二次函数动点问答解答方法技能(含例解答案解析)

函数解题思路方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函
数中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点
坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）
动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角
三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。

二、抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①. 已知抛物线3
2+
y（a≠0）与x轴交于点A(1.0)和点B
ax
=bx
+
(－3.0).与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M .问在对称轴上是否存在点P.使△CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由．
(3) 如图②.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE.求四边形BOCE面积的最大值.并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.②M为顶点时.以M为圆心MC为半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.③P为顶点时.线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二.先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。

共同点：
⑤探究存在性问题时.先画出图形.再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题（动点）
1.如图.已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是
(40)A -，.(20)B -，.(08)E ，．
（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M .抛物线2C 与x 轴分别交于
C D ，两点（点C 在点D 的左侧）.顶点为N .四边形
MDNA 的面积为S ．
若点A .点D 同时以每秒1个单位的 ①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时.点M .点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动.直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式.并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时.四边形MDNA 的面积S 有最大值.并求出此最大值；
（4）在运动过程中.四边形MDNA 能否形成矩形？若能.求出此时t 的值；若不能.请说明理由．
[解] （1）点(40)A -，.点(20)B -，.点(08)E ，关于原点的对称点分别为
(40)D ，.(20)C ，.(08)F -，．
设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠.
则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
，，． 解得168a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
，，．
所以所求抛物线的解析式是2
68y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥.垂足为H ．
当运动到时刻t 时.282AD OD t ==-.12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD
OM ON ==，.所以四边形MDNA 是平行四边形．
所以2ADN S S =△．
所以.四边形MDNA 的面积2
(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．
因为运动至点A 与点D 重合为止.据题意可知04t <≤．
所以.所求关系式是24148S t t =-++.t 的取值范围是04t <≤． （3）781
444
S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（04t <≤）
． 所以74t =
时.S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA 是平行四边形.对角线是AD MN ，.所以当AD MN =时四边形
MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．
所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形.此时2t =
．
[点评]本题以二次函数为背景.结合动态问题、存在性问题、最值问题.是一道较传统的压轴题.能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图.已知抛物线2
34y x bx c =-
++与坐标轴交于A B C ，，三点.点A 的横坐标为1-.过点(03)C ，的直线3
34y x t
=-+与x 轴交于点Q .点P 是线段BC 上的一
个动点.PH OB ⊥于点H ．若5PB t =.且01t <<． （1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：
(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化.是否存在t 的值.使PQB △为等腰三角形？若存在.求出所有t 的值；若
_
不存在.说明理由．
[解] （1）9
4
b =
3c =
（2）(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -，
（3）存在t 的值.有以下三种情况 ①当PQ PB =时
PH OB ⊥.则GH HB =
4444t t t ∴--= 1
3
t ∴=
②当PB QB =时 得445t t -= 4
9
t ∴=
③当PQ QB =时.如图
解法一：过Q 作QD BP ⊥.又PQ QB =
则5
22
BP BD t ==
又BDQ BOC △∽△
BD BQ BO BC ∴
=
544245t
t
-∴=
32
57
t ∴=
解法二：作Rt OBC △斜边中线OE
O
则5
22
BC OE BE BE ==
=，. 此时OEB PQB △∽△
BE OB
BQ PB
∴= 5
4
2445t t ∴=-
32
57
t ∴=
解法三：在Rt PHQ △中有2
2
2
QH PH PQ += 222
(84)(3)(44)t t t ∴-+=- 257320t t ∴-= 32
057
t t ∴==，（舍去） 又
01t <<
∴当13t =
或49或3257
时.PQB △为等腰三角形． 解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何.有时可以独立思考.有时需
要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度.均用t 表示.再讨论分析
Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度.而PB 、BQ 长度都可以直接
直接用t 表示.进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强.涉及函数、相似性等代数、几何知识.1、2小题不难.第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论.需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验.在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾.应舍去 3.如图1.已知直线12y x =-
与抛物线21
64
y x =-+交于A
B ，两点． （1）求A
B ，两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2.取与线段AB等长的一根橡皮筋.端点分别固定在A B
，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动.动点P将与A B
，构成无数个三角形.这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在.求出最大面积.并指出此时P点的坐标；如果不存在.请简要说明理由．
[解] （1）解：依题意得
2
1
6
4
1
2
y x
y x
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
解之得12
12
64
32
x x
y y
==-
⎧⎧
⎨⎨
=-=
⎩⎩
(63)(42)
A B
∴--
，，，
（2）作AB的垂直平分线交x轴.y轴于C D
，两点.交AB于M（如图1）
由（1
）可知：OA OB
==
AB ∴=
图2 图1
12OM AB OB ∴=
-=
过B 作BE x ⊥轴.E 为垂足 由BEO OCM △∽△.得：
5
4
OC OM OC OB OE =∴=，. 同理：5
55002
42OD C D ⎛⎫⎛
⎫=∴- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠
5204
5522
k k b b b ⎧==+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩
AB ∴的垂直平分线的解析式为：5
22
y x =-
． （3）若存在点P 使APB △的面积最大.则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线1
2
y x m =-
+上.并设该直线与x 轴.y 轴交于G H ，两点（如图2）
． 212164
y x m y x ⎧=-+⎪⎪∴⎨⎪=-+⎪⎩
211
6042
x x m ∴-+-=
抛物线与直线只有一个交点.
2
114(6)024m ⎛⎫
∴--⨯-= ⎪⎝⎭
.
2523144m P ⎛⎫∴=
∴ ⎪⎝⎭
， 在直线125
24
GH y x =-
+：中. 25250024G H ⎛⎫⎛⎫
∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，
25
54
GH ∴=
设O 到GH 的距离为d .
11
22125512525222455
2
GH d OG OH d d AB GH ∴=∴⨯=⨯⨯∴=，
∥
P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．
另解：过P 做PC ∥y 轴.PC 交AB 于C.当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h 与PC
夹角固定）.则S △PBA 最大 → 问题转化为求PC 最大值.设P （x, ）,C （x, ）,
从而可以表示PC 长度.进行极值求取。

最后.以PC 为底边.分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题.有一定的能力要求.第3小题是一个最值问题.解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①.正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，.顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发.沿正方形按逆时针方向匀速运动.同时.点Q 从点()40E ，出发.沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时.P Q ，两点同时停止运动.设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．
（2）当点P 在AB 边上运动时.OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示）.求P Q ，两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P
的坐标．
（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变.则点P 沿着AB 边运动时.OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时.OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时.使90OPQ =∠的点P 有 个．
（抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a
a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．
()()01084A B ，，，.
86FB FA ∴==，． 10AB ∴=．
（2）由图②可知.点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又
1010101AB =÷=，．
图①
图②
_
P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG y ⊥轴于G .则PG BF ∥．
GA AP FA AB ∴
=.即610
GA t
=．
3
5
GA t ∴=．
3
105OG t ∴=-．
4OQ t =+. ()113410225S OQ OG t t ⎛
⎫∴=
⨯⨯=+- ⎪⎝
⎭． 即2319
20105
S t t =-
++． 19195323
210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.且190103≤≤. ∴当19
3t =
时.S 有最大值． 此时476331
1051555
GP t OG t ===-=，.
∴点P 的坐标为7631155⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
（8分）
方法二：当5t =时.163
7922
OG OQ S OG OQ ====
，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++． 抛物线过点()63102852⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，，，.
1001020286325520.2
a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，
31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
，
_
2319
20105
S t t ∴=-
++． 19195323
210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.且190103≤≤. ∴当19
3t =
时.S 有最大值． 此时7631
155
GP OG ==，.
∴点P 的坐标为7631155⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识.是近年来较为流行的试题.解题的关键在于结合题目的要求动中取静.相信解决这种问题不会非常难。

．
5. 如图①.Rt ABC △中.90B ∠=.30CAB
∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，.顶点B 的坐
标为(5.10AB =.点P 从点A 出发.沿A B C →→的方向匀速运动.同时点Q 从点(02)D ，出发.沿y 轴正方向以相同速度运动.当点P 到达点C 时.两点同时停止运动.设运动
的时间为t 秒．
（1）求BAO ∠的度数．
（2）当点P 在AB 上运动时.OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分.（如图②）.求点P 的运动速度．
（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变.那么点P 沿AB 边运动时.OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时.OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小.当点P 沿这两边运动时.使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．
_
6001
(22)(10)2
S t t =+-
2
9121
24t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴当92t =
时.S 有最大值为1214
. 此时1122P ⎛
⎝⎭
，． （4）当点P 沿这两边运动时.90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时.90OPQ <∠.
当点P 运动到与点B 重合时.OQ 的长是12单位长度. 作90OPM =∠交y 轴于点M .作PH y ⊥轴于点H . 由OPH OPM △∽△得：11.53
OM =
=. 所以OQ OM >.从而90OPQ >∠．
所以当点P 在AB 边上运动时.90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC 边上运动时.可算得1217.83
OQ =+
=． 而构成直角时交y 轴于0⎛ ⎝⎭
.20.217.83=>. 所以90OCQ <∠.从而90OPQ =∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时.90OPQ =∠的点P 有2个．
x t （第29题图②） 第29题图①
6. （本题满分14分）如图12.直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A .与y 轴交于点C .已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M .求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发.其中点D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动.点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A
的路线运动.当D 、E 两点相遇时.它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时.ODE ∆的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中.是否存在DE ∥OC .若存在.请求出此时t 的值；若不存在.请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式.并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值.那么0S = .
解：（1）令0=x .则4=y ；
令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，. ∴可设二次函数的关系式为
42++=bx ax y
又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -， ∴093404a b a b =++⎧⎨
=-+⎩
，
．
解之.得34-
=a .3
8
=b ． ∴所求二次函数的关系式为43
8
342++-=x x y
（2）∵43
8
342++-=x x y
=()3
161342+--x
∴顶点M 的坐标为1613⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， 过点M 作MF x ⊥轴于F ∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形 =
()1013164213161321=⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC
∵若DE ∥OC .则点D .E 应分别在线段OA .CA 上.此时12t <<.在Rt AOC △中.5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴5443
1-=
t x .∴5
12
121-=t x ∵DE OC ∥. ∴
t t 2
3
51212=- ∴38=t
∵3
8
=t >2.不满足12t <<．
∴不存在DE OC ∥．
②根据题意得D .E 两点相遇的时间为
1124
42
3543=
+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时.213
4322
S t t t =
⨯=； ⅱ）当12t <≤时.设点E 的坐标为()22x y ， ∴
()54454
2--=
t y .∴5
16362t
y -= ∴t t t t S 5
275125163623212+-=-⨯⨯=
ⅲ）当2 <t <1124时.设点E 的坐标为()33x y ，.类似ⅱ可得16363t
y -=
设点D 的坐标为()44,y x
∴5
32344
-=t y . ∴5
12
64-=t y
∴AOE AOD S S S =-△△
512
632151636321-⨯
⨯--⨯⨯=
t t =572533+-t
③80243
0=S
7.关于x 的二次函数2
2
(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴.且与y 轴的交点在x 轴
上方．
（1）求此抛物线的解析式.并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点.过点A 作AB 垂直于x 轴于点B .再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D .过点D 作DC 垂直于x 轴于点C .得到矩形ABCD ．设矩形
ABCD 的周长为l .点A 的横坐标为x .试求l 关于x 的函数关系式；
（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时.矩形ABCD 能否成为正方形．若能.请求出此时正方形的周长；若不能.请说明理由．
参考资料：抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，.对称轴是直线
2b
x a
=-
． 解：（1）据题意得：240k -=.
2k ∴=±．
当2k =时.2220k -=>． 当2k =-时.2260k -=-<．
又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.2k ∴=．
∴抛物线的解析式为：22y x =-+．
函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）
（2）解：令2
20x -+=.
得x =
不0x <<
.112A D x =.2112A B x =-+.
2
11112()244l A B A D x x ∴=+=-++．
当x >
.222A D x =.
2
2
22(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-．
l ∴关于x 的函数关系是：
当0x <<.2244l x x =-++；
当x >
.2244l x x =+-．
（3
）解法一：当0x <<
.令1111A B A D =
.
（第26
题）
得2220x x +-=．
解得1x =--.或1x =-．
将1x =-+2244l x x =-++.
得8l =．
当x >
.令2222A B A D =.得2220x x --=．
解得1x =.或1x =+
将1x =+2244l x x =+-.得8l =．
综上.矩形ABCD 能成为正方形.且当1x =时正方形的周长为8；当1
x =
时.正方形的周长为8+．
解法二：当0x <<
.同“解法一”可得1x =-+．
∴正方形的周长11488l A D x ===．
当x >
.同“解法一”可得1x =+
∴正方形的周长22488l A D x ===．
综上.矩形ABCD 能成为正方形.且当1x =时正方形的周长为8；当1
x =
时.正方形的周长为8+． 解法三：
点A 在y 轴右侧的抛物线上.
0x ∴>.且点A 的坐标为2(2)x x -+，
． 令AB AD =.则222x x -+=．
∴222x x -+=.①或222x x
-+=-②
由①解得1x =-.或1x =-+
由②解得1x =.或1x =+ 又8l x =.
∴当13x =-+时838l =-；
当13x =+时838l =+．
综上.矩形ABCD 能成为正方形.且当31x =-时正方形的周长为838-；当31
x =+时.正方形的周长为838+．
8.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点.与y 轴交于点C .其中点B 在x 轴的正半轴上.点C 在y 轴的正半轴上.线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根.且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC 、BC .若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合）.过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F .连接CE .设AE 的长为m .△CEF 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.并写出自变量m 的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值.若存在.请求出S 的最大值.并求出此时点E 的坐标.判断此时△BCE 的形状；若不存在.请说明理由．
解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2.x 2＝8
∵点B 在x 轴的正半轴上.点C 在y 轴的正半轴上.且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2.0）.点C 的坐标为（0.8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6.0） （2）∵点C （0.8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8.将A （－6.0）、B （2.0）代入表达式.得
第26题图
⎩⎪⎨⎪⎧
0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－
23
b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－3x 2－8
3x ＋8
（3）依题意.AE ＝m .则BE ＝8－m . ∵OA ＝6.OC ＝8.∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴
EF
AC ＝
BE
AB
即
EF 10＝8－m
8
∴EF ＝40－5m
4
过点F 作FG ⊥AB .垂足为G .则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4
5
∴FG EF ＝4
5 ∴FG ＝45·40－5m
4
＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1
2（8－m ）（8－m ）
＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1
2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．
第26题图(批卷教师用图)
理由：∵S
＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1
2＜0. ∴当m ＝4时.S 有最大值.S 最大值＝8 ∵m ＝4.∴点E 的坐标为（－2.0） ∴△BCE 为等腰三角形．
9.（14分）如图：抛物线经过A （-3.0）、B （0.4）、C （4.0）三点. （1） 求抛物线的解析式.
（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上）.有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动.经过t 秒的移动.线段PQ 被BD 垂直平分.求t 的值；
（3）在（2）的情况下.抛物线的对称轴上是否存在一点M.使MQ+MC 的值最小？若存在.请求出点M 的坐标；若不存在.请说明理由。

（注：抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为2b
x a
=-）
（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)
因为B （0.4）在抛物线上.所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111
(3)(4)4333
y x x x x =-+-=-
++ 解法二：设抛物线的解析式为2
(0)y ax bx c a =++≠.
依题意得：c=4且934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得13
13a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以 所求的抛物线的解析式为211
433
y x x =-++
（2）连接DQ.在Rt △AOB 中
.5AB =
==
所以AD=AB= 5.AC=AD+CD=3 + 4 = 7.CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ.所以PD=QD.PQ ⊥BD.所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB.所以∠ABD=∠ADB.∠ABD=∠QDB.所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。

∠CDQ=∠CAB.所以△CDQ ∽ △CAB
DQ CD AB CA = 即210
,577
DQ DQ ==
所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=25
7
.2525177t =÷=
所以t 的值是
25
7
（3）答对称轴上存在一点M.使MQ+MC 的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为122
b x a =-
= 所以A （- 3.0）.C （4.0）两点关于直线1
2
x =对称 连接AQ 交直线1
2
x =
于点M.则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴.于E.所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB.∠ BAO=∠QDE. △DQE ∽△ABO
QE DQ DE
BO AB AO == 即 10
7453
QE DE ==
所以QE=87.DE=67.所以OE = OD + DE=2+67=20
7
.所以Q （207.87）
设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠
则20
87730
k m k m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 由此得 841
2441
k m ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12
8244141x y x ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩ 由此得12
824
4141
x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 所以M 128(,)241
则：在对称轴上存在点M 128
(,)241
.使MQ+MC 的值最小。

10. 如图9.在平面直角坐标系中.二次函数)0(2
>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点.与
y 轴交于C 点.与x 轴交于A 、B 两点. A 点在原点的左侧.B 点的坐标为（3.0）.
OB ＝OC .tan ∠ACO ＝
3
1． （1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C 、D 两点的直线.与x 轴交于点E.在该抛物线上是否存在这样的点F.使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在.请求出点F 的坐标；若不存在.请说明理由．
（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点.且以MN 为直径的圆与x 轴相切.求该圆半径的长度．
（4）如图10.若点G （2.y ）是该抛物线上一点.点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点.
（1）方法一：由已知得：C （0.－3）.A （－1.0） …1分
将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩
⎪
⎨⎧-==++=+-30390
c c b a c b a ……………………2分
解得：⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-==321c b a ……………………3分
所以这个二次函数的表达式为：322
--=x x y ……………………3分
方法二：由已知得：C （0.－3）.A （－1.0） ………………………1分 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y ……………………2分 将C 点的坐标代入得：1=a ……………………3分 所以这个二次函数的表达式为：322
--=x x y ……………………3分
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）
（2）方法一：存在.F 点的坐标为（2.－3） ……………………4分 理由：易得D （1.－4）.所以直线CD 的解析式为：3--=x y
∴E 点的坐标为（－3.0） ……………………4分 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2.AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F.坐标为（2.－3） ……………………5分 方法二：易得D （1.－4）.所以直线CD 的解析式为：3--=x y
∴E 点的坐标为（－3.0） ………………………4分 ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为（2.－3）或（―2.―3）或（－4.3） 代入抛物线的表达式检验.只有（2.－3）符合
∴存在点F.坐标为（2.－3） ………………………5分 （3）如图.①当直线MN 在x 轴上方时.设圆的半径为R （R>0）.则N （R+1.R ）. 代入抛物线的表达式.解得2
17
1+=
R …………6分
②当直线MN 在x 轴下方时.设圆的半径为r （r>0）. 则N （r+1.－r ）.
代入抛物线的表达式.解得2
17
1+-=
r ………7分 ∴圆的半径为
2171+或2
17
1+-． ……………7分 （4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q.
易得G （2.－3）.直线AG 为1--=x y ．……………8分 设P （x .322--x x ）.则Q （x .－x －1）.PQ 22++-=x x ．
3)2(2
1
2⨯++-=
+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG ……………………9分 当2
1
=
x 时.△APG 的面积最大 此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-
415,2
1.8
27
的最大值为APG S ∆． ……………………10分 11．（本小题12分）解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2.x 2＝8
∵点B 在x 轴的正半轴上.点C 在y 轴的正半轴上.且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2.0）.点C 的坐标为（0.8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6.0）
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6.0）、B （2.0）、C （0.8） （2）∵点C （0.8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8.将A （－6.0）、B （2.0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8.得
⎩⎪⎨⎪⎧
0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－
23
b ＝－83
∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8 （3）∵AB ＝8.OC ＝8
∴S △ABC ＝1
2×8×8=32
（4）依题意.AE ＝m .则BE ＝8－m . ∵OA ＝6.OC ＝8. ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC
∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m
8 ∴EF ＝40－5m
4 过点F 作FG ⊥AB .垂足为G .则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45
∴FG EF ＝4
5 ∴FG ＝45·40－5m
4
＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1
2（8－m ）（8－m ）
＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1
2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：
∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1
2
＜0.
∴当m ＝4时.S 有最大值.S 最大值＝8
∵m ＝4.∴点E 的坐标为（－2.0）
∴△BCE 为等腰三角形．
12.（12分）已知：如图14.抛物线2334y x =-
+与x 轴交于点A .点B .与直线34y x b =-+相交于点B .点C .直线34
y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式．
（2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合）.同时.点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒.请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式.并求出点M 运动多少时间时.MNB △的面积最大.最大面积是多少？
解：（1）在2334
y x =-+中.令0y = 23304x ∴-+= 12x ∴=.22x =-
(20)A ∴-，.(20)B ，··························································· 1分
又点B 在34
y x b =-+上 302
b ∴=-+ 32
b = BC ∴的解析式为3342
y x =-+ ···························································································· 2分
x y A B C
E M D P N O
（2）由23343342
y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩.得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220
x y =⎧⎨=⎩ ································································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，.(20)B ， 4AB ∴=.94CD =
··················································································································· 5分 1994242
ABC S ∴=⨯⨯=△·········································································································· 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点P
EO MB ⊥
NP EO ∴∥
BNP BEO ∴△∽△ ················································································································· 7分 BN NP BE EO
∴= ······························································································································ 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴在BEO △中.2BO =.32EO =
.则52BE = 25322
t NP ∴
=.65
NP t ∴= ·········································································································· 9分 16(4)25
S t t ∴=- 2312(04)55
S t t t =-+<< ··································································································· 10分 2312(2)55
S t =--+ ··············································································································· 11分 此抛物线开口向下.∴当2t =时.125
S =最大 ∴当点M 运动2秒时.MNB △的面积达到最大.最大为125． ······································ 12分。