高考数学一轮复习 第2章 第1讲 函数的概念及其表示课

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第二章 函数、基本初等函数
第1讲 函数的概念及其表示
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
1.给出下列各组函数:①f(u)=1+u 1-u ,g(v)=1+v 1-v
;②f(x)=x2,g(x)=x ;③f(x)=1-x2,g(x)=1-|x|(x ∈[-1,1];④f(x)=x +1·x -1,g(x)=x2-1.其中表示相同函数的是________(填序号).
解析 ①中两函数定义域、对应法则均相同,表示相同函数;②中对应法则不同;③中对应法则不同;④中定义域不同.
答案 ①
2.下列集合A 到集合B 的对应f 中:
①A ={-1,0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数平方;
②A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方;
③A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数;
④A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值.
其中是从集合A 到集合B 的函数的为________(填序号).
解析 其中②,由于1的开方数不唯一,因此f 不是A 到B 的函数;其中③,A 中的元素0在B 中没有对应元素;其中④,A 中的元素0在B 中没有对应元素.
答案 ①
3.(2014·郑州模拟)函数f(x)=3x21-x
+lg(3x +1)的定义域是________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 1-x >0,3x +1>0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x <1,x >-13,所以定义域为⎝⎛⎭
⎫-13,1. 答案 ⎝⎛⎭
⎫-13,1
4.设函数f(x)=2x +3,g(x +2)=f(x),则g(x)的表达式是________.
解析 ∵g(x +2)=f(x)=2x +3=2(x +2)-1,
∴g(x)=2x -1.
答案 g(x)=2x -1
5.(2015·无锡检测)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
2x ,x <0,f x -1+1,x≥0,则f(2 014)=________. 解析 f(2 014)=f(2 013)+1=…=f(0)+2 014=f(-1)+2 015=2-1+2 015=4 0312. 答案 4 0312 6.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x =1-x21+x2
,则f(x)的解析式为________. 解析 令t =1-x 1+x ,由此得x =1-t 1+t
(t≠-1), 所以f(t)=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-t 1+t 21+⎝ ⎛⎭
⎪⎫1-t 1+t 2=2t 1+t2, 从而f(x)的解析式为f(x)=2x 1+x2
(x≠-1). 答案 f(x)=2x 1+x2
(x≠-1) 7.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y =[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号).
①y =⎣⎡⎦⎤x 10;②y =⎣⎡⎦⎤x +310;③y =⎣⎡⎦⎤x +410;④y =⎣⎡⎦
⎤x +510. 解析 设x =10m +α(0≤α≤9,m ,α∈N),当0≤α≤6时,⎣⎡
⎦⎤x +310=⎣
⎡⎦⎤m +α+310=m =⎣⎡⎦⎤x 10, 当6<α≤9时,⎣⎡
⎦⎤x +310=⎣⎡⎦⎤m +α+310=m +1=⎣⎡⎦⎤x 10+1. 答案 ② 8.(2015·武汉一模)若函数f(x)=
的定义域为R ,则a 的取值范围是
________.
解析 由题意知恒成立. ∴x2+2ax -a≥0恒成立,
∴Δ=4a2+4a≤0,∴-1≤a≤0.
答案 [-1,0]
二、解答题
9.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x +1)=f(x)+x +1.求函数f(x)的解析式.
解 设f(x)=ax2+bx +c(a≠0),又f(0)=0,
∴c =0,即f(x)=ax2+bx.又f(x +1)=f(x)+x +1.
∴a(x +1)2+b(x +1)=ax2+(b +1)x +1.
∴(2a +b)x +a +b =(b +1)x +1,
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a +b =b +1,a +b =1,解得⎩⎨⎧ a =12,b =12.∴f(x)=12x2+12
x. 10.根据如图所示的函数y =f(x)的图象,写出函数的解析式.
解 当-3≤x <-1时,函数y =f(x)的图象是一条线段(右端点除外),设f(x)=ax +b(a≠0),
将点(-3,1),(-1,-2)代入,可得f(x)=-32x -72
; 当-1≤x <1时,同理可设f(x)=cx +d(c≠0),
将点(-1,-2),(1,1)代入,可得f(x)=32x -12
; 当1≤x <2时,f(x)=1.
所以f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ -32x -72
,-3≤x <-1,32x -12,-1≤x <1,1,1≤x <2.
能力提升题组
(建议用时:25分钟)
1.设f(x)=lg 2+x 2-x
,则f ⎝⎛⎭⎫x 2+f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为________. 解析 ∵2+x 2-x
>0,∴-2<x <2,∴-2<x 2<2且-2<2x <2,解得-4<x <-1或1<x <4, 定义域为(-4,-1)∪(1,4).
答案 (-4,-1)∪(1,4)
2.(2014·扬州检测)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
31-x ,x≤1,1-log3x ,x >1,则满足f(x)≤3的x 的取值范围是________.
解析 依题意,不等式f(x)≤3等价于①⎩
⎪⎨⎪⎧ x≤1,31-x≤3或 ②⎩⎪⎨⎪⎧
x >1,1-log3x≤3.解①得0≤x≤1,解②得x >1. 因此,满足f(x)≤3的x 的取值范围是[0,1]∪(1,+∞)=[0,+∞).
答案 [0,+∞)
3.(2015·杭州质检)函数f(x)=ln 1|x|+1
的值域是________. 解析 依题意,因为 |x|+1≥1,则0<1|x|+1
≤1, ln 1|x|+1
≤ln 1=0,即函数的值域是(-∞,0]. 答案 (-∞,0]
4.某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地.在B 地停留1 h 后,再以50 km/h 的速度返回A 地,把汽车与A 地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.
解 x =⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ,0≤t≤52,150,52<t ≤72,
150-50⎝⎛⎭⎫t -72,72<t ≤132
.
其图象如图所示.。

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