湖南省怀化市2013届高三数学三模考试试题 文(含解析)

2013年某某省某某市高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共计45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.
1．（5分）（2013•某某三模）已知集合M={1，2}，N={2a﹣1|a∈M}，则M∪N等于（）A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．∅
考点：并集及其运算．
专题：计算题．
分析：通过集合M求出集合N，然后求解它们的并集．
解答：解：因为集合M={1，2}，所以N={2a ﹣1|a∈M}={1，3}，
所以M∪N={1，2，3}．
故选C．
点评：本题考查集合的并集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2013•某某三模）z=（其中i 为虚数单位），则|z|为（）
A ．4B．5C．7D．25
考
点：
复数求模．
专
题：
计算题．
分
析：
利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z，再根据复数的模的定义求得|z|．
解
答：解：∵z===4﹣3i，∴|z|==5，
故选 B．
点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题．
3．（5分）（2013•某某三模）设向量，，命题“若，则||=||”的逆否命题是（）
A．
若，则
|||≠|B．
若，则
|||≠|
C．
若||≠|，则
D．
若||=|，则
考
点：
四种命题间的逆否关系．
专
题：
规律型．
分先写出命题的条件与结论，再根据逆否命题的定义求其逆否命题即可．
析：
解
答：
解：命题“若，则||=||”的条件是：，结论是：||=||，根据逆否命题的定义，其逆否命题是：若||≠||，则≠﹣，
故选C．
点
评：
本题考查逆否命题的定义．
4．（5分）（2013•某某三模）函数f（x）=sinx+cosx的一条对称轴是（）
A．
x=B．
x=
C．
x=
D．
x=
考
点：
两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分
析：
化简函数f（x）的解析式为f（x ）=sin（x+），令x+=kπ+，k∈z，求出x 即为函数的对称轴．
解
答：
解：根据和差公式可得f（x）=sinx+cosx=sin（x+）
令x+=kπ+，k∈z，可得x=kπ+，k∈z．
故选：A．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的对称性，化简函数f（x）的解析式为sin（x+），是解题的关键，属于中档题．
5．（5分）（2013•某某三模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）
A ．
B ．
C ．D．
考
点：
简单空间图形的三视图．
专
题：
作图题．
分
析：
由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．
解答：解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项
A中的视图满足三视图的作法规则；
B中的视图满足三视图的作法规则；
C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；
D中的视图满足三视图的作法规则；
故选C
点评：本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．
6．（5分）（2013•某某三模）如图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序．所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为（）
A．7B．6C．5D．4
考
点：
用样本的频率分布估计总体分布．
专
题：
图表型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知这是一个零件的加工工序图．逐步分析该工序流程图，不难得到加工和检验程序及导致废品的产生有多少种不同的工序数目．
解答：解：由流程图可知，该零件加工过程中，最少要经历：
①零件到达⇒②粗加工⇒③检验⇒④精加工⇒⑤最后检验．
从零件到成品最少要经过 4道加工和检验程序；
由流程图可知，该零件加工过程中，导致废品的产生有下列几种不同的情形：
①零件到达⇒粗加工⇒检验⇒返修加工⇒返修检验⇒废品．
②零件到达⇒粗加工⇒检验⇒精加工⇒返修检验⇒废品．
③零件到达⇒粗加工⇒检验⇒精加工⇒最后检验⇒废品．
共3种情形，
又到达的1000个零件有99.4%的零件，即994个零件进入精加工工序，从而有6个成了废品，
因所有零件加工完后，共得到10个废品，
则精加工工序产生的废品数为10﹣6=4．故选D．
点评：根据工序流程图（即统筹图）写工序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从工序流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
7．（5分）（2013•某某三模）在直角坐标系xOy中，若x，y满足，则z=﹣2x+y
的最大值为（）
A．0B．1C．﹣3 D．﹣2
考
点：
简单线性规划．
专
题：
不等式的解法及应用．
分
析：
先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标
函数，即可求出目标函数z=﹣2x+y的最大值．
解
答：
解：满足约束条件的可行域如下图所示：
由图可知，当x=0，y=1时，z=﹣2x+y取最大值1．
故选B．
点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键．
8．（5分）（2013•某某三模）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、
F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成3：2的两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．
考
点：
双曲线的简单性质．
专
题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分
析：
依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（，0），由（）：（）=3：2可求得2c=5b，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．
解
答：
解：∵抛物线y2=2bx 的焦点F（，0），线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成3：2的两段，
∴（）：（）=3：2，∴2c=5b，
∴c2=a2+b2=a2+，
∴=．
∴此双曲线的离心率e=．
故选D．
点评：本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得2c=5b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．
9．（5分）（2013•某某三模）已知m＞0，f（x）是定义在R上周期为4的函数，在x∈（﹣1，3]上f（x）=，若方程f（x）=恰有5个实数解，则m的取值X围是（）
A．
（，）B．
[，]
C．
[，+∞]
D．
（，+∞）
考
点：
根的存在性及根的个数判断．
专
题：
函数的性质及应用．
分
析：
将方程f（x）=恰有5个实数解，转化为一个函数y=f（x）的图象与直线y=的位置关系研究即可得出答案．
解
答：
解：方程f（x）=，
令 y=f（x）=，y=，
分别画出它们的图象，如图，其中A（4，m），B（8，m）．由图可知，
若方程f（x）=恰有5个实数解，
则点A必须在直线y=的上方，点B在直线y=的下方，即，
∴m∈（，）
则m的取值X围是（，）．
故选A．
点评：本题主要考查根的存在性及根的个数判断，解答关键是利用直线与曲线的位置关系，要注意数形结合及转化思想的应用．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 10．（5分）（2013•某某三模）计算（log29）•（log34）= 4 ．
考
点：
对数的运算性质．
专
题：
计算题．
分
析：
把真数写成幂的形式，然后运用对数式的性质化简计算．
解
答：
解；（log29）•（log34）=（2log23）•（2log32）=．故答案为4．
点评：本题考查对数的运算性质，同时考查了换底公式，也可直接运用结论log a b×log b a=1运算．
11．（5分）（2013•某某三模）二进制数101011（2）化为十进制数是53 ．
考
点：
排序问题与算法的多样性．
专
题：
计算题．
分析：由题意知101 011（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25计算出结果即可选出正确选项．
解答：解：101011（2）=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24+1×25=1+4+16+32 =53．
故答案为：53．
点评：本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．
12．（5分）（2013•某某三模）直线l：ρcosθ=t（常数t＞0）与圆（θ为参数）相切，则t= ±1．
考
点：
圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
专
题：
直线与圆．
分析：先把直线与圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的充要条件即可得出．
解答：解：直线l：ρcosθ=t（常数t＞0）化为x=t，
圆（θ为参数）化为x2+（y﹣1）2=1，∴圆心为C（0，1），半径r=1．∵直线l与圆相切，∴，解得t=±1．
故答案为±1．
点评：熟练掌握极坐标方程化为普通方程、点到直线的距离公式和直线与圆相切的充要条件是解题的关键．
13．（5分）（2013•某某三模）实数a∈[0，3]，b∈[0，2]，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是．
考
点：
几何概型．
专
题：
概率与统计．
分析：首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a2≥b2．本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．
解答：解：方程有实根时，△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A．
设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．
由于a在[0，3]上随机抽取，b在[0，2]上随机抽取，
所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的．
又由于满足条件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a2≥b2，即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为×（1+3）×2=4，
所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）==．
所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为．
故答案为：．
点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．
14．（5分）（2013•某某三模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2} ．
考
点：
类比推理．
专
题：
规律型．
分
析：
类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．
解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，
由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），
∴x2=x+2，
解之得，x=﹣1或x=2．
所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．
故答案为：{﹣1，2}．
点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．
15．（5分）（2013•某某三模）规定满足“f（﹣x）=﹣f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=是对偶函数，则
（1）g（x）= ﹣x2+4x ．
（2）若f[﹣]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值X围是m＜5 ．
考
点：
函数奇偶性的性质．
专
题：
新定义．
分析：（1）先设设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式求出f（﹣x），再由题意f（﹣x）=﹣f （x），求出g（x）；
（2）由（1）求出的解析式，分别求出函数值的X围，进而把条件转化为
对于任意的n∈N°恒成立问题，即
对于任意的n∈N°恒成立问题，分离常数m并把和式展开，利用裂项相消法进行化简，再求出此式子的最小值即可．
解答：解：（1）由题意设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2﹣4x，
∵f（﹣x）=﹣f（x），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+4x，
（2）由（1）得，，
∴当x＜0时，f（x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4＜0，
当x≥0时，f（x）=x2+4x=（x+2）2﹣4≥0，
∵对于任意的n∈N°恒成立，
∴条件转化为对于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×=10（）对于任意的n∈N°成恒
立，
令y=10（），即求y的最小值，
则y=10×[（1）+（）+…+（﹣）]=10（1﹣），
∵1﹣≥1﹣=，∴y的最小值为5．
综上可得，m＜5．
故答案为：﹣x2+4x；m＜5．
点评：本题以一个新定义为背景考查了恒成立问题，求和符号的展开，分离常数法和裂项相消法求和等，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•某某三模）在△ABC中，已知A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．
考
点：
正弦定理；两角和与差的正弦函数．
专
题：
解三角形．
分析：（Ⅰ）由cosB的值和B的X围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后根据三角形的内角和定理得到所求式子中C等于180°﹣A﹣B，而A=45°，得到
C=135°﹣B，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinB和cosB的值代入即可求出值；
（II）利用三角函数的正弦定理求出边AB的长；利用三角形的余弦定理求出CD的长．
解
答：
解：（Ⅰ）∵cosB=，且B∈（0°，180°），
∴sinB==
sinC=sin（180°﹣A﹣B）=sin（135°﹣B）
=sin135°cosB﹣cos135°sinB=•﹣（﹣）•=
（II）由（Ⅰ）可得sinC=
由正弦定理得，即，解得AB=14
在△BCD中，BD=7，CD2=72+102﹣2×7×10×=37，
所以CD=
点评：本题考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式、考查三角形中的正弦定理、余弦定理，是一道中档题．
17．（12分）（2013•某某三模）每年的三月十二日是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两批树苗中各抽了10株，测得髙度如下茎叶图，（单位：厘米），规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”．
（I）根据茎叶图，比较甲、乙两批树苗的高度，哪种树苗长得整齐？
（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入如图程序框图进行运算，问输出的S为多少？．
（Ⅲ）从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株，至少1株是甲种树苗的概率．
考
点
古典概型及其概率计算公式；茎叶图；程序框图．
：
专
题
：
概率与统计．
分析：（I）由茎叶图给出的数据计算平均数，根据茎叶图的形状分析甲乙两批树苗的整齐性；
（II）通过阅读程序框图，可知程序执行的是求甲组数据的方差，直接代入方差公式计算；
（III）求出甲乙两批树苗中的良种树苗，列举出任取两株的所有方法数，查出至少1株是甲种树苗的方法个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）由茎叶图可得甲乙两组数据分别为：
甲：119，120，121，123，125，129，131，132，133，137
乙：110，110，114，126，127，130，131，144，146，147
平均高度为=127
=128.5
甲批树苗的平均高度低于乙批树苗的平均高度，
甲的茎叶图更集中，且呈单峰出现，所以甲树苗长得更整齐；
（Ⅱ）框图执行的运算是求甲组数据的方差，结果为
+（129﹣127）2+（131﹣127）2+（132﹣127）2+（133﹣127）2+（137﹣127）2]=35．
所以输出的s的值是35；
（Ⅲ）甲种树苗中的良种树苗有2株，分别记为a ，b．乙种树苗中的良种树苗有3株，分别记为1，2，3．
从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株的方法种数共有（ab）（a1）（a2）（a3）（b1）（b2）（b3）（12）（13）（23）10种，
至少1株是甲种树苗的方法有（ab）（a1）（a2）（a3）（b1）（b2）（b3）7种，
所以至少1株是甲种树苗的概率为．
点评：本题考查了茎叶图，考查了程序框图，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础的运算题．
18．（12分）（2006•某某）已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE 折起，如图所示，记二面角A﹣DE﹣C的大小为θ（0＜θ＜
π）．
（I）证明BF∥平面ADE；
（II）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．
考
点：
直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专
题：
计算题；证明题．
分析：（1）根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面ADE内找到与直线BF平行的直线就可以了，易证四边形EBFD为平行四边形；
（2）判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，可以从两种角度去思考：方法一：过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，然后证明射影G在直线EF上．方法二：连接AF，在平面AEF内过点作AG′⊥EF，垂足为G′．然后再证明AG′⊥平面BCDE，即G′为A在平面BCDE内的射影G．
二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由前面“判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上”可知：AG⊥平面BCDE，所以过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，所以∠AHD为二面角A﹣DE﹣C的平面角．即∠AHD=θ
解答：解：（I）证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点，∵EB∥FD，且EB=FD，
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴BF∥ED
∵EF⊂平面AED，而BF⊄平面AED
∴BF∥平面ADE．
（II）解法1：
如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连接GC，GD．
∵△ACD为正三角形，
∴AC=AD
∴CG=GD
∵G在CD的垂直平分线上，
∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHD为二面角A﹣DE﹣C的平面角．即∠AHD=θ
设原正方体的边长为2a，连接AF
在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG*EF=AE*AF
∴AG=
在Rt△ADE中，AH*DE=AE*AD
∴AH=
∴GH=
c osθ==．
解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连接AF，在平面AEF内过点作AG′⊥EF，垂足为G′．∵△ACD为正三角形，F为CD的中点，
∴AF⊥CD
又因EF⊥CD，
所以CD⊥平面AEF
∴CD⊂平面BCDE
∴平面AEF⊥平面BCDE
又∵平面AEF∩平面BCDE=EF，AG′⊥EF
∴AG′⊥平面BCDE
∴G′为A在平面BCDE内的射影G．
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H，连接AH，则AH⊥DE，
所以∠AHD为二面角A﹣DE﹣C的平面角．即∠AHD=θ设原正方体的边长为2a，连接AF
在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a，
即△AEF为直角三角形，AG*EF=AE*AF
∴AG=
在Rt△ADE中，AH*DE=AE*AD
∴AH=
∴GH=
cosθ==．
点评：本小题考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．
19．（13分）（2013•某某三模）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n﹣1）千元时多卖出件，（n∈N*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
考
点：
数列与函数的综合．
专应用题；压轴题．
题：
分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为s n，则s n﹣1表示广告费为（n ﹣1）元时的销量，由题意，s n﹣﹣s n﹣1=，可知数列{s n}不成等差也不成等比数列，
但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接
列式：由题，s=b++++…+=b（2﹣）
解法二、利用累差叠加法：，，…，累加结合等比数列的求和公式可求S n
（2））b=4000时，s=4000（2﹣），设获利为T n，则有T n=s•10﹣1000n=40000（2
﹣）﹣1000n，
欲使T n最大，根据数列的单调性可得，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值
解
答：
（1）解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b（2﹣）（广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+）
解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，
由题：，相加得S n﹣S0=+++…+，
即S n=b++++…+=b（2﹣）．
（2）b=4000时，s=4000（2﹣），设获利为t，则有t=s•10﹣1000n=40000（2﹣）﹣1000n
欲使T n最大，则，得，故n=5，此时s=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．
点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．
20．（13分）（2013•某某三模）已知椭圆过点，离心率，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，
直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
考
点
：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专
题
：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）直接把给出的点的坐标代入椭圆方程，结合离心率及隐含条件a2=b2+c2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆方程可求；
（2）设出A，B的坐标，根据新定义得到P，Q的坐标，当斜率存在时设出直线方程
y=kx+m，联立直线和椭圆方程后利用根与系数关系求得x1+x2，x1x2，再由以PQ为直径的圆过原点得到A，B的坐标之间的关系3x1x2+4y1y2=0，转化为横坐标的关系后代入
x1+x2，x1x2，即可把直线的斜率用截距表示，然后利用弦长公式求出AB的长度，用点到直线的距离公式求出O点到AB的距离，利用整体运算就能求得三角形OAB的面积，斜率不存在时直线方程可直接设为x=m，和椭圆方程联立求出y2，同样代入
3x1x2+4y1y2=0后可直接求出m的值，则三角形面积可求．
解
答
：
解：（1）由已知得：，即，解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
1°当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m
联立得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0．
则有△=（8km）2﹣4（3+4k2）×4（m2﹣3）=48（3+4k2﹣m2）＞0
①
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：
，即3x1x2+4y1y2=0•
把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入整理得：
②
将①式代入②式得：3+4k2=2m2，
∵3+4k2＞0，∴m2＞0，
则△=48m2＞0．
又点O到直线y=kx+m的距离．
∴==
所以
2°当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（﹣2＜m＜2）
联立椭圆方程得：
代入3x1x2+4y1y2=0得到，即，y=．综上：△OAB的面积是定值．
又，所以二者相等．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的综合，考查了弦长公式的用法，训练了直线和圆锥曲线关系中的设而不求的解题方法，体现了整体运算思想，训练了学生的计算能力，该题是有一定难度问题．
21．（13分）（2013•某某三模）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，某某数a的取值X围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g （x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．
考
点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专
题：
计算题；综合题；压轴题．
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的X围．（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x﹣lnx结合（2）中知F（x ）的最小值为3，再令
并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数ϕ（x）在（0，e]上单调递
增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即
成立．
解
答：解：（1）在[1，2]上恒成立，令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，
得
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
=
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae ﹣1=35，（舍
去），
②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增
∴，a=e2，满足条件．
③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍
去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．
令，，
当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴
∴，即＞（x+1）lnx．
点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。