高考数学二轮复习 上篇 专题整合突破 专题四 立体几何教师用书 理(2021年整理)

创新设计（江苏专用）2017届高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题四立体几何教师用书理
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专题四立体几何教师用书理
一、填空题
1。

(2016·浙江卷改编)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,且直线m，n满足m∥α，n⊥β，给出下列结论：
①m∥l；②m∥n；③n⊥l;④m⊥n。

则上述结论正确的是________（填序号).
解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β,∴n⊥l，③正确.
答案③
2。

已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为________.
解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π,一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.
答案6π
3.（2016·徐州、宿迁、连云港模拟）已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为
60π cm2，则此圆锥的体积为________cm3.
解析设圆锥底面圆的半径为r,母线为l，则侧面积πrl＝10πr＝60π,解得r＝6,则高h ＝错误!＝8,则此圆锥的体积为错误!πr2h＝错误!π×36×8＝96π.
答案96π
4。

如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是AC，PC的中点，
PA＝2，AB＝1，求三棱锥C－PED的体积为________.
解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－CED的高，PA＝2。

∵ABCD是正方形，E是AC的中点，
∴△CED是等腰直角三角形。

AB＝1，故CE＝ED＝错误!,
S
＝错误!CE·ED＝错误!·错误!·错误!＝错误!。

△CED
故V C。

PED＝V P。

CED＝错误!·S△CED·PA＝错误!·错误!·2＝错误!。

答案错误!
5.如图,正方体ABCD .A1B1C1D1中,AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，
若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________。

解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，
又∵E是AD的中点，
∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线,
∴EF＝错误!AC＝错误!×2错误!＝错误!。

答案错误!
6.(2016·镇江高三期末)设b，c表示两条直线，α,β表示两个平面，现给出下列命题：
①若b⊂α，c∥α，则b∥c；
②若b⊂α，b∥c，则c∥α;
③若c∥α，α⊥β，则c⊥β;
④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.
其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号）.
解析①中直线b，c平行或异面，则①错误；②中c∥α或c⊂α，则②错误;③中c，β的位置关系可能平行、相交或者直线在平面上，则③错误；由线面平行的性质、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理可知④正确,故正确命题是④.
答案④
7.(2016·苏、锡、常、镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1,S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若错误!＝错误!，则错误!的值为________.解析棱长为a的正方体的体积V1＝a3,表面积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积
V 2＝
1
3
πr3，侧面积S2＝错误!πr2,则错误!＝错误!＝错误!,则a＝r,所以错误!＝错误!＝错误!.
答案错误!
8.(2016·无锡高三期末）如图,在圆锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB,且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________.
解析由题意可得三棱锥V－AOB的体积为V三棱锥V－AOB＝错误!S△AOB·VO＝错误!.
△VAB是边长为错误!的等边三角形,其面积为错误!×（错误!）2＝错误!,设点O到平面VAB的距离为h，则V三棱锥O－VAB＝
错误!S△VAB·h＝错误!×错误!h＝V三棱锥V－AOB＝错误!，
解得h＝错误!，
即点O到平面VAB的距离是
3 3 .
答案错误!
二、解答题
9。

（2014·江苏卷）如图，在三棱锥P.ABC中，D,E，F分别为棱PC，AC，AB的中点。

已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5。

求证：(1)直线PA∥平面DEF;
(2）平面BDE⊥平面ABC.
证明(1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点,所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF。

(2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8,所以DE∥PA，DE＝1
2
PA＝3，
EF＝错误!BC＝4。

又因为DF＝5,故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
10.如图，在直三棱柱A1B1C1.ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B;
(3）若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F。

ABC的体积。

(1)证明如图连接A1C.
∵直三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1C1C是矩形.
∴点F在A1C上,且为A1C的中点。

在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC。

又∵BC⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
（2）证明∵直三棱柱A1B1C1­ABC中,B1B⊥平面ABC,∴B1B⊥BC。

又∵EF∥BC,AB⊥BC，
∴AB⊥EF,B1B⊥EF。

∵B1B∩AB＝B，∴EF⊥平面ABB1A1.
∵EF⊂平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABB1A1。

(3）解V F。

ABC＝错误!VA1.ABC＝错误!×错误!×S△ABC×AA1
＝错误!×错误!×错误!a2×2a＝错误!.
11.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点。

求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
（2）BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD。

证明（1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.
又平面PAD⊥平面ABCD,且PA⊥AD.
所以PA⊥底面ABCD。

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE。

所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD。

又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，
且四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD。

由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD。

又因为PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，
且CD⊂平面PCD，
又E，F分别是CD和CP的中点,
所以EF∥PD，故CD⊥EF。

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.。