

y
的最小值为
y 0
(A) 2
(B) 4
(C) 1 2
(D) 2 5
(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的 n 6 ，
则输出 S
点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线 l 的斜率.
(19) (本小题满分 13 分)
已知数列{an}是正项等比数列， a1 a3 10, a4 2a2 a3 ,数列{bn} 满足条件 a1a2a3 an ( 2 )bn .
(Ⅰ) 求数列{an}、{bn} 的通项公式；
(Ⅱ)
设 cn
天津市和平区 2019 届高三下学期二模考试
文科数学试题
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共 40 分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
其中 S 表示锥体的底面积,
h 表示柱体的高.
h 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1) 设全集U R ，集合 M {x y lg(x2 1)}, N {x 0 x 2 } ,则 (CR M ) N
(A) x 2 x 1 (B) x 0 x 1


0,
3 2
三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分)
(15) (本题 13 分)
(Ⅰ) 解:由正弦定理 a b c 及已知 ( 2a c) cos B = b cos C sin A sin B sin C
得 ( 2 sin A sin C) cos B = sin B cos C
已知三角形 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且 ( 2a c) cos B = b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小及 cos(2B ) 的值；
3 (Ⅱ)若 ABC 的面积为 2 2 ，求 a c 的最小值.
(16) (本小题满分 13 分) 某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校，对学生进行视力检查. (Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (Ⅱ) 若从抽取的 6 所学校中随即抽取 2 所学校作进一步数据分析： ①列出所有可能抽取的结果； ②求抽取的 2 所学校没有大学的概率.
2
PA

2
PB

2
PC
取得最小值时，
AP

BC

3 (A)
5
(B) 9
(C) 7
(D) 2 5
第Ⅱ卷 非选择题（共 110 分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共 12 小题，共 110 分。
二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上.
(9) 如果 2 1 mi （ m R,i 表示虚数y x 2 ln x 1 的一条切线的斜率为 1 ，则切点的横坐标为
.
4
2
(11) 过点 P(3,4) 作圆 C : x 2 y 2 9 的两条切线，切点分别为 A, B ，则点 P 到直线 AB 的
一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分)
(1) B (2) C (3) B (4) B (5) D (6) A (7) C
(8) B
二、填空题 (每小题 5 分，共 30 分)
16 (9) 1 (10) 1 (11)
5
(12) 2 4 2
(13) 1 3
(14)

9 4
,2
∴ CG 是 CB 在平面 CDE 内的射影. 则 CB 与平面 CDE 所成的角为 BCG .
…… (4 分) …… (5 分)
……（6 分) …… (7 分) …… (8 分) …… (9 分) …… (10 分) …… (11 分)
b1, b2 ， b1, c， b2 , c，共 15 种.
…… (10 分)
②设“抽取的 2 所学校没有大学”作为事件 A .其结果共有 10 种.
所以， P( A) 10 2 . 15 3
(17) (本题 13 分)
…………(13 分)
(Ⅰ) 证明: 如图，取 CE 的中点 G ,连 BG, FG . …… (1 分)
( )π
1
x＋
(6) 将函数 f(x)＝2cos 6 图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函
数 y＝g(x)的图象，则函数 y＝g(x)的图象的一个对称中心是
( )π ，0 (A) 6
( ) 11π ，0 (B) 12
( )π ，0 (C) 12
( ) 5π ，0 (D) 12
(7) 已知双曲线 C : x 2 y 2 1 (a 0,b 0) 的右焦点为 F (c,0) ，直线 x a 2 与一条渐近线
3. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：
如果事件 A， B 互斥,那么
如果事件 A， B 相互独立,那么
P( A B) P( A) P(B)
P( AB) P( A)P(B) .
柱体的体积公式V Sh .
锥体的体积公式V 1 Sh . 3
其中 S 表示柱体的底面积,
距离为
.
(12) 一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 2 cm 的球面上，如果该四棱柱的底面是对角线
长为 2 cm 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为
.
(13) 若不等式 x 2 2x 3 213a 对任意实数 x 都成立,则实数 a 的最大值为
.
(14)
已知函数
f (x)
7
7
7
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3, 2, 1所.
…… (4 分)
(Ⅱ) 解: ① 在抽取到的 6 所学校中，3 所小学分别记为 a1, a2 , a3 ；2 所中学分别记为 b1, b2 ；
1 所大学记为 c .
…… (5 分)
则应抽取的 2 所学校的所有结果为：
a1, a2 ， a1, a3， a1, b1， a1, b2 ， a1, c， a2 , a3， a2 , b1， a2 , b2 ， a2 , c， a3 , b1， a3 , b2 ， a3 , c，